스킴(대수기하학)
1. 소개
2. 층들 (Sheaves)
3. 스킴들 (Schemes)
4. 점들을 모은 함자 (Functor of points)
5. 스킴의 더 많은 성질들 (More properties on category of schemes)
6. 사영 스킴 (Projective spaces)
7. 스킴 위 스킴 (Scheme over a scheme)
8. 층의 더 많은 성질들 (More on sheaves)
9. 평탄 사상 (Flat morphism)
10. 유한 사상 (finite morphism)
11. 부드러운 사상과 에탈 사상 (smooth morphism and étale morphism)
11.1. 캘러 미분과 공접 사슬 (Kähler differential and cotangent complex)
11.2. 형식 사상들 (formal morphisms)
11.3. 유한 에탈 사상 (finite étale morphism)
11.4. 갈루아 이론 (Galois theory)
12. 코호몰로지의 기초 (Element of cohomology)
13. 사영 스킴에서의 코호몰로지 (Cohomology on projective schemes)
14. 세르 쌍대성 (Serre duality)
15. 형식 스킴과 그로텐디크 존재 정리 (Formal schemes and Grothendieck's existence theorem)
16. 세르의 GAGA와 복소기하와의 관계 (Serre's GAGA and relations with complex geometry)
1. 소개
'''스킴'''이란 대수기하학에 나오는 용어로 아주 간단하게 말하면 '''"ring들의 Zariski gluing"'''이라고 볼 수 있다.
처음에 알렉산더 그로텐디크가 소개한 개념이다. 그 후 이 개념은 유명한 개념이 되었으며 보통 대학교의 대수기하학에서 이 개념을 가르친다.
2. 층들 (Sheaves)
먼저 scheme을 정의하기 전에 층(sheaf)을 정의하자. 여기에서 $$\mathcal{C}$$를 cartesian product가 있는 아무 category라고 하자. 예를 들면 $$\mathcal{C}=\mathrm{Set},\mathrm{Ab},\mathrm{Ring}$$같이.
'''Definition.''' topological space $$X$$에 대해서 functor $$ \mathcal{F}:\mathrm{Open}(X)^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$$를 $$X$$의 '''presheaf'''라고 하자. 여기에서 $$\mathrm{Open}(X)$$는 object를 $$X$$의 open set으로, morphism을 $$\subseteq$$로 가지는 category라고 하자. 그러면 이는 $$U\times_X V=U\cap V$$가 성립한다.
presheaf란 건 별 거 아니다. 그냥 $$X$$의 각 open set들마다 $$\mathcal{C}$$의 object를 하나씩 준 것에 불과하다. 물론 포함관계는 제대로 맞도록. 여기에서 $$\mathrm{op}$$를 뺀다면 이를 precosheaf라고 한다.
presheaf의 예를 들면 $$X=\mathbb{R}$$라고 할 때 $$\mathcal{F}(U)=\{\text{Ring of bounded functions on }U\}$$라고 하자. 그렇다면 $$V\subseteq U$$라면 $$\mathcal{F}(U)\subseteq \mathcal{F}(V)$$가 되므로 이는 presheaf가 된다.
그렇다면 sheaf는 뭘까?? 우리의 직관대로라면 open set의 연산대로 거기에 딸린 object들도 거기에 맞춰서 행동하도록 만들고 싶다. 예를 들면 $$U\cap V=\varnothing$$이라면 이렇게
$$\mathcal{F}(U \cup V)=\mathcal{F}(U)\times \mathcal{F}(V)$$
직관적으로 $$X=\mathbb{R}$$이라고 한다면 $$U\cup V$$ 위의 함수들은 $$U$$ 위의 함수들과 $$V$$ 위의 함수들로 분리되지 않는가??
우리는 $$X$$의 covering $$\{U_i\}$$를 생각해보자. 그렇다면 $$\mathcal{F}(X)$$의 정보는 $$\mathcal{F}(U_i)$$들의 정보에 의해서 결정되어야 한다. 예를 들면 $$\rho_{U_i\to X}(f)=f|_{U_i}$$를 $$U_i\to X$$에 대응되는 morphism $$\mathcal{F}(X)\to \mathcal{F}(U_i)$$라고 하면
'''Axiom 1''' $$f\in \mathcal{F}(X)$$가 [math(0)]일 필요충분조건은 $$f|_{U_i}\in \mathcal{F}(U_i)=0$$인 것이다.
이렇게. 그리고 다음 조건도 추가하자.
'''Axiom 2''' $$f_i\in \mathcal{F}(U_i)$$들이 있을 때 $$f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$$라면 적당한 $$f\in \mathcal{F}(X)$$가 있어서 $$f|_{U_i}=f_i$$가 된다.
Axiom 2의 $$f$$는 axiom 1에 의해서 유일성이 보장된다. 그리고 이 두 가지를 만족하는 $$\mathcal{F}$$를 '''sheaf'''라고 하자. 그리고 두 axiom을 모아서 '''local-global compatibility'''라고 한다. 그러니까 sheaf는 local property가 global property를 결정하는 무언가다.
그렇다면 presheaf로 sheaf를 만들 수 있을까? 그러니까 presheaf는 local property와 global property를 모두 가지는데, 문제는 global property하고 local property가 완전히 따로 논다는 것이다. 그래서 쓸데없는 global property를 깔끔히 버리고 local property로 global property를 다시 만드는 것이다. 이런 작업을 '''sheafification'''이라고 부른다. 우리는 다음과 같은 notation을 만들자.
'''Notation''' presheaf 사이 morphism (그냥 natural transformation이다.) $$\mathcal{F}\to \mathcal{G}$$가 있다고 하자. 그렇다면 이것이 '''isomorphism of locallity'''이란 것은 적당한 $$X$$의 covering $$\{U_i\}$$가 있어서 각 $$i$$마다 $$V\subseteq U_i$$가 있다면 이걸로 induce되는 $$\mathcal{F}(V)\to \mathcal{G}(V)$$가 isomorphism인 것이다.
이제 $$X$$의 모든 presheaf들의 category를 $$\mathrm{PSh}_{\mathcal{C}}(X)$$라고 하자. 여기에서 morphism은 natural transformation이다. 그렇다면 모든 isomorphism of locallity들의 class에 대해서 이 category를 localize한 것을 바로 '''category of sheaves'''라고 하고 $$\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)$$라고 쓴다. (여기서 어떤 category를 그것의 어떤 morphism들의 class에 대해 localize한다는 것은, 그 category에 이 morphism들의 inverse들을 추가하여 이들을 isomorphism들로 만드는 것이다.) 그리고 이것은 신기하게도 그냥 sheaf들을 모은 것들의 category와 equivalent하다!!
여기에서 set-theoretic issue가 발생하는데, 바로 isomorphism of locality가 set이 아니라면 category of sheaves는 locally small category가 될 수 없고 이는 많이 심각한 문제다. 이를 우리는 $$\mathcal{C}$$를 언제나 small이라고 가정하고 inaccessible cardinal의 존재를 가정하는 것으로 해결할 것이다. inaccessible cardinal의 존재성이 ZFC로 증명될 수 있다면 이 cardinal에 대한 Von Neumann universe를 ZFC의 model로 만드므로 ZFC가 consistent하게 만들고 이는 Gödel incompleteness theorem때문에 저 cardinal의 존재성은 ZFC와 독립일 수밖에 없다. 따라서 이 cardinal의 존재성을 가정하는 것이 껄끄러울 수 있는데, 그냥 우리는 ZFC에다가 저 cardinal의 존재성을 가정한 새로운 공리계를 받아들이자. (...) 그러면 모든 category의 object들을 모은 것의 크기가 inaccessible cardinal보다 작단 가정으로 우리는 (아마도 집합론을 제외한) 우리의 수학을 잘 할 수 있다.
그렇다면 당연히 $$\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\longrightarrow \mathrm{PSh}_{\mathcal{C}}(X)$$라는 functor가 있을 것이다. 그럼 이건 left adjoint가 존재하고 이를 sheafification이라고 부른다. 여기선 Hartshorne의 notation을 따라서 $$\mathcal{F}^a$$라고 쓰자.
그렇다면 한 가지 예제를 보자. $$\mathrm{exp}$$를 복소지수함수라고 하고 $$\mathcal{O}$$를 holomorphic function들, $$\mathcal{A}(U)=\{e^f|f:U\to \mathbb{C}\text{ is a holomorphic function }\}$$이라고 정의하자. 그렇다면 다음과 같은 exact sequece가 존재한다.
$$ 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}\longrightarrow_{\mathrm{exp}}\mathcal{A}\to 0 $$
여기에서 $$2\pi i \mathbb{Z}$$는 모든 open set에 대해서 $$2\pi i \mathbb{Z}$$란 값을 내놓는 constant sheaf다.
이제 $$\mathcal{O}$$는 sheaf다. 바로 analytic continuation에 의해서. 하지만 문제가 있는데, 바로 $$\mathcal{A}$$가 sheaf가 아니다!! 그 이유는 로그함수에 있는데, branch cut만 잘 잡으면 [math(0)]을 포함하지 않는 simply connected domain은 모두 로그함수를 정의할 수 있지만 문제는 로그함수가 $$\mathbb{C}\setminus \{0\}$$에서 holomorphic이 아니다. 한 바퀴 삥 돌리면 $$2\pi i $$만큼 차이나니까.
그러면 어떻게 할까?? 바로 sheafification을 생각하는 것이다!! sheafification은 right adjoint를 가지니까 exact sequence를 보존하고 $$\mathcal{A}$$의 sheafification은 local하게만 보면 disk 안의 모든 nonzero holomorphic function은 로그를 씌울 수 있으니까
$$\mathcal{A}^a(U)=\mathcal{O}^*(U)=\{f:U\to \mathbb{C}|f\text{ is a nonvanishing function }\}$$
이 된다. 따라서 이렇게이렇게
$$0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}\longrightarrow \mathcal{O}^*\to 0$$
잘 exact sequence를 만들 수 있다. 그렇다면 여기에서 바로 다음이 derive될 것 같다.
$$ 0\to 2\pi i \mathbb{Z}\longrightarrow \mathcal{O}(\mathbb{C}\setminus \{0\})\longrightarrow \mathcal{O}^*(\mathcal{C}\setminus \{0\})\to 0$$
먼저 첫번째 injection 부분과 가운데는 맞다. 그런데 마지막 surjection부분은 틀렸다. (!!)
이유는 sheafification을 하는 과정에서 이상한 function이 만들어지기 때문이다. 바로 $$f(z)=z$$같은. 이게 이상한 함수라는 건 뭔가 이상하지만 어쨌든 여기에선 이상한 함수 맞다.
그렇게, 우리는 다음 functor를 정의할 수 있다.
$$\Gamma(X,-):\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\to \mathcal{C}$$
$$\Gamma(X,\mathcal{F})=\mathcal{F}(X)$$
그렇다면 이것은 exact functor가 아니고, sheaf cohomology를 만드는 동력이 된다.
stalk를 정의하자. $$\mathcal{F}$$가 sheaf라면
$$\mathcal{F}_x=\lim_{x\in U}\mathcal{F}(U)$$
여기에서 lim이라고 쓴 것은 colimit고 $$x\in X$$다. 이는 $$x$$에서의 local structure를 알려준다.
$$U\subseteq X$$가 open set이고 $$\mathcal{F}$$가 $$X$$의 sheaf일 때 $$\mathcal{F}|_{U}$$를
$$\mathcal{F}|_{U}(V)=\mathcal{F}(U\cap V)$$
라고 정의하자. 그러면 이것도 sheaf다.
