초한기수
超限基數/Transfinite cardinality.
1. 개요
'''무한집합의 원소의 개수'''. 다들 '자연수의 집합과 정수의 집합, 유리수의 집합은 모두 원소의 개수가 같고, 실수의 집합은 이들 개수보다 원소의 개수가 많다'는 이야기는 들어봤을 것이다. 이 때 쓰이는 개념이 초한기수이다.
네이버캐스트: 짝수 vs 자연수
네이버캐스트: 자연수 vs 정수
네이버캐스트: 자연수 vs 유리수
네이버캐스트: 자연수 vs 실수
상식적으로는 "무한집합이란 원소의 숫자가 무한대인 집합" 이라고 생각하기 쉽지만, 수학에서의 정의는 그 반대라서 "무한대란 무한집합의 원소의 수"로 정의한다. 무한대를 무한집합으로 정의한다고 하면 특이하게 보일 수 있지만, 수학기초론에서는 자연수 역시 원소의 숫자로 정의한다. 즉 원소가 한 개밖에 없는 집합을 만들어 그 원소의 수를 1로, 원소가 두 개밖에 없는 집합을 만들어 그 원소의 수를 2로 정의하는 식이다. [1]
물론 이 때 무한집합을 '원소의 숫자가 무한히 많은 집합'으로 정의하면 동어반복이 되어버리므로, 무한집합은 "자기 자신의 진부분집합과 일대일 대응이 존재하는 집합"으로 정의된다. 예컨대 자연수의 집합은 그 진부분집합인 짝수의 집합과 일대일대응이 가능하므로, 자연수의 집합은 무한집합이다.
게오르그 칸토어가 절대적 무한(Absolute Infinite, 기호: '''Ω''')과 구분하기 위해 상대적 무한(Relative Infinite, 기호: '''ω''')에 붙인 이름이 바로 초한수(Transfinite number)다.
그리스 문자에 익숙하다면 벌써 눈치챘겠지만, '''Ω'''과 '''ω'''은 각각 오메가의 대문자와 소문자를 가리킨다.
2. 서수와 연속체 가설
초한기수를 정의할 때는 서수를 이용한다. 칸토어는 1단계-2단계-3단계-...의 단계들을 모두 지난 다음에도, 즉 자연수를 모두 거쳐간 다음에도 계속해서 끊임없이 순서대로 이어지는 수학적 과정의 개념(초한귀납법, transfinite induction)을 만들어내었고, ...의 다음에도 이어지는 단계들을 모두 표현하기 위하여 서수를 도입했다. 이 과정에서 자연수 다음에 이어지는 것이 초한서수들이다. 그런 단계가 쉽게 이해하기 힘들겠지만 수학적으로 분명 가능하다. 이를 구체적으로 설명하려면 그냥 집합론 교재가 되어 버리므로, 여기서는 간략히 비유를 하나 들고 넘어가겠다. 여기서 자연수를 사용한 것은 단순히 순서를 표시하기 위한 것이기 때문에, 1, 2, 3, ... 대신 0, 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375, ...으로 표시할 수도 있을 것이다. 분수로 쓰면 앞에서부터 0, 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ... 이므로 이런 숫자들을 무한히 지나간 다음에 다시 추가적으로 1이나 2를 지날 수도 있고, 한술 더 떠서 다시 2, 2.5, 2.75, 2.875, ... 등으로 계속해 나갈 수도 있을 것이다. 서수의 개념은 대강 이것과 비슷하다고 보면 된다.
이제 이 서수 개념과 여러가지 집합론의 정리들을 이용하면, 무한집합들을 원소의 개수가 적은 것부터 하나씩 순서대로 빠짐없이 찾을 수 있다. 무한집합의 원소의 개수의 종류도 무수히 많기 때문에, 빠짐없이 찾는다는 것은 빠짐없이 찾아낼 수 있는 점화식(또는 점화 관계, Recursive Relation)을 찾았다는 것을 의미한다.
이제 위 내용을 이용해서 무한집합의 크기(cardinality)[2] 자연수의 집합의 크기는 $$ \aleph_0 $$[3], 바로 다음은 $$ \aleph_1 $$, 바로 다음은 $$ \aleph_2 $$, ..., $$ \aleph_{ \omega } $$, ... 과 같은 식으로 정의한다. 여기서 $$ \omega $$는 모든 자연수 다음에 바로 나오는 서수로, 그 크기는 $$ \aleph_0 $$과 동일하다.
