1. 개요
삼각함수의
도함수(미분)를 설명하는 문서이다.
2. 주요 삼각함수의 도함수
$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin x$$
$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(x + \Delta x\right) - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$(미분계수 정의 이용)
$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \cos\Delta x + \cos x \sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$ (삼각함수의 덧셈정리 이용)
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(\cos\Delta x - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 + \cos x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\sin x\sin\dfrac{\Delta x}2 \frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$ (분배법칙)
$$\begin{aligned}&=-\sin x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2 \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} + \cos x\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&=\cancel{-\sin x \cdot 0 \cdot 1} + \cos x \cdot 1\end{aligned}\quad$$(삼각함수의 극한)
$$\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\cos x \end{aligned}$$
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$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos x$$
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos \left(x + \Delta x\right) - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$ (미분계수 정의 이용)
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos\Delta x - \sin x \sin\Delta x - \cos x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$ (삼각함수의 덧셈정리 이용)
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(\cos \Delta x -1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\cos x \left(1 - 2\sin^2\dfrac{\Delta x}2 - 1\right) - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2\cos x \sin^2\dfrac{\Delta x}2 - \sin x \sin\Delta x}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta \to 0} \left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\right) \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&=\lim_{\Delta x \to 0}\left(-\cos x \sin\dfrac{\Delta x}2\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2}\right) - \lim_{\Delta x \to 0} \sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$ (분배법칙)
$$\begin{aligned}&=-\cos x\lim_{\Delta x \to 0}\sin\frac{\Delta x}2\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\dfrac{\Delta x}2}{\dfrac{\Delta x}2} - \sin x\lim_{\Delta \to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&=\cancel{-\cos x \cdot 0 \cdot 1} - \sin x \cdot 1\end{aligned}\quad$$(삼각함수의 극한)
$$\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}-\sin x \end{aligned}$$
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탄젠트 함수 미분을 유도하는 방법은 총 두 가지가 있다.
Sol. 1)
$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x$$
$$\begin{aligned}&= \dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\dfrac{\sin x}{\cos x}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}&=\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left(-\sin x\right)}{\cos^2x}\end{aligned}\quad$$(몫미분)
$$\begin{aligned}&=\frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x} \\ &=\frac1{\cos^2x} \\ &={\color{#FE2E64}\sec^2x}\end{aligned}$$
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앞서 도출한 사인함수와 코사인함수의 도함수,
몫미분을 활용한다.
Sol. 2)
$$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan x$$
$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\left(x + \Delta x\right) - \tan x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$(미분계수 정의 이용)
$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan x + \tan\Delta x - \tan x(1-\tan x \tan\Delta x)}{\Delta x(1-\tan x \tan\Delta x)}\end{aligned}\quad$$ (삼각함수의 덧셈정리 이용)
$$\begin{aligned} &=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cancel{\tan x - \tan x} +\tan\Delta x(1 + \tan^2 x)}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$
$$\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\tan\Delta x}{\Delta x}\end{aligned}\quad$$(삼각함수 등식 이용)
$$\begin{aligned} &=\sec^2 x \cdot 1\end{aligned}\quad$$(삼각함수의 극한 이용)
$$\begin{aligned}&=\color{#FE2E64}\sec^2 x \end{aligned}$$
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탄젠트의 덧셈정리를 직접 이용하는 방법도 있다.
3. 역수꼴
''''''
* $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc x = -\csc x \cot x$$
* $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec x = \sec x \tan x$$
* $$\dfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot x = -\csc^2x$$
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위의 sin, cos, tan함수에 역수를 취하고 몫의 미분법을 사용하면 유도할 수 있다.
4. 미분 육각형
삼각함수의 도함수를 외우게 하려고 고안된 육각형이다.
증명 방법과는 전혀 관련이 없으니 유의하자. 이 육각형에서 마주보는 꼭지점이 서로 역수 관계, 즉 $$\csc x = \dfrac1{\sin x}$$, $$\sec x=\dfrac1{\cos x}$$, $$\cot x=\dfrac1{\tan x}$$이다. 가운데에 그어진 선은 $$+$$, $$-$$ 경계선이다.
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삼각함수 미분의 육각형
마주보는 꼭지점이 서로 역수관계인 것이 특징
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이 육각형을 사용하려면 먼저 미분하려는 함수가 속해 있는 '''$$\boldsymbol+$$, $$\boldsymbol-$$ 부호'''를 확인한다. 그리고 미분하려는 함수에서 시작하는 화살표로 가는 함수를 모두 곱한다. (이때 이중선은 제곱하라는 뜻이다.) 이 과정을 그림으로 예를 들어 보이면 다음과 같다.
[image]
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$$\cos$$ 미분
| $$\tan$$ 미분
| $$\csc$$ 미분
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$$\cos$$이 속한 부호: $$-$$
| $$\tan$$가 속한 부호: $$+$$
| $$\csc$$가 속한 부호: $$-$$
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화살표: $$\sin$$
| 화살표: $$\sec$$, $$\sec$$
| 화살표: $$\csc$$, $$\cot$$
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[각주]