연속함수 $$f:X\to Y$$가 있고 $$\mathcal{F}$$가 $$X$$의 sheaf, $$\mathcal{G}$$가 $$Y$$의 sheaf일 때 다음 둘을 정의하자.
$$f_*\mathcal{F}(U)=\mathcal{F}(f^{-1}(U))(U\subseteq Y), f_*\mathcal{F}\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y))$$
$$f^*\mathcal{G}(U)=\lim_{V\subseteq f(U)}\mathcal{G}(V)(U\subseteq X), f^*\mathcal{G}\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X))$$
이 둘을 각각 direct image functor, inverse image functor라고 부르며, 모두 $$f_*:\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)\to \mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y)$$, $$f^*:\mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(Y)\to \mathrm{Sh}_{\mathcal{C}}(X)$$란 functor며 각각은 각각에 대해서 adjoint functor다.
$$\mathcal{F}(U)$$의 원소를 $$U$$에서의 $$\mathcal{F}$$의 section이라고 부른다. 그리고 $$U=X$$일 때는 global section이라고 부른다.
이제 Grothendieck topology를 설명하겠다. Grothendieck topology란 topology의 일반화라고 생각하면 된다. $$\mathcal{C}$$이 finite limit를 가지는 category고, $$X\in \mathrm{ob}(\mathcal{C})$$라고 하자. 그러면 각 $$X$$들에 대한 covering의 공리계를 다음과 같이 설정하자.
- $$\{Y\to X\}$$와 같은 isomorphism은 covering이다.
- $$\{U_i\to X\}$$가 covering이고 $$Y\to X$$가 있다면 $$U_i\times_X Y\to Y$$ 역시 covering이다.
- $$\{U_i\to X\}$$가 covering이고 $$\{U_{ij}\to U_i\}$$도 각 $$i$$에 대해서 covering이라면 $$\{U_{ij}\to X\}$$도 covering이다.
그렇다면, $$(\mathcal{C},J)$$가 site라면 여기 위의 '''sheaf'''를 정의할 수 있다. $$\mathcal{F}:\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{D}$$라는 functor가 있다면 이를 $$(\mathcal{C},J)$$의 '''presheaf'''라고 하고 이것이 '''sheaf'''란 것은 다음 두 가지를 만족할 때를 말한다.
- covering $$\{U_i\to U\}$$가 있고 $$f\in \mathcal{F}(U)$$가 모든 $$i$$에 대해서 $$f|_{U_i}=0$$일 때 $$f=0$$이다.
- covering $$\{U_i\to U\}$$에 대해서 $$f_i\in \mathcal{F}(U_i)$$들이 $$f_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\times_X U_j}$$를 만족한다면 적당한 $$f\in \mathcal{F}(U)$$가 있어서 $$f|_{U_i}=f_i$$가 된다.
3. 스킴들 (Schemes)
이제 우린 sheaf를 충분히 설명했으니 scheme으로 들어가보자. 먼저 다음을 정의하자.
'''Definition.''' $$X$$가 topological space라고 하고 $$\mathcal{O}_X$$를 $$X$$의 어떤 한 sheaf of rings라고 하자. 그렇다면 $$(X,\mathcal{O}_X)$$를 '''ringed space'''라고 하고 $$\mathcal{O}_X$$의 모든 stalk가 local ring일 때 이를 '''locally ringed space'''라고 하자.
$$A$$를 ring이라고 하자. 그렇다면 다음 set을 정의하자.
$$\mathrm{Spec}\,A=\{\text{Prime ideals of }A\}$$
이것의 표기법은 함수해석의 spectral theory에서 배낀 것이다. 우리가 Gelfand duality를 할 때 $$C$$가 (unital) abelian C*-algebra라면
$$ \mathrm{Spec}\,C=\{h:C\to \mathbb{C}\}$$
라고 정의한다. 여기에서 topology는 weak*-topology를 주고 그러면 unital이란 데에서 모든 homomorphism은 그 norm이 1이니까 Banach–Alaoglu theorem는 이것이 compact임을 열려준다. 이는 $$T$$가 Hilbert space $$H$$ 위의 bounded normal operator라고 하고 $$C=\overline{\mathbb{C}[T]}$$ ($$H$$의 모든 bounded operator를 모은 C*-algebra에 주어진 strong topology, weak topology 아무거나로. 둘 중 아무거나 골라도 그 closure는 정확히 같다.)라고 정의한다면 정확히 $$\mathrm{Spec}\,C$$는 $$T$$의 spectrum이 된다!! 이는 field인 Banach algebra는 $$\mathcal{C}$$밖에 없다, maximal ideal 바깥에 있는 것과 invertible이란 건 동치란 두 정리를 이용한다. 여기에서 첫번째 정리를 생각한다면 그냥 이렇게 생각할 수 있다.
$$\mathrm{Spec}\,C=\{\text{Maximal ideals of }C\}$$
덤으로 다음을 생각하자. $$a\in C$$일 때
$$\hat{a}(h)=h(a)$$
그렇다면 hat은 다음과 같은 isometry를 만든다.
$$ C\cong C_0(\mathrm{Spec}\,C) $$
그러니까, 사실 모든 abelian C*-algebra들은 $$\mathbb{C}$$의 compact closed subset이랑 다를 게 없단 것이다!!
$$\mathrm{Spec}\,A$$란 것은 그저 함수해석의 spectral theory를 배끼는 것으로 생각할 수 있다. 근데 여기에서 maximal ideal이 아니라 prime ideal을 모았는데 이는 nilpotent element를 위해서다. commutative algebra에선
$$\bigcap_{\mathfrak{p}\subseteq A}\mathfrak{p}=\{\text{Nilpotent elements of }A\}$$
란 정리가 있는데, 이것은 정확하게 "서로 다른 두 scheme이 topological space가 같으면 두 scheme은 nilpotent element로서만 다르다."를 induce한다. nilpotent element의 degree는 바로 closed subscheme의 multiplicity를 뜻하고, 이는 (Weil) divisor theory를 만든다. 서로 topological space로서 완전히 같은데 multiplicity 말고도 뭔가가 다르다면 어색하지 않을까??
이제 $$\mathrm{Spec}\,A$$에 topology를 줘야 하는데, 우리는 다음과 같은 직관을 생각하자. 여기에서 $$f\in A$$라고 하자.
"$$A$$를 작게 본 것은 그 localization $$A_{(f)}$$와 다름 없다."
그래서, 우리는 다음을 정의한다.
$$D(f)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\,A|(f)\nsubseteq \mathfrak{p}\}$$
$$D(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}\,A|\mathfrak{a}\nsubseteq \mathfrak{p}\}$$
여기에서 $$(f)\nsubseteq$$는 prime ideal의 정의로 $$ f\notin \mathfrak{p}$$와 동치다. 이것은 직관적으로 $$f\ne 0$$이 만족되는 공간이라고 할 수 있다. 그러면 $$D(f)$$를 base로 하는 topology를 $$\mathrm{Spec}\,A$$의 '''Zariski topology'''라고 하자. 그렇다면 이것이 compact(대수기하학에선 주로 quasi-compact라고 말하는)임을 보일 수 있는데, 간단히 $$\{D(f_i)\}$$라는 covering이 있으면 이것들의 합집합은 $$D(\sum (f_i))$$니까 $$\sum (f_i)\ne A$$라면 $$\sum (f_i)$$는 어떤 maximal ideal에 포함될 거고 따라서 $$D(\sum (f_i))\ne \mathrm{Spec}\,A$$가 된다. 이는 모순이고 따라서 적당한 $$i_1,...,i_k$$와 $$ a_1,...,a_k\in A$$가 있어서
$$ a_{i_1}f_{i_1}+\cdots+a_{i_k}f_{i_k}=1$$
가 되고 따라서 $$D((f_{i_1})+\cdots+(f_{i_k}))=\mathrm{Spec}\,A$$가 되므로 $$\mathrm{Spec}\,A$$는 quasi-compact가 된다.
$$\mathrm{Spec}\,A$$에 sheaf를 하나 주자. 이를 '''structure sheaf'''라고 한다. 주는 방법은 간단한데,
$$ \mathcal{O}_A(D(f))=A_{(f)}$$
이렇게. 여기에서 $$A_{(f)}$$는 localization이다. 이것은 직관적으로 $$D(f)$$에 정의될 수 있는 함수들의 모임이라고 할 수 있다. 그렇다면 sheaf axiom으로 이런 sheaf는 유일하게 주어지고, 이제
$$ (\mathrm{Spec}\,A,\mathcal{O}_A)$$
란 locally ringed space를 '''affine scheme'''이라고 부르자. 그렇다면 다음이 성립한다.
$$(\mathrm{Spec}\,A)_{\mathfrak{p}}=A_{\mathfrak{p}}$$
이것의 증명은 그냥 $$\mathfrak{p}$$ 바깥의 애들은 다 분모에 들어가게 되니까 끝난다. 덤으로 다음을 알 수 있다.
$$\mathcal{O}_A(\mathrm{Spec}\,A)=A$$
특히 마지막은 대수기하판 Gelfand transform이라고 생각할 수 있다.
이제 scheme을 정의할 때가 되었다. '''scheme'''이란 단순히 affine scheme으로 이루어진 open covering을 가지는 locally ringed space일 뿐이다. 역에서 locally ringed space에 대해서 open covering을 가진다는 말은 $$(\mathrm{Spec}\,A_i,\mathcal{O}_{A_i})$$가 있어서 $$\bigcup \mathrm{Spec}\,A_i=X$$고 $$\mathcal{O}_X|_U=\mathcal{O}_{A_i}$$임을 뜻한다.
그렇다면 본격적으로 $$\mathrm{Spec}\,A$$가 어떻게 생겼는지 한 번 보자. 이 세상에서 가장 간단한 ring은 $$\mathbb{Z}$$인데, 이것의 spectrum을 생각해보자. 그렇다면 이는 다음과 같이 이루어져 있다.
$$ (0),2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},5\mathbb{Z},7\mathbb{Z},\cdots$$
여기에서 $$p\mathbb{Z}$$꼴들은 별볼일 없는데 문제는 $$(0)$$다. 왜냐하면 이것은 점 하나짜리주제에 open이고 그 closure가 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$ 전체이기 때문이다. (!!) 따라서 $$(0)$$를 포함하는 open set은 자기 자신과 전체 집합밖에 없으며 덤으로
$$\mathcal{O}_{\mathbb{Z}}((0))={\mathcal{O}_{\mathbb{Z}}}_{(0)}=\mathbb{Q}$$
가 된다. 이는 $$2\mathbb{Z},\cdots$$들을 "다시 한 번" 감싸준다는 느낌으로 이해하면 된다. 이런 point를 우리는 '''generic point'''라고 부른다.