칸토어가 탐구한 대표적인 무한집합은 두 개가 있다. 하나는 수 체계이고, 다른 하나는 차원이다. 칸토어는 n차원에 있는 점의 개수는 1차원 선 위에 있는 점의 개수와 같다는 것을 증명했다.[4]그는 이 것을 증명한 뒤, Je le vois, mais je ne le crois pas(나는 그것을 안다. 그러나 그것을 믿지는 않는다.)라는 말을 했다. 이 문장은 논리학을 배울 때 논리적 기이함의 예시로 자주 인용되는데, 덕분에 철학과 학생들은 칸토어가 누군지는 몰라도 칸토어의 유명한 말은 아는 경우가 많다.
연속체 가설을 일반화한 일반 연속체 가설을 가정할 경우, $$ \aleph_n $$과 $$ \aleph_{ n + 1 } $$ 사이에 멱집합에 의한 관계가 생겨서 좀 더 이해하기 쉬워진다. 어떤 집합의 멱집합이란 그 집합의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 말한다. 예를 들어 $$ \left \{ 1 , 2 \right \} $$라는 집합이 있다고 하면, 이의 멱집합은 $$ \left \{ \emptyset, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, \left \{ 1 , 2 \right \} \right \} $$가 된다.
그런데 어떠한 집합도 그 자신의 원소들과 멱집합의 원소들을 일대일로 대응시킬 수 없다는 것이 증명되어 있다. 즉 멱집합의 원소의 숫자가 원래 집합의 원소의 수보다 항상 더 많다. 한 집합의 원소의 수를 n 이라고 하면 멱집합의 원소의 수는 2의 n 제곱이 되므로 유한집합에서 멱집합의 원소의 수가 더 많은 것은 당연하겠지만, 재미있는 점은 이 성질이 무한집합에서도 항상 성립한다는 것이다.
따라서 자연수의 집합이라는 무한집합에서 시작해서 자연수의 집합의 멱집합을 정의하면 자연수보다 원소가 많은 무한집합을 만들 수 있다. 다시 그 멱집합, 또다시 그 멱집합을 정의할 수 있기 때문에 무한집합의 '계층'은 무한히 많다.[5]
칸토어는 실수의 집합의 원소의 수가 $$ 2^{ \aleph_0 } $$라는 것을 밝혀 내었는데[6], 그러자 칸토어는 그것이 $$ \aleph_0 $$ 바로 다음의 초한기수, 즉 $$ \aleph_1 $$이 아닌가 하는 추측을 하였고, 이를 연속체 가설로 명명했으며, 아예 일반화해서 $$ \aleph_n $$ 바로 다음의 초한기수 $$ \aleph_{ n + 1 } $$은 $$ 2^{ \aleph_n } $$이다는 것을 일반연속체 가설이라고 명명했다.($$ n $$은 서수) 이 둘은 대표적으로 사용되는 체르멜로-프랑켈 공리계로부터 증명할 수도 반증할 수도 없다는 것이 증명되었다. 불완전성 정리 참조. 다만 이는 어디까지나 ZFC 공리계에 한정해서 하는 이야기로, ZFC 공리계에 추가 공리를 적절히 도입한 새로운 공리계에서는 참/거짓을 증명할 수 있다. 물론 연속체 가설 자체를 ZFC 공리계에 공리로서 추가할 수도 있다. 이 경우 연속체 가설은 증명 없이 참으로 인정된다.
추가 공리 도입을 통해 참/거짓을 증명한 예로서, 윌리엄 휴 우딘이 도입한 오메가 논리[7]를 가정하면 연속체 가설이 거짓이며 $$ 2^{ \aleph_0 } $$이 $$ \aleph_2 $$ 임을 증명할 수 있다. 또, 고유 강제법 공리(proper forcing axiom)을 가정하면 마찬가지로 $$ 2^{ \aleph_0 } $$이 $$ \aleph_2 $$ 가 되어 연속체 가설은 거짓이라고 증명할 수 있다. 반대로 구성 가능성 공리를 도입하면 연속체 가설이 참임을 증명할 수 있다.
3. 기수별 집합 예시
각 초한기수에 해당하는 집합들의 예시들은 다음과 같다.
보다시피, 우리가 다루는 웬만한 집합은 $$ 2^{\aleph_0} $$이다. $$ \aleph_0 $$도 $$ 2^{\aleph_0} $$의 부분집합이므로.
4. 기수의 연산
이 성질은 초한기수가 아니더라도 성립한다.
$$\alpha=\left|A\right|, \beta=\left|B\right|$$라고 정의할 경우, 각 연산은 다음과 대응된다.
