슈뢰더-베른슈타인 정리

Schröder–Bernstein theorem

1. 개요

2. 진술

3. 증명

1. 개요

두 집합 A, B의 원소의 개수를 비교할 때, A의 원소수가 B의 원소수보다 작거나 같고, 또한 반대로 B의 원소수가 A의 원소수보다 작거나 같다면, 두 집합의 원소의 수가 같다는 정리이다. 유한집합에서는 자명하지만 무한집합에서도 이러한 사실이 성립한다는 내용을 담고 있다.

2. 진술

임의의 집합 $$ A, B $$에 대하여, 함수 $$f: A \to B $$와 $$g: B \to A $$가 모두 단사함수라면 전단사함수 $$ h: A \to B $$가 존재한다.
이를 다시쓰면,

가 성립한다.

3. 증명

단사함수 $$f: A \to B $$와 $$g: B \to A $$가 있을 때, 집합열 $$ \left(C_n \right)$$을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{aligned} C_0 &= A \setminus g\left(B\right) \\ C_{n+1} &= g\left(f\left(C_n\right)\right) \end{aligned} $$

그리고, $$\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_n$$이라 할 때, 함수 $$ h: A \to B $$를 다음과 같이 정의한다.

$$h \left(x \right) = \begin{cases} f\left(x\right) & x\in C \\ g^{-1}\left(x\right) & x \in A\setminus C \end{cases}$$

그러면 $$ h $$는 전단사함수가 된다.
먼저, 단사함수가 되는 것을 보인다. $$x_1, x_2 \in A $$가 있다고 하자$$ \left(x_1 \neq x_2\right) $$. $$ f, g^{-1} $$는 각각 정의된 영역에서 단사이므로 $$x_1 \in C, x_2 \in A\setminus C $$인 경우만 살피면 충분하다. $$x_1 \in C$$이므로, $$x_1 \in C_n$$인 n이 존재한다. 따라서 $$ \left(C_n \right)$$의 정의로부터 $$g\left(f\left(x_1\right)\right) \in C_{n+1} $$이 성립하고, $$ g^{-1}\left(x_2\right) \in B\setminus g^{-1}\left(C\right)$$이므로 $$ f\left(x_1\right)\neq g^{-1}\left(x_2\right) $$이다. 즉, $$ h\left(x_1\right)\neq h\left(x_2\right) $$
다음으로, 전사함수가 됨을 보인다. 임의로 $$y \in B $$를 택했을 때, $$y \in f\left(C\right) $$라면 당연히 $$y \in h\left(A\right) $$이다. 만약 $$y \notin f\left(C\right) $$이라면 $$g$$가 단사이므로

$$\displaystyle g\left(y\right) \notin g\left(f\left(C\right)\right) = \bigcup_{n=0}^{\infty} g\left(f\left(C_n \right)\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} C_n $$

이다. 또한 정의에 의해 $$g\left(y\right) \notin C_0 $$이다. 따라서 $$g\left(y\right) \notin C $$이고, 이는 $$g\left(y\right) \in A\setminus C $$라는 뜻이다. 따라서 $$y \in h\left(A\right) $$이다.

분류

집합론