다른 예제를 보자. 이젠 $$A=\mathbb{C}[x]$$라고 해보자. 그러면
$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]=\{(0),(x),(x-1),(x-2),(x-i),\cdots\}$$
라고 표현할 수 있다. 여기에서 $$(x-a)$$는 $$a\in \mathbb{C}$$라는 point를, $$(0)$$는 generic point다. 그러니까 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]$$는 $$\mathbb{C}$$를 대수기하학적으로 해석한 것이라고 볼 수 있다.
또 다른 예제를 보자. 이젠 $$A=\mathbb{C}[x,y]$$를 생각하자. 그러면
$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(x+y),(2x^2+y^3+1),(x-a,y-b),\cdots\}$$
라고 표현할 수 있다. 여기에서 $$(0)$$는 generic point고, $$(f(x,y),g(x,y))$$꼴들은 죄다 Hilbert nullstellensatz로 $$(x-a,y-b)$$꼴이 된다. 그리고 세 개 이상의 element로 genenrate되는 prime ideal은 Hilbert basis theorem으로 존재하지 않는다. 그러면 이를 해석해보자. $$(0)$$은 모든 원소들을 감싸준다. 그리고 $$(x-a,y-b)$$는 $$(a,b)\in \mathbb{C}^2$$에 대응된다. 그렇다면 $$(f(x,y))$$꼴은 무엇일까?? 바로 $$\mathbb{C}^2$$ 안에 있는 "closed subscheme"이다. 그러니까 scheme이란 것은 자신 안에 있는 모든 closed subscheme들을 point의 형태로 다시 가지고 있다. 이것은 그 closure가 closed subscheme이 되고, scheme 안의 closed subscheme들은 각각 그 scheme 안에 있는 point들과 1-1대응 된다.
morphism of schemes를 생각해보자. 이는 scheme theory에서 가장 중요한 요소인데, Grothendieck는 scheme을 언제나 혼자 보지 않고 relative view에서 바라봤다고 한다.
먼저 locally ringed space 사이의 morphism을 생각해보자. 이는 다음과 같은 두 쌍으로 정의된다.
$$f:X\to Y,f^{\sharp}:\mathcal{O}_X\to f^*\mathcal{O}_Y$$
그리고 각각의 stalk에 대한 morphism은 그 inverse가 maximal ideal을 maximal ideal로 옮겨야 한다.[1] 그렇다면 morphism of schemes는 단순히 scheme을 locally ringed space로 바라봤을 때의 morphism이다.
우리는 $$f:A\to B$$라는 morphism을 알고 있다고 해보자. 그렇다면 이걸로 morphism of schemes $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$를 만들고자 한다. 이걸 만드는 방법은 쉬운데, 단순히 $$\mathfrak{P}$$가 $$B$$의 prime ideal이라면
$$f(\mathfrak{P})(\in \mathrm{Spec}\,A)=f^{-1}(\mathfrak{P})(\subseteq A)$$
라고 정의하면 topological space 사이 morphism이 완성되고, sheaf 사이엔 그냥 $$f:A\to B$$로 induce되는 $$f^{\sharp}(D(g)):D(g)=A_{(g)}\to B_{(f(g))}=D(f(g))$$를 생각한다. 그러면 이는 잘 정의된 morphism이 되고, 덤으로 global section functor를 생각하면 아무 morphism $$f:\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$를 가져와도 $$f:A\to B$$를 만들 수 있으며 morphism of schemes에서 바로 오는 $$f:A_{(g)}\to B_{(f(g))}$$라는 morphism은 $$f:A\to B$$에서 와야 함을 natural transformation의 성질에서 쉽게 알 수 있으므로 다음과 같은 equivalence of categories가 존재한다.
$$\mathrm{Ring}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \{\text{Affine schemes}\}$$
여기에서 오른쪽 category의 morphism은 morphism of schemes다. 이것이 바로 대수기하판 Gelfand representation이라고 할 수 있을 것이다.
4. 점들을 모은 함자 (Functor of points)
이제 $$S$$-point에 대해서 알아보자. $$X$$-point란 단순히 morphism of schemes $$S\to X$$일 뿐이다. 그리고
$$X(S)=\mathrm{Hom}(S,X)$$
라고 정의한다. 이것이 point라고 불리는 이유는 $$X=\mathrm{Spec}\,k$$, $$k$$를 field라고 했을 때 (이것은 그냥 점에 불과하지만 달려있는 sheaf가 중요함에 주의한다!!) 이것의 image를 $$s\in S$$라고 하면 우리는 $$\mathcal{O}_{S,s}\to k$$라는 morphism을 만들 수 있다. 이것이 local homomorphism이여야 하므로, target의 maximal ideal인 (0)의 pre-image, 즉 kernel이 $$ \mathcal{O}_{S,s} $$의 maximal ideal 그 자체가 된다.
즉 이 local homomorphism은 field 사이의 map $$k(x) \to k$$를 만드는데, field 사이의 homomorphism은 반드시 injective여야 한다.(zero map일 수 있으나 1을 1로 보내는 경우만 생각한다.) 즉 field k에 대해 k-point는 residue field가 k의 subfield인 점을 찾는 것과 동일함을 알게 된다.
공간에서 정의된 function 들의 sheaf를 structure sheaf로 인식하면, $$\mathcal{O}_{S,s}$$를 $$s$$ 주위에서 정의되는 모든 rational function로, 이것의 maximal ideal은 $$s$$에서 vanish되는 rational function들이라고 볼 수 있다. 미분기하학의 경우를 생각해보면, 모든 함수는 taylor series 전개를 가지는데, 이 중 1차 이상의 모든 항이 maximal ideal에 포함되고, 따라서 남는 상수항은 이 점에서의 함수값이 된다.
따라서 sheaf의 section인 함수를 residue field에서 계산하면 그 점에서의 "함수값", evaluation으로 보는 게 자연스럽다. 이것이 k-point라는 의미는 residue field가 k의 subfield라는 의미이므로, 이 evaluation값이 항상 k에 들어있어야 한다는 것. 좀 더 명확한 예제를 들어보자. 우리는 $$A=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]$$라고 해보자. $$\mathbb{Q}$$는 $$\mathbb{C}$$완 달리 algebraically closed가 아니고, 따라서 여러가지 현상이 나온다. 예를 들면 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]$$의 원소들을 나열해보면
$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]=\{(0),(x-a),(x^2+ax+b),(x^3+ax^2+bx+c),\cdots\}$$
가 된다. 뭔가 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x]$$보다 복잡해졌는데, 바로 뒤에 2차다항식, 3차다항식이 그대로 남아 있단 것 때문에 그렇다. 이제
$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}\to \mathrm{Spec}\mathbb{Q}[x]$$
의 image로 가능한 것은 오로지 $$(x-a)$$꼴밖에 없다. 왜냐하면 $$(x-a)$$꼴만이 그 residue field가 $$\mathbb{Q}$$고 따라서 자기 자신을 extension field로 가짐으로서 $$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[x],(x-a)}\to \mathbb{Q}$$란 morphism을 가질 테니까. 따라서
$$(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q})=(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q})=\{a\in \mathbb{Q}\}$$
라고 표현할 수 있을 것이다. 그러니까 $$\mathbb{Q}$$의 원소들을 모은 것이다. 우리의 직관으론 이것이 $$\mathbb{Q}$$란 space 자체라고 생각할 것이다.
그렇다면 다음을 생각하자.
$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]$$
이것의 image로 가능한 것들은 residue field를 $$\mathbb{Q}(\sqrt(2))$$를 extension field로 가지는 point들. 그러니까 $$(x-a)$$꼴들과 $$(x^2+ax+b)$$꼴들 중에서도 $$a^2-4b=2$$인 것들. 그러니까 써보면
$$(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x])(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))=\{\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})\}$$
가 된다. 그러니까 그냥 $$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$$다!! 이렇게 우린 이런 해석을 할 수 있다.
"$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Q}[x]$$는 $$\mathbb{Q}$$ 위의 정보 뿐만 아니라 $$\mathbb{Q}$$의 finite field extension 위의 정보도 가지고 있고 이런 정보들은 $$S$$-point란 개념으로 알아낼 수 있다.
이제 우리는 특별히 $$\mathrm{Spec}\,k$$-point를 $$k$$-rational point라고 부르자.
$$S$$-point로 할 수 있는 게 더 있다. 바로 affine scheme들을 Yoneda embedding으로 보내는 것이다!! affine scheme을 relative point of view로 봐야겠다면 반드시 우리는 Yoneda embedding을 써야 한다. 이렇게
$$h_A=\mathrm{Hom}(A,-):\mathrm{Ring}\longrightarrow \mathrm{Set}$$
Hom functor들은 모든 functor들 중에서 정말 극소수에 불과하다. 우리는 scheme을 재정의할텐데, 먼저 functor 사이 natural transformation $$F\to G$$가 open immersion이란 것을 $$h_B\to G$$라는 functor가 있으면 언제나 적당한 $$h_A\to F$$라는 functor와 $$h_A\to h_B$$란 natural transformation이 있어서 commutative diagram을 만들고 $$h_A\to h_B$$가 만드는 $$A\to B$$가 localization 방식으로 표현된다는 것이다. functor 사이에 "성질"을 주는 것은 모두 다 처음에 $$h_B\to G$$를 생각하는 것으로 시작한다. 그렇다면 functor들 사이엔 당연히 finite limit와 finite colimit가 있으며, 이것으로 union을 정의한다면 $$X:\mathrm{Ring}\longrightarrow \mathrm{Set}$$이 scheme이란 것은 적당한 $$A_i$$들이 있어서 $$h_{A_i}\to X$$란 open immersion이 있고 덤으로 $$\bigcup h_{A_i}\to X$$가 isomorpism인 것이다. 이런 정의가 우리가 맨 위에서 했던 scheme의 정의와 동치란 것은 증명하기 쉽다.
이것은 얼핏 보면 sheaf를 전혀 쓰지 않은 정의같지만, $$\mathrm{Spec}\,A$$의 sheaf는 $$h_A$$에서 출발하는 morphism들에 encode되어 있는 것이나 마찬가지다. 다만 다른 점은 open $$A$$의 localization들이 아니라 $$A$$-algebra "전체"를 본다는 것이며 이는 "small" Zariski topology에서 벗어나 "big" Zariski topology를 정의하는 원동력이 된다.
이를 가만히 생각하고 보면, 사실 $$S$$-point란 것은 그냥 $$S$$-algebra라고 바꿔 불러도 좋다는 결론이 나온다. $$S$$가 affine scheme이라면 그냥 algebra하고 다를 게 없으니까!!
보통 수학계에선 $$\mathrm{Ring}$$를 쓰지 않고 affine scheme들을 모은 $$\mathrm{Aff}^{\mathrm{op}}$$를 쓰고 $$\mathrm{Hom}(A,-)$$도 $$\mathrm{Hom}(-,\mathrm{Spec}\,A)$$를 쓴다.
