소피 제르맹의 정리
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1. 개요
Sophie Germain's theorem
정수론에서 가장 오래된 떡밥인 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 큰 도움을 준 정리이다. 이름 그대로 19세기 프랑스의 여성 수학자인 소피 제르맹이 증명했다.
소피 제르맹은 이 정리를 이용하여 100 이하의 모든 소피 제르맹 소수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 보였다. 정확히는 소피 제르맹이 제시한 정리는 다음과 같다.p가 소피 제르맹 소수. 즉 p와 2p+1이 둘 다 소수일 때, 이때, 서로소인 정수 $$x, y, z$$가 $$x^p + y^p + z^p = 0$$을 만족시킨다고 가정하면 이하의 성질을 만족시킨다.
$$xyz\equiv 0 \pmod{\theta} \Leftrightarrow x^p + y^p + z^p \equiv 0 \pmod{\theta}$$.(단, $$\theta$$는 소수.)
$$\forall x, \nexists x^p \equiv p \pmod{\theta}$$
이를 일반화한 게 100 미만의 소피 제르맹 소수 전반으로 확장된 바로 위의 문장. 그 후, 이를 분석한 수학자들에 의해 100의 상한은 197로, 그 이후 1700까지 증가했다. 참고로 소피 제르맹은 저 아이디어를 바탕으로 $$n=5$$일 때를 증명해냈다.임의의 보조 소수 $$\theta$$를 가정하자.
1. 0이 아닌 $$p$$의 서로 다른 두 거듭제곱이 법 $$\theta$$에 대하여 합동이다.
1. $$p$$는 어떠한 수의 $$p$$ 거듭제곱과도 법 $$\theta$$에 대하여 합동이 아니다.
이 두 조건을 만족하는 보조 소수 $$\theta$$가 존재할 경우, $$x^p+y^p+z^p=0$$일 때, $$x,y,z$$중 적어도 하나는 $$p^2$$의 배수이다.
2. 소피 제르맹 소수
어떤 수 p 와 2p+1이 동시에 소수일 때, p 를 소피 제르맹 소수라고 부른다.
예를 들어 p = 5일 때, 2p+1 = 11은 소수이므로, 5는 소피 제르맹 소수가 된다. 100보다 작은 소피 제르맹 소수는 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89이다.
소피 제르맹 소수는 무한히 많을 것으로 추측하지만, 증명되지는 않았다.
암호학에서 2p+1이 소수인 경우, 이 2p+1은 안전 소수(safe prime)라고 부르는데, 이런 소수를 이용하여 암호화할 경우 해독이 더 어려워진다고 한다.