- $$\alpha+\beta=\left|A\sqcup B\right|$$[9]
- $$\alpha\beta=\left|A\times B\right|$$
- $$\alpha^{\beta}=\left|A^{B}\right|=\left|f\right|$$($$f:\left(B\to A\right)$$으로의 함수를 정의할 때의 집합의 크기)
- $$\alpha+\beta=\beta+\alpha$$
- $$\alpha\beta=\beta\alpha$$
- $$\left(\alpha+\beta\right)+\gamma=\alpha+\left(\beta+\gamma\right)$$
- $$\alpha\left(\beta\gamma\right)=\left(\alpha\beta\right)\gamma$$
- $$\alpha\left(\beta+\gamma\right)=\alpha\beta+\alpha\gamma$$
- $$\alpha+0=\alpha\times 1=\alpha$$
단, 지수계산의 경우는 조금 달라지는데, [math(0^0)]은 수학적으로 정의하지 않지만, 기수의 지수연산이 함수관계라는걸 고려하면, $$\emptyset \to \emptyset$$는 1가지의 함수관계를 지니기 때문에, $$0^{0}=1$$로 정의한다.
마찬가지로 정수범위에서의 지수의 일반적인 법칙도 대부분 성립한다. 즉,
- $$\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\times\alpha^\gamma$$
- $$\alpha^{\beta\gamma}=\left(\alpha^\beta\right)^\gamma$$
- $$\left(\alpha\beta\right)^\gamma=\alpha^\gamma\beta^\gamma$$
- $$\alpha+\beta=\mathsf{Max}\left(\alpha, \beta\right)$$
- $$\alpha\beta=\mathsf{Max}\left(\alpha, \beta\right)$$(단, 이 성질의 경우, $$\alpha, \beta\neq 0$$이며, 둘 중 하나는 반드시 무한기수여야 한다)
- $$\alpha^{n}=\alpha$$(지수 단조성. 단 $$1\leq n<\aleph_{0}\leq\alpha$$.)
따라서
- $$\mathbb{N}^{n}\sim\mathbb{N}$$
- $$\mathbb{Z}^{n}\sim\mathbb{N}$$
- $$\mathbb{R}^{n}\sim\mathbb{R}$$
- $$\mathbb{C}^{n}\sim\mathbb{R}$$
[1] 우리가 어릴 때 사과가 한 개, 사과가 두 개 담긴 접시 등으로 숫자를 배운 것을 떠올려보자.[2] 일반적으로 무한집합의 '크기'라고 하기는 애매하기 때문에, 무한집합의 '농도'로 해석된다.[3] aleph zero , aleph null 또는 aleph naught로 읽는다. 닮은꼴 문자인 $${\rm N}_{0}$$와 혼동에 주의.[4] 선택공리를 가정할 경우 '''모든 초한기수의 가산거듭제곱은 자기 자신과 같다''' 라는 말과 같다.[5] Axiom of Regularity 또는 Axiom or Foundation에 의하면, 공집합으로부터 멱집합과 합집합을 이용하여 집합을 만들어 나가는 과정(주석 바로 앞 본문 비슷하게)을 위에서 설명한 초한귀납법을 통해 끝없이 계속해 나간다고 할 때, 그 과정을 통해 계속해서 생겨나는 것'''만'''이 집합이 된다. [6] 갑자기 왜 지수가 튀어나오냐고? 집합의 크기가 x인 집합의 '''부분집합의 개수는 $$2^{x}$$ 이다'''. 이 점에 착안한다면 나름 어렵지 않게 증명할 수 있을지도.... [7] 이는 수학적인 증명이라 볼 수 없다는 논란이 있다.[8] ב(Bet)는 א의 다음 글자이다.[9] $$\sqcup$$은 분리합집합을 의미한다. 즉, $$\displaystyle{\bigsqcup_{i\in I}A_{i}}=\displaystyle{\bigcup_{i\in I}\left(A_{i}\times\{i\}\right)}$$으로, 각 집합에 첨자를 붙여서 교집합을 전부 구분한다. 예를 들어서 $$A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, C=\{0,1\}$$이라면, $$A\sqcup B=\{1_{a}, 2_{a}, 2_{b}, 3_{b}\}, A\sqcup B\sqcup C=\{1_{a}, 2_{a}, 2_{b}, 3_{b}, 0_{c}, 1_{c}\}$$가 된다. 집합 두개로 한정할 경우는 $$\left|A\sqcup B\right|=\left|A\cup B\right|+\left|A\cap B\right|$$가 된다.