이런 기법을 functor of points라고 하며, scheme을 category의 관점에서 보고 싶을 때 이 방법을 쓴다. 이 방법으로 우리는 category of schemes가 fibre product를 가짐을 쉽게 확인할 수 있다. 간단히 ring은 tensor product를 가지니까[2] [3]
이제 $$x\in X$$란 점이 있을 때 이것은 적당한 field $$k$$가 있어서 $$\mathrm{Spec}\,k\to X$$의 image로 표현할 수 있고, 대수기하에서 점을 $$\mathrm{Spec}\,k\to X$$와 같이 표현하는 것은 정말로 유용하다. 이것은 $$\mathcal{O}_{X,x}$$를 생각하는데, 이것의 residue field를 $$k$$라고 하면 image가 $$x$$인 유일한 morphism $$\mathrm{Spec}\,k\to X$$가 존재한다. 그러면 우리는 $$f:X\to Y$$란 morphism of schemes가 있을 때 $$y\in Y$$에서의 fibre를 생각할 수 있는데, $$y$$가 $$다음과 같이 표현한다.
$$f^{-1}(y)=X_y=X\times_Y \mathrm{Spec}\,k$$
이는 $$X\to Y$$와 $$\mathrm{Spec}\,k\to Y$$ 둘로 만든다.
5. 스킴의 더 많은 성질들 (More properties on category of schemes)
그렇다면 이제 몇몇 morphism of scheme들의 모습을 보자. $$i:U\to X$$가 open immersion이란 것은 이것이 injection이고, image가 $$X$$에서 open이고, 덤으로 $$\mathcal{O}_X|_{i(U)}=i_*\mathcal{O}_{U}$$일 때를 말한다. 반대로 $$j:Z\to X$$가 closed immersion이란 것은 이것으로 induce되는 $$i:X\setminus Z\to X$$가 open immersion일 때를 말한다.
$$f:X\to S$$가 morphism of finite type이란 것은 적당한 $$S$$의 open affine finite covering $$\{\mathrm{Spec}\,A_i\}$$가 있어서 $$f^{-1}(\mathrm{Spec}\,A_i)$$가 open affine covering $$\{\mathrm{Spec}\,B_{ij}\}$$로 뒤덮히고 $$B_{ij}$$들이 $$A_{i}$$ 위의 finitely generated algebra인 것이다. 그리고 $$f:X\to S$$가 finite morphism이란 것은 역시 $$S$$에 open affine finite covering이 있어서 각각의 inverse image가 이번엔 정확히 affine scheme이면서 $$B_i$$가 finite $$A_i$$-module인 것이다. 각각은 "모든 covering에 대해서"라고 조건을 바꾸어도 된다. 그리고 morphism of finite presentation이란 것은 간단히 $$B_{ij}$$들이 finitely presented $$A_i$$-algebra라고 조건을 바꾸면 된다.
ring이 있으면 그 위에 module이 있을 것이다. 이는 scheme의 세계에도 그대로 적용되는데 $$X$$가 scheme이고 $$\mathcal{F}$$가 $$X$$ 위의 sheaf of abelian groups일 때 이것이 $$\mathcal{O}_X$$-module이란 것은 모든 $$X$$의 open set $$U$$에 대해서 $$\mathcal{F}(U)$$가 $$\mathcal{O}_X$$-module이란 것이다. 그리고 $$\mathcal{O}_X$$-module $$\mathcal{F}$$가 quasi-coherent란 것은 적당한 set $$I,J$$가 있어서
$$ \mathcal{O}^I_X\longrightarrow \mathcal{O}^J_X\longrightarrow \mathcal{F}\to 0$$
란 exact sequence가 있단 것이다. 이것의 직관은 sheaf가 $$\mathcal{O}_X$$가 움직일 때마다 따라서 같이 움직인다는 직관이 있다. 그리고 coherent sheaf는 exact sequence에서 $$I,J$$ 모두 finite set일 때를 말한다.
$$X=\mathrm{Spec}\,A$$가 affine scheme이고 $$M$$가 $$A$$-module일 때 $$X$$ 위의 quasi-cohernet sheaf $$\tilde{M}$$가 있어서 $$\tilde{M}(X)=M$$이고 이는 반대도 성립한다. 그러니까 affine scheme에선 quasi-coherent sheaf란 그저 module에 불과하다. 이것의 증명은 module의 localization을 생각하는 등 위에서 scheme 할 때랑 거의 똑같이 간다.
$$j:Z\to X$$란 closed immersion이 있다고 해보자. 그러면 $$j^*\mathcal{O}_Z$$는 local하게 보면 $$\mathcal{O}_X$$의 quasi-cohernet sheaf임을 쉽게 알 수 있다. 특히 $$X=\mathrm{Spec}\,A$$가 affine scheme이면 $$\mathcal{O}_X\to j^*\mathcal{O}_Z$$에 global section functor를 씌워서 $$A\to \Gamma(X,j^*\mathcal{O}_Z)$$라는 surjection이 나오고, 이것의 kernel을 생각하면 바로
$$ \Gamma(X,j^*\mathcal{O}_Z)\cong A/I$$
꼴이 나온다. 이제 localization을 생각하면 바로 $$Z=\mathrm{Spec}\,A/I$$가 나오고 affine scheme의 모든 closed subscheme은 affine scheme임을 증명할 수 있다. (이거 Hartshorne 2.2단원에 별표 달린 문제로 있다.)
하지만 affine scheme의 모든 open subscheme이 affine인 건 아니다. 예를 들면 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[x,y]\setminus \{(x,y)\}$$.
'''ideal sheaf'''를 정의하자. $$i:Z\to X$$란 closed immersion이 있으면 이것으로 $$X$$ 안의 '''ideal sheaf'''를 정의할 수 있는데, 간단히 $$X$$의 affine open subscheme들의 covering $$\{U_i=\mathrm{Spec}\,A_i\}$$를 생각하면 위에서 한 걸로 $$Z\times_X U_i=\mathrm{Spec}\,A_i/I_i$$라고 할 수 있고, 따라서 $$I_i$$들을 $$A_i$$-module로 생각하고 sheaf axiom을 생각하면 이걸로 quasi-coherent $$\mathcal{O}_X$$-module을 하나 생각할 수 있는데, 이를 ideal sheaf라고 한다.
ideal sheaf란 건 그냥 ideal의 scheme 버전이라고 생각하면 쉽다. 그리고 이는 closed subscheme에 정확하게 대응된다.
이제 scheme 자체의 성질을 보자. scheme이 quasi-compact란 것은 모든 covering이 finite subcovering을 가진다는 것이고 $$f:X\to S$$가 quasi-compact란 것은 $$S$$의 quasi-compact open subscheme의 inverse image도 quasi-compact란 것이다.
$$f:X\to S$$가 separated morphism이란 것은 이것으로 만들어지는 다음 diagonal morphism $$X\to X\times_S X$$이 closed immersion인 걸 뜻한다. 이는 $$X\to X$$라는 identity morphism과 $$X\to S$$란 morphism으로 만들어진 fibre product diagram에서 나온다. 특히 $$S=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$인 경우 $$X$$를 그냥 separated scheme이라고 한다. 예를 들면 모든 affine scheme은 separated scheme이다. 그리고 closed immersion이란 조건을 quasi-compact란 조건으로 약화시키면 quasi-separated morphism이 나온다. $$\mathrm{Spec}\,\mathrm{Z}$$는 category of schemes의 final object이므로 separated scheme은 그냥 product를 생각하면 된다.
separated scheme을 좀 더 직관적으로 이해해본다면 $$X$$의 두 affine scheme $$U_i=\mathrm{Spec}\,A_i$$가 있다고 할 때 이것의 intersection을 생각하자. 그러면 이것은 일반적으로 affine scheme이 아니다. 예를 들면 $$\mathrm{Spec}\,\mathrm{C}[x,y]$$ 두 개를 생각하고 한 점을 뺀 나머지를 identify시킨 scheme을 생각하면 이건 평면인데 갑자기 중간에 점 두 개가 갑툭튀하는 방식으로 이해할 수 있는데, 윗점을 포함하는 open subscheme이랑 아래점을 포함하는 open subscheme을 생각하면 이 둘의 intersection은 위에서 이미 했듯이 안타깝게도 affine scheme이 아니다. 하지만 separated란 조건을 추가하면 이런 일이 사라진다. $$X$$가 separated라면 $$U_1\times U_2\subseteq X\times X$$고, 이것을 diagonal morphism으로 보낸 inverse image는 $$\Delta:X\to X\times X$$를 생각하면
$$U_1\cap U_2=\Delta^{-1}(U_1\times U_2)\to U_1\times U_2$$
를 만들고 closed subscheme of affine scheme은 affine이므로 그 intersection도 affine이 된다!! 임의의 두 affine scheme의 intersection이 affine이란 것은 separated란 조건과 동치며 quasi-separated는 그 intersection을 유한개의 affine scheme들의 union으로 나타낼 수 있단 것과 동치다. 그리고 separated morphism에 대해선 $$x_1,x_2\in X$$가 같은 $$s\in S$$로 대응될 때만 저 두 point의 neighborhood에 대해서 성립한다.
보통 scheme을 다룰 때 quasi-compact와 quasi-separated란 조건을 많이 준다. 이를 줄여서 qsqc라고 하며 대수기하학자들의 서민(??) 조건이다.
원래 Grothendieck가 처음 scheme을 소개할 땐 separated scheme을 두고 scheme이라고 했다고 한다. 하지만 그 후로 separated가 아닌 scheme을 다뤄야 할 필요가 생기면서 이 조건은 빠지게 된다.
scheme $$X$$가 locally noetherian이란 것은 모든 open affine subscheme $$\mathrm{Spec}\,A\subseteq X$$에 대해서 $$A$$가 noetherian임을 뜻한다. 그리고 $$X$$가 noetherian이란 건 quasi-compact에다가 locally noetherian인 것이다. 그리고 noetherian이란 조건은 local property이므로 $$X=\mathrm{Spec}\,A$$가 noetherian일 필요충분조건은 $$A$$가 noetherian인 것이다.
$$X$$가 scheme일 때 $$X$$가 normal이란 것을 적당한 affine open cover가 있어서 거기에서 ring들이 integrally closed domain인 걸로 정의하자.
마지막으로, scheme의 dimension을 정의해보자. $$X$$가 noetherian이고 connected일 때 $$X$$의 dimension은 다음과 같이 가능한 closed subscheme들의 나열의 길이다.
$$Z_1\subseteq Z_2\subseteq \cdots \subseteq Z_{n+1}=X$$
이제 scheme 안에 있는 것들을 살펴보자. $$X$$가 topological space일 때 $$X$$의 subset A가 '''locally closed subset'''이란 걸 $$A$$가 $$X$$ 안의 open set과 closed set의 intersection일 때라고 정의하자. 그렇다면 이것은 다음 둘과 동치다.
- $$A$$가 자기 자신의 closure 안에서 open
- $$A$$의 원소를 하나 $$x$$라고 한다면 적당한 $$X$$의 open set $$U$$가 있어서 $$x\in U$$고 $$A\cap U$$는 $$A$$에서 closed
어쨌든, 이제 $$X$$가 quasi-compact and quasi-separated scheme이라고 하자. 그렇다면 이것은 다음과 같은 성질을 지니고 있다.
- $$X$$는 유한개의 affine covering을 가진다.
- $$X$$의 두 affine open subscheme의 scheme-theoretic intersection, 그러니까 $$U_1\times_X U_2$$는 유한개의 affine open covering으로 덮힌다.
