삼각부등식

1. 삼각함수가 포함된 부등식

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중등교육과정, 그러니까 고등학교 이하에서 말하는 삼각부등식은 주로 삼각함수가 포함된 부등식을 말한다.
예컨대, $\sin x\le 0$과 같은 부등식이다. 부등식 항목으로 가자.

2. 거리함수의 성질

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추상적인 대상을 다루는 학부 이상의 과정에서 거리함수가 가지는 어떠한 성질을 일컫는 말.
별다른 언급이 없으면 삼각부등식이라 함은 후자를 뜻한다.
집합 $X$의 거리 함수(metric)란 다음의 성질을 만족하는 함수 $d:X \times X\to R$이다.

* $d\left(x,y\right)\geq0$ (등호는 $x=y$ 와 필요충분)

* 대칭성
$d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$

* 삼각부등식
$d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right) \geq d\left(x,z\right)$[1]

일반적으로 위의 두 가지는 당연한 것으로 증명하기 어렵지 않다. 삼각부등식을 보이는 것도 어렵지는 않으나, 당연한 수준은 아니다. 이 삼각부등식은 거리공간(거리가 주어진 공간 즉, $\left(X,d\right)$)을 연구할 때 가장 많이 쓰인다. 앞의 것은 의식도 못 하고 쓰이는 수준이라서 뭐라 말하기 어렵다.
사실 초중고등학교에서도, 흔히 '''생각하는 거리가 거리함수'''임을 알려주기 위해, 이 부등식을 가르치지만, 유용하게 쓰거나 하지는 않는다. 초등학교에서는 삼각형의 세 변의 길이 $x$, $y$, $z$에 대해 $x+y\ge z$임을 가르친다. 중고등학교에서는, 실수 혹은 실벡터 공간에서 주어진 노름(norm)[2]이 거리함수를 이룬다는 것을 언급하기 위해 $\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \ge\left\Vert x+y\right\Vert$를 가르친다. 이것이 삼각부등식과 동치임을 보이는 것은 어렵지 않다.

[1] 세 점 $x$, $y$, $z$이 이루는 삼각형을 상상하고, 그 변들의 길이 사이의 관계를 떠올려 보자.

[2] 사실 실수도 실벡터 공간이고, 이렇게 볼 때 두 놈은 같다.