1. 개요
'''프톨레마이오스'''의 저서 알마게스트(Almagest)에 최초로 언급되어 정리되었으며, 그 이후 삼각법을 다루는 데 중요한 공식 중의 하나다.
특히 이 삼각함수의 덧셈정리는 문제를 박박 꼬면 정말 미칠 듯한 난도를 자랑한다.
본 덧셈정리들의 증명법 또한 알아두어야 한다.
2. 공식
(이하
복부호 동순)
- $$\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
- $$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
- $$\displaystyle\tan\left(\alpha\pm\beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$
복소수에서는 다음과 같다.
[1] 밑에서 증명을 보면 알겠지만, 위의 세 등식도 복소수 범위의 \alpha, \beta에 대해 잘 성립한다.
\sinh, \cosh, \tanh은 쌍곡선 함수이다.
- $$\sin\left(\alpha\pm i \beta\right)=\sin\alpha\cosh\beta\pm i \cos\alpha\sinh\beta$$
- $$\cos\left(\alpha\pm i \beta\right)=\cos\alpha\cosh\beta\mp i \sin\alpha\sinh\beta$$
- $$\displaystyle\tan\left(\alpha\pm i \beta\right)=\frac{\tan\alpha\pm i \tanh\beta}{1\mp i \tan\alpha\tanh\beta}$$
2.1. 외우는 요령
싸코플코싸 코코마싸싸
sin(α+β)
| =
| sinα · cosβ
| +
| cosα · sinβ
|
[3]
|
| 싸코
| 플
| 코싸
|
cos(α+β)
| =
| cosα · cosβ
| -
| sinα · sinβ
|
| 코코
| 마
| 싸싸
|
tan(α+β)
| =
| $$\dfrac{tan α + tan β}{1 - tan α · tan β}$$
|
| 일 마 탄탄 분의 탄 플 탄
|
가장 기본적이고 널리 알려진 방법 중 하나.
마이너스일 때는 +- 부호를 뒤집으면 된다.
sin(α+β) = 신(sin)코(cos)픈(+)꽃(cos)신(sin)
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cos(α+β) = 고(cos)구(cos)마(-)사(sin)소(sin)
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이런 배리에이션도 있다.
[image]단위원의 중심을 O, 양의 x축을 시초선으로하고 각의 크기가 각각 $$\beta, \alpha$$인 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $$\rm B, C$$라고 하자 (즉, $${\rm \angle AOB}=\beta, \angle {\rm AOC}=\alpha$$). 그럼 두 점의 좌표는 $${\rm B}\left(\cos\beta, \sin\beta\right), {\rm C}\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)$$이다. 두 점 사이의 거리를 구하는 공식으로 부터, $$\overline{\rm BC}^2=\left(\cos\beta-\cos\alpha\right)^2+\left(\sin\beta-\sin\alpha\right)^2=\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(\cos^2\beta+\sin^2\beta\right)-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)=2-2\left(\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha\right)$$.
한편, 코사인법칙으로부터, $$\overline{\rm BC}^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)$$이다. 따라서, $$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$. 여기서 $$\beta$$에 $$-\beta$$를 대입하면 $$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$.
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한편, $$\displaystyle\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$. 여기서$$\beta$$에 $$-\beta$$를 대입하면 $$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$.
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마지막으로, $$\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\sin\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$$.
여기서 분자, 분모를 $$\cos\alpha\cos\beta$$로 나누면 $$\displaystyle\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$.
여기서 $$\beta$$에 $$-\beta$$를 대입하면 $$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$.
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두 벡터 $$\vec{\rm OB}, \vec{\rm OC}$$의 내적을 구하면, $$\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left|\vec{\rm OC}\right|\cdot\left|\vec{\rm OB}\right|\cos\left(\angle {\rm COB}\right)=1\cdot1\cdot\cos\left(\alpha-\beta\right)$$. 한편 두 벡터의 내적을 성분으로 나타내면, $$\vec{\rm OC}\cdot\vec{\rm OB}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)\cdot\left(\cos\beta, \sin\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$. 따라서 $$\cos\left(\alpha-\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$.
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사인 및 탄젠트의 덧셈정리 증명은 위의 '단위원을 이용한 증명' 부분을 참고하면 된다.
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$$\left( \sin x \right)'=\cos x ,\,\left( \cos x \right)'=-\sin x$$임을 알고 있다. 임의의 실수 $$a$$에 대하여 $$a$$를 고정한 후 $$f(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x)$$로 놓으면 $$f'(x)=\sin (a-x)\cos x-\cos(a-x) \sin x- \cos x \sin(a-x)+\sin x \cos(a-x)=0$$이다. 또한 $$f(0)=\cos a$$이므로 $$f(x)=\cos (a-x)\cos x-\sin x \sin (a-x)=\cos a$$이다. 이 때 모든 실수 $$x,\,y$$에 대하여 $$a=x+y$$로 놓으면 $$\cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$$이다.
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단위원을 이용한 삼각함수의 정의에서는 삼각함수의 미분을 덧셈정리로부터 유도하기 때문에 이러한 방법이 불가능하지만, 삼각함수를 처음부터 무한 급수로 정의하는 경우에는 이러한 방법으로 삼각함수의 덧셈정리를 증명한다.
$$e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$$이므로, $$e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right)$$. 한편, $$e^{\left(i\alpha+i\beta\right)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}$$이므로, 실수부와 허수부를 나눠주면 된다.
$$\cos\left(\alpha+\beta\right)=\Re\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\Im\left(e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
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복소수의 곱셈과 상등 그리고
오일러의 공식을 이용해서 순식간에 증명해냈다! 이것 말고도 삼각함수의 합성을 제외한 많은 공식은 오일러의 등식을 사용하면 매우 쉽게 풀린다. 외울 필요가 없어질 정도.