이제 $$X$$가 quasi-compact and quasi-separated scheme일 때 $$X$$로 한 번 topology를 새롭게 만들어보자. 이번엔 그냥 $$X$$ 안의 locally closed subset들을 open set으로 하자. 그러면 locally closed subset의 여집합도 당연히 locally closed subset이고 따라서 이렇게 준 topology는 totally disconnected가 된다. 그리고 비슷한 논리로 이렇게 준 topology는 Hausdorff가 된다. 앞으로 이런 topology를 $$X$$의 '''constructible topology'''라고 하자.
constructible topology는 직관적으로 $$X$$의 topology를 완전히 박살낸 거라고 생각할 수 있다. 그만큼 이것은 $$X$$의 open, closed subscheme에 대한 정보보단 locally closed인지 아닌지에 대한 정보만 주니까 조금 더 안 좋은 topology라고 생각할 수 있는데, 그만큼 이 topology는 좀 더 다루기 쉽다는 장점이 있다!!
이제 다음 정리를 보자.
> (Chevalley's theorem)$$X,Y$$가 quasi-compact and quasi-separated고 $$Y\to X$$가 finite presentation morphism이라면 $$X,Y$$에 constructible topology를 줬을 때 이 morphism of schemes는 open mapping이 된다. 그러니까 $$Y$$의 locally closed subset의 image는 $$X$$의 locally closed subset이 된다.
이것의 증명은 먼저 여러 번의 finiteness condition덕분에 $$X,Y$$를 affine이라고 가정해도 되고, 이를 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$라고 하면 finite presentation이란 가정으로$$A\to A[x_1]\to A[x_1,x_2]\to \cdots\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B$$
를 생각할 수 있고, 따라서 우리는 $$A\to A[x]$$인 case하고 closed immersion인데 그 ideal sheaf가 coherent sheaf일 때를 생각하는 것하고 똑같다.
자, 두번째 case부터 생각해보자. 간단히 $$\mathrm{Spec}\,A/I\to \mathrm{Spec}\,A$$라고 쓰자. 그러면 ideal sheaf가 coherent란 조건으로 $$I=(f_1,\cdots,f_n)$$라면
$$\mathrm{Spec}\,A/I=X\setminus \bigcup^{n}_{i=1}D(f_i)$$
라고 할 수 있다. 따라서 locally closed subset의 image는 저것들만 intersection하면 되니까 여전히 locally closed다.
이제 $$\mathrm{Spec}\,A[x]\to \mathrm{Spec}\,A$$를 생각해야 하는데, $$f\in A[x]$$일 때 $$V(f)=\mathrm{Spec}\,A[x]\setminus D(f)$$라고 정의하자. 그러면 우리는
$$D(f)\cap \bigcap V(f_i)$$
에 대해서만 이것의 image가 locally closed임을 증명하면 되고, 먼저 $$V(f_i)=\mathrm{Spec}\,A[x]$$일 때 $$f=\sum a_i x^i$$라고 하면 $$D(f)$$의 image는 $$\bigcup D(a_i)$$가 되니 그냥 증명이 끝난다.
이제 induction을 쓸 텐데, $$V(f_i)$$들에서 $$f_i$$들의 차수들의 합을 변수로 하자. 그리고 그 최대 차수를 가지는 애가 아닌 애를 아무거나 $$g$$라고 하고 (모두 차수가 같으면 그냥 아무거나 뽑고) $$g=\sum a_i x^i$$라고 쓰고 최대 차수를 $$d$$라고 하면
$$\mathrm{Spec}\,A=\mathrm{Spec}\,A/(a_d)\sqcup \mathrm{Spec}\,A_{a_d}$$
으로 분리할 수 있고, (오른쪽은 localization이다.) 한 쪽은 최고차항이 사라지고 또 한 쪽은 $$a_d$$가 invertible이 되니까 induction hypothesis로 $$a_d$$가 invertible이라고 가정할 수 있다. 그리고 이 땐 $$f_n$$를 $$f_i$$들 중에서 차수가 최고 큰 애로 하고, 이것의 degree를 $$d'$$라고 하고 최고차항의 계수를 $$b_{d'}$$라고 하면
$$f'=f_n-\frac{b_{d'}}{a_d}g$$
를 생각할 수 있고,
$$\bigcap V(f_i)=\bigcap^{n-1}_{i=1}V(f_i)\cap V(f')$$
이므로 차수를 한 번 줄였고 따라서 이것도 induction hypothesis를 쓸 수 있다.
한편으론 $$f_i$$들이 하나만 있고 그것도 leading coefficient가 unit일 땔 따로 증명할 수도 있는데, 그 유일한 $$f_i$$를 $$g$$라고 하면 $$V(g)$$는 그냥 $$\mathrm{Spec}\,A[x]/(g)$$고, $$A[x]/(g)$$는 finite $$A$$-module이 된다. 그리고 밑에서 증명할 것인데, finite morphism은 closed이므로 $$f=1$$일 때 증명이 끝난다.
그러면 $$f$$가 살아 있을 때가 문제인데, $$A[x]/(g)$$에서 $$f$$가 [math(0)]가 안 되는 애들을 찾는 것이 중요하니까 characteristic polynomial을 생각해서 $$A[x]/(g)$$에서 $$f$$로 곱하는 linear map의 characteristic polynomial을
$$p(x)=\sum r_i x^i$$
라고 하자. 그러면 $$D(f)\cap V(g)$$의 image는 당연히 $$D(p)$$의 image가 되고, 이건 위에서 한 것으로 당연히 constructible이다.
6. 사영 스킴 (Projective spaces)
이제 Proj construction을 소개해보자. Spec construction과는 다르게 Proj construction은 graded ring을 쓴다. 왜냐하면 우리는 이제 projective line을 construct할 건데 거기에서 중요한 건 모든 항이 차수가 같다는 것이고 그러면 affine plane을 line으로 나눌 수 있기 때문이다.
$$S=\bigoplus_{i\ge 0} S_i$$가 graded ring이라고 하자. 그러면 $$S$$의 homogenous ideal $$\mathfrak{a}$$를 $$f_1+\cdots+f_n\in \mathfrak{a}$$이고 $$f_i\in S_i$$일 때 $$f_i\in \mathfrak{a}$$를 만족하는 것으로 정의하자. 그리고
$$\mathrm{Proj}\,S=\left\{\text{Homogenous prime ideals of }S\text{ that satisfies }S_{+}=\bigoplus_{i\ge 1}\nsubseteq \mathfrak{p}\right\}$$
라고 정의하자. 그렇다면 이것은 Spec을 정의했던 것과 똑같이 scheme으로 만들 수 있다.
한가지 예제를 들어보자. $$S_i=\{\sum a_kx^ky^{i-k}|a_k\in \mathbb{C}\}$$라고 해보자. 그렇다면 $$S=\mathbb{C}[x,y]$$를 graded ring으로 만들 수 있고,
$$\mathrm{Proj}\,\mathbb{C}[x,y]=\{(0),(ax+by)\}$$
가 된다. 여기에서 $$a,b\in \mathbb{C}$$며 x 중심으로 본다면 $$(y)$$를 "point at infinity"로 볼 수 있다. 그리고 복소해석과 똑같이
$$f:z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$$
라고 Möbius transformation을 정의할 수 있고, 따라서 point at infinity는 마음대로 잡을 수 있다.
이것으로 우리는 $$A$$가 아무 ring일 때
$$\mathbb{A}^n_{A}=\mathrm{Spec}\,A[x_1,\cdots,x_n]$$
$$\mathbb{P}^n_{A}=\mathrm{Proj}\,A[x_0,\cdots,x_n]$$
라고 정의하자.
projective space의 좋은 점은 "complete"하다는 것이다. 이제 우리는 $$f:X\to S$$가 proper morphism라는 것을
'''1.''' separated morphism이고
'''2.''' morphism of finite presentation이고
'''3.''' universally closed다. 그러니까 $$T\to S$$가 있으면 $$T\times_S X\to T$$는 closed다.
로 정의한다. 이것만 봐서는 proper morphism이 무엇인지 감을 잡기 힘들 것이다. proper morphism은 간단하기 compact set의 relative version이라고 할 수 있고, 이는 topological space에서의 proper map의 criterion을 따라한 것이다. 이것은 한 가지 성질을 만족한다.
'''Valuative criterion of properness.''' 먼저 $$f:X\to S$$를 생각하자. 여기서 두 scheme은 모두 Noetherian 이라고 가정하다.$$R$$이 valuation ring이고 그 field of fraction이 $$K$$라고 하자. 그러면 $$\mathrm{Spec}\,R\to S$$가 있고 $$\mathrm{Spec}\,K\to X$$가 있고 이 둘이 f와 $$\mathrm{Spec}\,K\to \mathrm{Spec}\,R$$와 함께 commutative diagram을 이룬다고 하자. 이럴 때 언제나 유일한 $$\mathrm{Spec}\,R\to X$$가 존재해서 나머지 넷과 commutative diagram을 이룬다면 f는 proper다.
위 criterion은 필요 충분 조건이다. 그리고 유일하게 존재한다는 문구를 많아야 하나 존재한다로 약화하면, 이는 separatedness의 criterion 을 준다.
먼저 $$\mathrm{Spec}\,R$$가 어떤 모습으로 있는지 관찰하자. 먼저 $$R$$는 prime ideal이 단 둘밖에 없다. 하나는 $$(0)$$고 또 하나는 $$R$$가 local ring이어서 갖는 maximal ideal이다. 이 maximal ideal은 closed point가 되고 open set은 공집합, $$\{(0)\}$$, $$\mathrm{Spec}\,R$$ 자기 자신밖에 없다. 그리고 generic point에서의 local ring은 field of fraction이고 closed point에서의 local ring은 자기 자신이다. 따라서 $$\mathrm{Spec}\,K\to \mathrm{Spec}\,R$$의 image는 generic point고 이것은 open immersion이 된다.이제 우리는 $$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$$를 한 번 보자. 그러면 우리는 $$R=\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x]\text{ and }\mathrm{deg}(f)\le \mathrm{deg}(g))\}$$라고 하자. 이것의 valuation은 $$\mathrm{deg}(g)-\mathrm{deg}(f)$$로, maximal ideal $$m$$은 valuation이 0보다 큰, 즉 분모의 차수가 더 큰 원소들과 0을 포함하는 ideal이고, 이것의 field of fraction $$K$$은 $$\mathbb{C}(x)$$, 즉 rational function field가 된다.
$$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$$의 generic point는 prime ideal (0)이고, 이 점에서의 local ring이 곧 rational function field이다. 즉 우리는 K-point 하나를 찾았고, 우리는 image를 $$(0)$$로 하는 $$\mathrm{Spec}\,K\to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$$를 줄 수 있다.
그러면 이것은 criterion을 만족하지 못 한다. 왜냐하면 $$\frac{1}{0}$$가 $$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$$ 안엔 없기 때문이다!!
