변분 원리
1. 개요
변분 방법(variational method)[1], 변분 원리(variational principle), 혹은 Ritz의 변분 원리(Ritz variational principle)라고도 한다. 물리학적으로는, 해밀토니안 $$\mathcal{H}$$로 기술된 어떤 계의 바닥 상태를 슈뢰딩거 방정식으로 정확하게 구할 수 없을 때 사용하는 근사법이다. 물리학 뿐만 아니라 여러 분야에서 사용되는 수학적 툴이다.
이를 처음 공부하게 되면, 이게 무슨 이렇게 뜬구름 잡는 소리지? 하고 이해하기 매우 힘들다. 그리고 사실 이를 말로 전달하기 어려운 내용인 것도 사실이다. 당장 이해 안된다고 포기하지 말고, 차근 차근 곱씹어 보도록 하자(사실 변분 원리의 본질을 캐치해 낼 수 있으면 똑똑한 것!).
연산자(해밀토니안)의 가장 작은 고유값(바닥상태의 에너지)이 유한한 값을 갖고 있을 경우 그 값은 기댓값보다 작거나 같다는 사실을 이용한 것이다. 이를 통해 기댓값의 최소값이 가장 작은 고유값과 근사하다고 추측할수 있고 실제로 이를 구해 가장 작은 고유값을 구하는게 변분원리의 내용이다. 방법은 아래 같다.
1. 어떤 계의 파동함수를 대강 짐작하여 매개변수가 들어간 시험함수를 만든다.
2. 그 시험함수를 이용해서 해밀토니안의 기댓값을 구한다.
3. 구한 기댓값을 매개변수로 미분하여 기댓값을 최소로 만드는 매개변수의 값을 구한다.
4. 그 값을 원래 시험함수에 대입한다.
밑의 예시를 보면 알겠지만, 헬륨의 경우에도 계의 해밀토니안은 확실히 쓸 수 있지만, 문제는 비선형 항이 있어서 해석적으로 정확히 풀 수가 없다. 이때 파동함수 하나를 대충 정한 뒤(물론 가리움효과 적용) 그걸 써서 해밀토니안의 기댓값을 구하는 것.
2. 예시
헬륨은 핵 하나에 전자 두 개가 있어서 3체 문제가 되기 때문에 해석적으로 정확하게 풀어낼 수가 없다. 따라서 변분 원리에 가리움 효과(screening effect)[2]를 적용해서 풀어보면 실제 실험으로 얻어진 헬륨 원자의 바닥 상태 에너지와 매우 비슷한 결과를 얻을 수 있다.
수소 분자 이온 $$\mathrm{H_{2}^{+}}$$ 역시 마찬가지로 양성자 2개에 전자 하나이므로 이 또한 변분 원리를 통해서 근사적으로 문제를 풀 수 있다.