위 방법 외에도 닮음, 일차변환, 삼각형의 넓이를 이용한 증명 등 여러 가지 방법이 있다.
3. 삼각함수의 합성
삼각함수의 덧셈정리를 응용해서 $$a\sin\theta+b\cos\theta$$형태로 나타난 삼각함수를 아래와 같이 하나로 합칠 수 있다.
1. $$\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(\theta+\alpha\right), \, \left(\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$[4] a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\left(\theta+\frac{\left|b\right|}{b}\arccos\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right)\right)
2. $$\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos\left(\theta-\beta\right), \, \left(\cos\beta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$$
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증명은 그림을 그려서 각 $$\alpha$$나 $$\beta$$를 찾아서 합성하거나, 아니면 우변에 있는 합성된 삼각함수를 덧셈정리로 풀어서 정리하면 된다.
4. 배각, 반각 공식
삼각함수의 덧셈정리에서 두 각을 같게 놔두면 2배각의 공식을 만들 수 있다.
$$\begin{aligned} &\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ &\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha \\ &\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned}$$
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특히 코사인의 2배각 공식은 3가지 형태가 있는데, $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$를 이용해서 변형한 것이다.
덧셈정리에서 두각을 $$\alpha, 2\alpha$$로 놔두면 3배각의 공식을 만들 수 있다.
$$\begin{aligned} &\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\ &\cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{aligned}$$
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증명은 덧셈정리를 이용해서 쭉 풀어나가면 된다. n배각 공식의 일반화는
쳬비쇼프 다항식이라 불리며 나름 특이한 성질이 있다.
아니면 또 오일러 공식을 이용해 n배각의 경우 n제곱과 이항정리만으로 유도할 수 있다.
또한, 코사인의 2배각 공식에서 반각 공식을 유도할 수 있다.$$\alpha$$대신 $$\alpha/2$$를 대입하면 된다.
$$\begin{aligned} \displaystyle &\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} \\ &\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} \\ &\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\end{aligned}$$
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[5] 증명하지 못하는 건 아니지만, 벡터의 회전변환 자체가 삼각함수의 합차공식에서 유도되는지라 회전변환에서 역으로 합차공식을 가져오는 것이 조금 더 복잡해진다. 간단히 말해서 좌표평면을 일단 극좌표 형식으로 바꿔줘야 하는데, 이 과정에서 삼각함수를 사용하기 때문. 오히려 회전행렬을 이용하는 게 빠르다.
5. 곱을 합 또는 차로 바꾸는 공식
위의 합차공식에서 두 식을 적당히 더하거나 뺀 뒤, 넘겨서 정리하면 나온다.
- $$\displaystyle\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ] $$
- $$\displaystyle\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) ] $$
- $$\displaystyle\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) ] $$
- $$\displaystyle\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) ] $$
6. 합 또는 차를 곱으로 바꾸는 공식
위 문단의 곱을 합차로 바꾸는 공식에서 유도되는 또다른 공식. $$\alpha+\beta=A, \alpha-\beta=B$$로 치환한뒤 $$\alpha, \beta$$에 관해서 풀면, $$\displaystyle\alpha={(A+B)}/{2}$$, $$\displaystyle \beta={(A-B)}/{2}$$이고, 이 값을 식에 대입한 뒤 좌변과 우변을 바꾸면 아래 공식을 얻는다.
- $$\displaystyle\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
- $$\displaystyle\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
- $$\displaystyle\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
- $$\displaystyle\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
간단히 $$\sin\beta$$ → $$i \sinh \beta$$, $$\cos\beta$$ → $$\cosh \beta$$로 갈음하면 된다.
- $$\sin(\alpha+i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta+i\cos\alpha\sinh\beta$$
- $$\sin(\alpha-i \beta)=\sin\alpha\cosh\beta-i\cos\alpha\sinh\beta$$
- $$\cos(\alpha+i \beta)=\cos\alpha\cosh\beta-i\sin\alpha\sinh\beta$$
- $$\cos(\alpha-i\beta)=\cos\alpha\cosh\beta+i\sin\alpha\sinh\beta$$
8. 적용
(1) $$\sin75\degree=\sin30\degree\cos45\degree+\cos30\degree\sin45\degree$$=$$\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$$
[6] 이를 알면 삼각함수의 성질에 의해 \cos75°의 값을 알 수 있고, 여각 공식을 이용하면 15°의 삼각함수 값 역시 구할 수 있다.
(2) 삼각함수의
도함수를 유도할 때, 덧셈정리를 이용한다. 예를 들어 $$\sin$$함수의 경우, $$\sin(x+h)$$를 덧셈정리로 전개한 후 약분하여 구한다. 자세한 내용은
삼각함수/도함수 문서 참고.
(3) 여러 삼각함수가 곱해진 꼴을 적분할 때, 곱을 합 또는 차로 바꾸면 쉽게 적분할 수 있다.
(4) 좌표평면에서 두 직선이 이루는 각의 $$\tan$$값을 구할 수 있다.
[7] 기하(2015)에 나오는 벡터의 내적을 이용할 수도 있다.
9. 관련 문서