Valuative crietrion에서 모든 scheme들이 affine scheme이므로 이 상황을 ring들의 diagram으로 바꿔 쓸 수 있다. 그러면 우리는 $$\mathbb{C}$$-algebra로서 세 개의 ring $$\mathbb{C}[x], R, K$$를 갖게 되고, $$\mathbb{C}[x] \to K, R \to K$$ (inclusion)를 얻게 되는데, Valuative Criterion은 첫 map이 $$\mathbb{C}[x] \to R$$ 로 factor가 가능한지 묻는 문제가 된다.
그런데 generic point로 mapping되는 Spec $$K \to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$$는 algebra들의 상황에서 자연스러운 injection $$\mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}(x)$$ 에 대응된다. 여기서 $$R$$는 분모의 차수가 분자의 차수 이상인 집합이므로, 일차 이상의 다항식들이 mapping되지 않아 $$\mathbb{C}[x] \to R$$를 찾을 수 없게 된다.
이와 달리 $$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$$는 Criterion을 만족한다. 이 사례를 적용해 보자면, $$R$$의 두 point 중 closed point는 projective line의 infinity point에 대응할 수 있다.
Projective line은 두 개의 affine line으로 덮여지는데, 그 중 infinity를 포함하는 쪽을 보자. 상황은 비슷하게 $$\mathbb{C}[t], R, K=\mathbb{C}(x)$$ 세 개의 ring 사이의 diagram으로 변환되는데, 다만 다른 점은 $$\mathbb{C}[t] \to \mathbb{C}(x)$$는 흔한 inclusion이 아니라 $$t \to 1/x$$로 대응시킨다는 점. 따라서 $$\mathbb{C}[t] \to R$$를 찾는데 아무 문제가 없고, 앞에서 적용된 반례는 이번엔 반례가 되지 못한다. 실제로 $$ \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$$는 proper morphism이다.
직접 maximal ideal $$m$$의 image를 찾아보면, ideal로서의 pre-image를 찾으면 된다. 이는 $$\mathbb{C}[t]$$에서 상수항이 없는 term, 즉 ideal (t)가 되고, t가 $$1/x$$에 대응되므로 infinity point라 부를 법 하다.
7. 스킴 위 스킴 (Scheme over a scheme)
이제 "Scheme over a scheme $$S$$"란 개념에 대해서 소개하자. 이것은 그냥 $$X\to S$$에 불과하다. 이 개념을 도입하는 이유는 이를 local하게 보면 algebra랑 다름 없기 때문이다.
예를 들면 $$S=\mathrm{Spec}\,k$$ for some field $$k$$라고 해보자. 그러면 $$ X$$의 모든 open affine subscheme $$\mathrm{Spec}\,A$$에 대해서 $$A$$는 $$k$$-algebra가 된다. 그러니까 "$$k$$ 위에 있다"는 것이다.
functor of points의 관점에서 본다면 $$X$$가 $$k$$ 위에 있다면 $$k$$의 모든 subfield $$k'$$에 대해서 $$X(k')=0$$가 된다. 그러니까 더 이상의 정보를 얻을 수 없다. 그래서 정수론을 할 땐 보통 finite field같은 곳에서 먼저 scheme을 정의한 다음에 그 scheme을 algebraic closure로 올린다.
8. 층의 더 많은 성질들 (More on sheaves)
우리는 locally free sheaf를 정의할 텐데 $$ X$$가 scheme이고 $$\mathcal{F}$$가 그 위의 coherent sheaf라고 하자. 그러면 $$\mathcal{F}$$가 locally free sheaf라는 건 모든 open subscheme $$U\subseteq X$$에 대해서 $$ \mathcal{F}(U)$$가 free $$\mathcal{O}_X(U)$$-module인 것이다. 그리고 적당한 open covering이 있어서 거기에서 rank가 모두 1이면 그 sheaf를 invertible sheaf라고 부른다.
invertible sheaf란 말은 정말로 invert할 수 있다는 뜻으로 나왔다. tensor product of sheaves는 자명하게 정의할 수 있고, $$\mathcal{L}$$가 $$X$$ 위의 invertible sheaf라고 하자. 그러면 적당한 open subscheme들의 covering $$\{U_i\}$$가 있어서 $$\mathcal{L}(U_i)=(f_i)$$가 되는데, 간단히 $$\mathcal{L}^{-1}(U_i)=\left(\frac{1}{f_i}\right)$$를 준비하자. 이렇게 invertible sheaves는 tensor product로 group을 이루며 이를 Picard group이라고 하고 $$\mathrm{Pic}(X)$$라고 쓴다.
먼저 locally free sheaf가 affine scheme에서 무엇에 대응되는지 생각해보자. $$X=\mathrm{Spec}\,A$$라고 한 뒤에 여기 위의 locally free sheaf $$\mathcal{F}$$를 생각하자. 그렇다면 $$M=\Gamma(X,\mathcal{F})$$를 생각하는데 locally free란 조건으로 모든 $$\mathfrak{p}$$에 대해서 $$M_{\mathfrak{p}}$$는 free고 따라서 적당한 free module $$F$$ over $$A$$와 morphism $$F\to M$$가 있다고 해보자. 그러면 이것은 $$\mathfrak{p}$$로 loca두izing시키면 split하고 우리는 따라서 $$F\to M$$을 합성하는
$$\mathrm{Hom}(M,F)\to \mathrm{Hom}(M,M)$$
의 image가 identity를 포함함을 증명해야 하는데 이것 역시 localizing하면 free란 조건때문에 그 cokernel이 localizing하면 freeness로 인한 split함으로 0이 되고 따라서 $$M$$가 free가 된다. 반대로 $$M$$가 projective면 local ring 위의 f.g. projective module은 basis 잡고 free module 잡고 split하게 해주면 $$A_{\mathfrak{p}}^n=M\oplus \mathfrak{m}_{\mathfrak{p}}A_{\mathfrak{p}}^n$$로 Nakayama lemma를 쓰면 free가 되고 따라서 다음 대응이 생긴다.
$$\{\text{locally free sheaves over }X=\mathrm{Spec}\,A\}\longleftrightarrow \{\text{projective modules over }A\}$$
우리는 $$K$$가 number field일 때 이것의 ring of integers $$\mathcal{O}_K$$를 생각해보자. 그러면 $$\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_K$$의 invertible sheaf를 생각하자. 이것은 local하게 rank가 1이며 각각의 prime ideal들을 생각하고 $$\mathcal{O}_K$$가 Dedekind domain임을 생각하면
$$\mathrm{Pic}(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_K)=\mathrm{Cl}_K$$
로, 그러니까 ideal class group이 된다.
이제 우리는 projective line $$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$$위에 있는 structure sheaf의 global section functor를 생각하자. 그러면 point at infinity를 빼고 생각하면 global section functor에 들 수 있는 function들이 $$\mathbb{C}[x]$$가 되는데, 이것들은 상수 빼고는 모두 point at infinity에서 제대로 정의되지 않으므로
$$\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}})=\mathbb{C}$$
가 된다.
projective line엔 invertible sheaf가 이런 것만 있는 게 아니다. 우리는 $$\mathbb{C}[x,y]$$에다가 graded module을 하나 줄 건데 간단히 degree를 한 칸씩 옮긴 $$M=\mathbb{C}[x,y]$$를 생각할 것이다. 이는 상수 term은 degree 1이고 1차항은 degree 2다. 그러면 이것에 대응되는 sheaf를 $$\mathcal{O}(1)$$이라고 하고 이를 '''Serre twisting sheaf'''라고 부를 것이다. 그러면 이것도 point at infinity를 빼고 생각하면 PID 위의 projective module은 $$\mathcal{O}(1)(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\setminus \{\infty\})=\mathbb{C}[t]$$로 똑같고 이것으로 Serre twisting sheaf가 invertible sheaf라는 것도 알 수 있다. 하지만 무한대점에서 이번엔 일차항까지 허용하고 따라서
$$\Gamma(\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}},\mathcal{O}(1))=\{ax+by|a,b\in \mathbb{C}\}$$
가 된다.
Serre twisting sheaf를 이번엔 $$\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}$$에 대해서 구체적으로 쓰면 다음과 같이 된다.
$$\mathcal{O}(m)(U)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in \mathbb{C}[x_0,\cdots,x_n],f,g\text{ are homogenous and }\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)+m,g(a_0,\cdots,a_n)\ne 0 \text{ for }(a_0,\cdots,a_n)\in \mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}\right\}$$
그렇다면 중복조합 세듯이 해주면 $$m\ge 0$$일 때
$$\mathrm{dim}\,\Gamma(\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}},\mathcal{O}(m))={{m+n}\choose{n}}$$
우리는 이제 Weil divisor란 개념을 소개하자. field $$k$$ 위의 $$X$$가 normal finite type scheme일 때 $$X$$는 Hilbert basis theorem으로 noetherian이고 $$X$$ 위의 codimension 1 subscheme들 $$Z_i$$이 있으면
$$ \sum n_i [Z_i]$$
를 Weil divisor라고 하자. 그리고 open set $$U$$에 대해서 $$\mathcal{O}_{X}(U)$$의 field of fraction을 $$K_{X}(U)$$라고 할 때 $$U\mapsto K^*_{X}(U)$$란 presheaf를 생각할 수 있고 이것의 sheafification의 global section을 rational function이라고 부르자. 그리고 우리는 $$f|_{x}\in \mathcal{K}_{X,x}$$를 생각하는데 이 때 noetherian이란 조건과 codimension 1이란 조건, integrally closed란 조건으로 $$\mathcal{O}_{X,x}$$는 discrete valuation ring이 되고 따라서 $$f|_x$$의 degree를 잴 수 있고, 이 degree를 $$\nu_{\bar{\{x\}}}(f)$$라고 쓰자. 그리고 두 Weil divisor $$D,D'$$가 있을 때 $$D\sim D'$$를 적당한 rational function $$f$$가 있어서
$$D-D'=\mathrm{deg}(f)=\sum_{Z\subseteq X} \nu_{Z}(f)[Z]$$
인 것을 말한다. 여기에서 우변은 유한합이다. 그리고 이런 Weil divisor들로 만든 group을 $$\mathrm{Cl}(X)$$라고 쓰자. 그러면
$$ \sum_{i} n_i[Z_i]\mapsto \sum_i n_i$$
는 다음과 같은 map $$\mathrm{deg}:\mathrm{Cl}(X)\to \mathbb{Z}$$를 만들 수 있다.
$$X$$가 locally factorial이란 것을 적당한 open affine covering이 있어서 그 곳에서 ring들이 UFD인 것을 말한다. 그러면 invertible sheaf를 생각하면 작은 open subscheme에서의 section은 인수분해 될 수 있고, 따라서 다음이 성립한다.
$$\mathrm{Pic}(X)\cong \mathrm{Cl}(X)$$
그러면 $$k$$를 field라고 하고 $$X=\mathbb{P}^n_{k}$$라고 하고 $$\mathcal{L}$$을 invertible sheaf라고 하고 이것에 대응되는 Weil divisor를 $$D=\sum_i n_i[Z_i]$$라고 하자. 그러면 먼저 rational function이 어떻게 생겼는지 확인해보자. rational function은 먼저 $$\mathrm{Frac}k[x_0,\cdots,x_n]$$의 원소고, 분자분모가 모두 homogenous function이고 무한대에서 발산하면 안 되니까 분자의 degree가 분모의 degree보다 작고 그렇다고 분모가 더 크면 그 inverse가 없으므로 분자분모는 같은 degree를 가진다. 그리고 $$\mathrm{deg}\,D=0$$이라면 각각의 closed subscheme의 maximal ideal의 generator들을 $$\{f_i\}$$라고 한다면 $$f=\prod f^{n_i}_i$$를 생각할 수 있고, 그러면 $$D=\mathrm{deg}\,(f)$$가 되고 Serre twisting sheaf들이 있으므로
$$\mathrm{Pic}(X)=\mathrm{Cl}(X)=\mathbb{Z}$$
가 된다.
우리는 sheaf들을 보면서 global section이 매우 빈약한 sheaf를 보았고 global section이 많은 sheaf를 보았는데 이제 global section이 많은 sheaf를 보자. 이런 sheaf는 global section으로부터 stalk의 basis를 만드는데, 예를 들면 $$\mathbb{P}^n_k$$에서 $$\mathcal{O}(1)$$같은 애들.
이제 우리는 $$X$$를 위 divisor 할 때랑 똑같은 조건으로 두고 $$\mathcal{L}$$를 line bundle이라고 하고 $$\Gamma(X,\mathcal{L})$$를 생각할 건데, 이것의 basis를 $$f_1,\cdots,f_m$$이라고 하면 모든 $$X$$의 point의 stalk를 $$f_1,\cdots,f_m$$가 generate한다면 $$\mathcal{L}$$을 '''very ample bundle'''이라고 하자. 그러면 $$\mathcal{L}$$가 very ample line bundle이라면
$$i:X\to \mathbb{P}^{m-1}_k,x\mapsto (f_1(x):f_2(x):\cdots:f_m(x))$$
라는 immersion을 만들 수 있고, $$\mathcal{L}=i^*\mathcal{O}(1)$$가 된다.
우리는 $$X\to \mathbb{P}^n_k$$라는 closed immersion이 존재하는 scheme을 projective scheme이라고 하자. 그러면 projective scheme엔 반드시 very ample line bundle이 존재하게 되고, 이는 많이 중요하다. $$\mathcal{L}$$가 $$X$$의 very ample line bundle이고 $$\mathcal{F}$$가 아무 coherent sheaf면 적당한 $$n$$이 있어서 $$\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}^n$$는 모든 stalk가 global section에서 나오기 때문이다. 그러니까 sheaf를 아주 다루기 편하게 해주는 도구가 된다.
이제 $$\mathcal{L}$$이 invertible sheaf일 때 graded ring $$\Gamma_*(X,\mathcal{L})$$를 생각해보자. 이는 $$\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})$$를 nth grade라고 생각하고
$$\Gamma_*(X,\mathcal{L})=\oplus_{n\ge 0}\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})$$
를 생각한 것이다. 이는 원래 invertible sheaf엔 곱셈이 없지만 억지로 곱셈을 추가한 것으로 볼 수 있다. 그러면 원래부터 곱셈이 있었던 $$\mathcal{O}_X$$는 그냥 $$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)=\Gamma_*(X,\mathcal{O}_X)[x]$$로 생각할 수 있다. 그리고 특히 $$\mathcal{L}$$이 very ample이면 이것의 global section은 $$X$$의 모든 local section을 만들기에 $$X$$의 affine open covering을 하나 잡고 $$\Gamma_*$$쪽의 localization을 비교하면 다음과 같은 open immersion이 있을 수 있다.
$$X\to \mathrm{Proj}\,\Gamma_*(X,\mathcal{L})$$
이제 $$X$$가 scheme이고 $$\mathcal{L}$$가 $$X$$ 위 invertible sheaf일 때 이것이 '''ample''' line bundle이란 것은 적당한 $$n$$가 있어서 $$\mathcal{L}^{\otimes n}$$가 very ample이란 것이다. 이것은 very ample line bundle만큼이나 중요한데, 어차피 몇 번 tensoring하는 것으로 very ample인 것처럼 다룰 수 있기 때문이다.
예를 들어서 $$X$$가 affine scheme일 때 그 structure sheaf는 자명하게 very ample이고 따라서 ample이다. 그리고 projective space $$\mathbb{P}^n_k$$의 Serre twisting sheaf $$\mathcal{O}(1)$$도 언제나 very ample이고 ample이다.
$$X$$가 '''quasi-affine'''이란 것을 $$X$$가 어떤 affine scheme의 open subscheme일 때를 말한다. 당연히 이는 affine이 아닐 수도 있다. 하지만 $$\mathcal{O}_X$$는 $$X$$를 여전히 만드는데, $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$는 다음과 같은 map들로 쪼갤 수 있다.
$$X\to \mathrm{Spec}\,\Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to \mathrm{Spec}\,A$$
여기에서 오른쪽은 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$로 만들어지는 sheaf 사이 morphism으로 만들어지는 것이고 왼쪽은 $$X$$를 local하게 affine scheme으로 보고 이를 $$U=\mathrm{Spec}\,R$$이라고 쓰면 $$\mathcal{O}_X(U)\to R$$이 언제나 존재하므로 이를 붙혀서 만들 수 있다. 그리고 이 composition은 open immersion이 되어야 하니까 왼쪽도 똑같이 open immersion이 되어야 한다.
이제 다음을 증명하자.
먼저 $$\mathcal{O}_X$$가 ample이면 당연히 very ample이고 위에서 했던 것과 $$\mathcal{O}_X$$에 대해선 $$\Gamma_*(X,\mathcal{O}_X)=\Gamma(X,\mathcal{O}_X)[x]$$인 것으로$$X$$가 quasi-affine일 필요충분조건은 $$\mathcal{O}_X$$가 ample인 것이고 이는 $$\mathcal{O}_X$$가 very ample이라는 것과 동치다.
$$X\to \mathrm{Spec}\,(\Gamma(X,\mathcal{O}_X)[x])$$
라는 open immersion을 만들 수 있고, 따라서 $$X$$는 quasi-affine이다. 그리고 이것으로 위에서 한 것으로 $$\mathcal{O}_X$$는 very ample이 되고 very ample이면 ample이다.
quasi-affine이 있으면 quasi-projective도 정의할 수 있다. $$k$$[4] 위의 scheme of finite type $$X$$이 '''projective'''라는 것은 적당한 $$n$$이 있어서 다음과 같은 closed immersion
$$X\to \mathbb{P}^n_k$$
이 있을 때를 말한다. 비슷하게, '''quasi-projective scheme'''을 어떤 projective scheme의 open subscheme이라고 정의한다. 그렇다면 다음이 성립한다.
이제, $$S$$가 quasi-compact일 때 $$X\to S$$가 affine morphism이란 것을 모든 $$S$$의 open subscheme의 inverse image가 affine인 것을 뜻한다고 하고 quasi-affine morphism은 inverse image가 quasi-affine인 것을 뜻한다고 하자. 비슷하게 $$k$$-scheme들의 morphism $$X\to S$$가 projective morphism이란 것을 모든 $$S$$의 open subscheme의 inverse image가 projective scheme over $$k$$인 것을 뜻하고 quasi-projective morphism도 비슷하게 정의한다.$$k$$ 위의 scheme of finite type $$X$$가 quasi-projective일 필요충분조건은 $$X$$에 ample line bundle이 존재하는 것이다.
증명은 간단하게 $$\mathcal{L}$$가 그 ample line bundle이면 $$\mathcal{L}^{\otimes n}$$은 다음과 같은 immersion들
$$X\to \mathrm{Proj}\,\Gamma_*(X,\mathcal{L}^{\otimes n})\to \mathbb{P}^m_k$$
을 만든다. 그러면 오른쪽은 closed immersion이고 왼쪽은 open immersion이다. 반대방향은 간단히 $$\mathbb{P}^m_k$$에 있는 Serre twisting sheaf를 뒤로 밀어주자.
$$S$$ 위의 quasi-coherent sheaf $$\mathcal{F}$$에 대해서 $$\mathrm{Spec}\,\mathcal{F}$$를 적당한 $$S$$의 affine open covering $$\{U_i\}$$가 있어서 $$\mathcal{F}(U_i)=M_i$$라고 한다면 $$\mathrm{Spec}\,\mathrm{Sym}\,M_i$$들을 붙힌 scheme으로 정의하자. 여기에서 $$\mathrm{Sym}\,M_i$$는 $$M_i$$의 symmetric product로 간단히 $$M_i$$에다가 곱셈을 추가한 것이다. 비슷하게 우리는 $$\mathrm{Proj}\,\mathcal{F}$$를 정의할 수 있다. 단 Proj때는 $$M_i$$들이 finite module이어야 정의 가능하다고 생각하자. 그러면 언제나 $$\mathrm{Spec}\,\mathcal{F},\mathrm{Proj}\,\mathcal{F}\to S$$가 존재한다. 그리고 affine morphism과 projective morphism은 각각 이런 꼴 morphism이라고 정의할 수 있고, quasi-affine morphism과 quasi-projective morphism은 open immersion과 이런 꼴 morphsim의 composition이라고 할 수 있다.
projective morphism은 모두 proper morphism이다. 이는 $$k=\mathbb{Z}, S=\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$에서 증명해도 증명이 끝나며 그 다음엔 적당히 식을 변형해서 valuative criterion을 쓰면 된다.[5]
한 편으론, proper morphism은 projective morphism하고 상당히 가깝다.
> (Chow's lemma) $$S$$가 noetherian이고 $$X\to S$$가 proper morphism이라고 하자. 그러면 적당한 자연수 $$n$$과 $$\mathbb{P}^n_{S}$$의 closed subscheme $$X'$$하고 surjective morphism $$f:X'\to X$$가 있어서 이것과 $$X'\to S, X\to S$$는 commutative diagram을 이루고 적당한 $$X$$의 dense open subscheme $$U$$가 있어서 $$f^{-1}(U)\cong U$$가 된다.
증명은 생략하겠다. 이 정리는 projective란 말이 붙은 거의 모든 건 proper라고 이름을 바꿔도 된다는 정리다.다른 한 편으론, 사실 거의 모든 morphism of schemes는 proper morphism하고 상당히 가깝다.
> (Nagata compactification theorem) $$S$$가 quasi-separated and quasi-compact라고 하고 $$f:X\to S$$가 separated and finite presentation morphism이라고 하자. 그러면 적당한 proper morphism $$X'\to X$$하고 open immersion $$X\to X'$$가 있어서 이 셋은 commutative diagram을 이룬다.
이것 역시 증명을 생략하겠다. 이것은 아주 대충 말해서 locally compact space가 one-point compactificable하듯 거의 모든 scheme은 compactificable하다는 정리다.affine scheme 위의 coherent sheaf는 쉬우니까 이제 projective scheme 위에서의 coherent sheaf를 한 번 살펴보자. 먼저 $$k$$가 field(또는 그냥 Noetherian ring)라고 하고 $$\mathbb{P}^n_k$$를 생각해보자. 그러면 이것엔 당연한 affine covering $$n+1$$개가 있고, 이런 affine
covering들에서 coherent sheaf를 생각한다면 적당한 $$d_1,\cdots,d_r$$이 있어서
$$ \prod_{i}\mathcal{O}(d_i)\to \mathcal{F}$$란 surjection이 있게 된다. 이것은 그냥 $$A$$가 Noetherian graded ring이고 $$M$$이 그 위의 finite module일 때 $$A$$의 각 단계마다 $$A^r\to M$$을 써준 걸로 생각하면 편하다. 그리고 일반적인 scheme에 대해서도 pullback을 생각하면 이것과 완전히 똑같이 생각할 수 있다.
9. 평탄 사상 (Flat morphism)
자, 이제 $$R$$이 아무 (commutative) ring (with unity)라고 하고 $$R$$ 위의 module $$M$$을 생각하자. 그렇다면 $$M$$이 '''flat $$R$$-module'''이란 것은 모든 exact sequence
$$0\to N'\to N\to N''\to 0$$
에 대해서
$$0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0$$
란 exact sequence가 존재하는 것이다.
이제 flat module의 성질을 알아내보자. 먼저, $$I$$가 $$R$$의 ideal이면
$$0\to I\to R\to R/I\to 0$$
란 exact sequence가 있고, 따라서 flat module이면
$$I\otimes_R M\to M$$
란 morphism이 언제나 injection이어야 한다는 걸 알 수 있다. 그리고 이것이 언제나 injection이고 $$F'$$가 rank 1 free module over $$R$$이고 $$f:F'\to F$$가 있다고 하자. 그러면 이것의 kernel을 생각하고 dual을 생각하고 dual을 간단히 $$F^{\vee}$$라고 쓰고 $$F^{\vee}\to (F')^{\vee}$$의 image를 $$I$$라고 하면
$$F^{\vee}\otimes_{R}M\to I\otimes_{R}M\to (F')^{\vee}\otimes_R M$$
를 만들 수 있고, $$F^{\vee}\to (F')^{\vee}$$의 kernel의 dual을 $$K$$라고 하고 $$F''$$를 free module이라고 할 때 $$F''\to K\to 0$$이라는 $$K$$의 presentation을 하나 잡으면 다음과 같은 exact sequence를 만들 수 있다.
$$ (F'')^{\vee}\otimes_R M\to F^{\vee}\otimes_R M\to (F')^{\vee}\otimes_R M$$
그럼 Hom-tensor adjuntion은 다음을 만든다.
$$\mathrm{Hom}_R(F'',M)\to \mathrm{Hom}_R(F,M)\to \mathrm{Hom}_R(F',M)$$
그리고 우리는 이걸 적당히 $$n$$번 곱하는 걸로 $$F'$$에 그러니까 요약하면 $$F,F'$$가 모두 finitely generated free고 $$M$$이 flat이고 $$F'\to F$$가 있다면 적당한 finitely generated free module $$F''$$하고 morphism $$F\to F''$$가 있어서
<\math>\mathrm{Hom}_R(F'',M)\to \mathrm{Hom}_R(F,M)\to \mathrm{Hom}_R(F',M)$$
라는 exact sequence가 있다는 것이다.
이제 $$M$$이 아무 flat module일 때 finitely generated free module $$F$$와 $$\phi:F\to M$$라는 morphism 두 쌍을 $$(F,\phi)$$라고 쓰기로 하고, 이것으로 set $$I$$을 만들자. 그렇다면 $$M$$은 당연히 $$I$$에 대한 colimit다. 그리고 이는 $$M$$이 flat이면 위에서 만든 정리는 $$I$$이 direct set임을 증명해준다.
이것은 다음을 뜻한다. $$M$$이 filtered colimit of free modules라는 것과 동치며, 이 동치라는 정리를 '''Lazard theorem'''이라고 부른다.[6]
$$R$$의 모든 finitely generated ideal $$I$$에 대해서 $$I\otimes_{R}M\to M$$이 injection이면 $$M$$는 flat이라는 것을 알 수 있다. 이는 exact sequence 가운데에 있는 $$N$$이 rank 1일 땐 모두 증명되고, rank를 올려보면 rank n짜리는 rank $$n-1$$짜리와 rank 1짜리로 쪼갠다. 그러면 free module에서 finite module로 가는 morphism의 kernel을 생각하면 rank n짜리의 kernel을 rank $$n-1$$짜리 kernel로 나누면 ideal이 나오므로 증명된다. finite module이란 조건을 빼려면 그냥 모든 module은 finite module의 direct limit고 tensor product는 direct limit와 commute하므로 증명이 끝난다.
$$M$$이 '''faithfully flat module''' over $$R$$이란 것은
$$0\to N'\to N\to N''\to 0$$
이란 exact sequence가 있다는 것과
$$0\to N'\otimes_R M\to N\otimes_R M\to N''\otimes_R M\to 0$$
이란 exact sequence가 있다는 것이 동치임을 뜻한다.
이제 module에서 algebra로 옮겨보자. $$A\to B$$가 '''flat morphism'''이란 것은 $$B$$가 flat $$A$$-module이 될 때를 말한다. 그리고 '''faithfully flat morphism'''도 똑같이 정의한다. 그러면 $$A\to B$$가 faithfully flat이란 것은 flat이고 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$가 surjection이라는 것과 동치다.[7]
이제 scheme $$X,Y$$와 morphism $$f:X\to Y$$에 대해서 이것이 flat morphism이란 것을 모든 $$x\in X$$에 대해서 $$\mathcal{O}_{Y,f(x)}\to \mathcal{O}_{X,x}$$가 flat인 것이다. 그리고 이것이 faithfully flat이란 것은 surjection이고 flat이라는 것이다. 그리고 $$\{U_i\to X\}$$가 fpqc covering이란 것은 $$\bigsqcup_i U_i\to X$$가 faithfully flat이고 quasi-compact란 것이다.
그렇다면 $$\{\mathrm{Spec}\,B_i\to \mathrm{Spec}\,A\}$$가 '''fpqc covering'''이란 것을 이것으로 만들어지는 $$A\to \bigoplus_i B_i$$가 faithfully flat morphism일 때를 말한다고 하자. 그러면 $$\mathrm{Spec}\,A$$-scheme들을 모은 category $$\mathrm{Sch}_A$$에 '''fpqc topology'''를 줄 텐데, 간단히 covering을 fpqc covering으로 설정한 topology라고 하자. 그렇다면 fpqc topology를 준 $$\mathrm{Spec}\,A$$ 위의 '''quasi-coherent sheaf'''란 것을 생각해볼 텐데, 이것은 직관적으로 flat morphism $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$마다 $$B$$-module $$M_B$$를 준 거라고 생각할 수 있고, quasi-coherent란 조건은 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$가 적당히 local하고 $$B\to C$$란 morphism이 있을 때 $$M_C=M_B\otimes_B C$$라는 조건을 더 붙혀준다. 그러면 이런 걸로 충분할까??
우리가 sheaf의 정의를 생각할 때, 두 번째 조건에서 intersection을 생각한다. 그리고 그 intersection은 "자기 자신"하고 하면 그냥 topological space일 땐 문제 없겠지만 fpqc topology에선 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$의 intersection은 $$\mathrm{Spec}\,B\otimes_A B\to \mathrm{Spec}\,A$$가 되고, 따라서 그 위에 있는 module은 $$M$$이라고 하면
$$M_{B\otimes_A B}=M_B\otimes_B (B\otimes_A B)=M_B\otimes_A B$$
가 될 것이다. 근데 우리에겐 이것만 있는 것이 아닌데, 왜냐하면 $$\mathrm{Spec}\,B\otimes_A B\to \mathrm{Spec}\,A$$는 두 가지 경우가 있을 수 있으며, 이는 $$B\to B\otimes_A B$$에서 $$a\in A$$를 어느 쪽 coordinate로 보내냐에 따른 문제며, 각각을 $$i_1,i_2$$라고 한다면
$$M_{i_1}=M_B\otimes_A B,M_{i_2}=B\otimes_A M_B$$
가 나온다. 그러니까 우리는 $$\phi:M_{i_1}\to M_{i_2}$$란 morphism도 필요하며, 이것은 세 번 intersection했을 때 정의할 수 있는 $$\phi_{1,2}:M_{i_1}\otimes_A B\to M_{i_2}\otimes_A B,\phi_{2,3},\phi_{1,3}$$에 대해서
$$\phi_{1,3}=\phi_{2,3}\circ \phi_{1,2}$$
라는 일종의 cocycle condition을 만족해야 한다. 그러니까, $$\mathrm{Spec}\,A$$ 위의 fpqc quasi-coherent sheaf란 것은 반드시 각 faithfully flat morphism $$A\to B$$마다 $$\phi_{1,2}:M_B\otimes_A B\to B\otimes_A M_B$$도 같이 달려있어야 한다. 그래야 $$f_i|_{U_i\times_X U_j}=f_j|_{U_i\otimes_X U_j}$$라는 조건에서 둘이 있는 곳이 다르다는 참사가 일어나지 않는다.
이렇게, 우리는 이를 일반화해서 다음을 정의하자.
> $$X$$가 scheme이고 $$\{U_i\to X\}$$가 fpqc covering이라고 하자. 그러면 fpqc descent datum of $$X$$라는 것은 각 $$U_i$$ 위의 (Zariski) quasi-coherent sheaf $$\mathcal{F}_i$$와 $$i,j,k$$에 대해서 $$\phi_{i,j}:\mathcal{F}_i\to \mathcal{F}_j$$가 있어서 cocycle condition $$\phi_{i,k}=\phi_{j,k}\circ \phi_{i,j}$$를 만족하는 다음과 같은 모임 $$(\mathcal{F}_i,\phi_{i,j})$$를 뜻한다.
이렇게, descent datum이라고 불리는 것이야말로 fpqc quasi-coherent sheaf라고 생각할 수 있다.이제 우리는 faithfully flat descent란 걸 생각해보자.
- $$A\to B$$가 faithfully flat morphism이고 $$M$$이 $$A$$-module일 때 다음과 같은 exact sequence $$0\to M\to M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B$$가 생긴다. 여기에서 $$M\otimes_A B\to M\otimes_A B\otimes_A B$$는 $$\mathrm{d}:m\otimes b\mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b$$로 정의한다.
section이 없으면 section을 만들면 된다. $$A\to B$$ 양 옆에 $$B$$를 tensoring해서 $$B\to B\otimes_A B$$로 만들면 이건 $$B\otimes_A B\to B$$란 section이 있으며 이를 구체적으로 써보면 $$b\otimes b'\mapsto bb'$$가 된다. 그리고 faithfully flat이란 성질에 따라서 증명이 끝난다.
이제 다음 1-1 대응을 만들어보자.
- $$\{\text{fpqc descent datums of }X\}\leftrightarrow \{\text{quasi-coherent sheaves of }X\}$$
$$M=\{m\in M_B|\phi(m\otimes 1)=1\otimes m\}$$
그러면 $$M\otimes_A B=M_B$$임을 증명하면 되는데, $$\phi_{1,2},\phi_{2,3}$$과 cocycle condition으로 commutative diagram
$$\begin{aligned}&M_B\otimes_A B\to (M_B\otimes_A B)\otimes_A B \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \downarrow \qquad \qquad \quad \,\, \qquad \downarrow \\ & B\otimes_A M_B\to B\otimes_A (M_B\otimes_A B)\end{aligned}$$
를 만들 수 있고, 여기에서 맨 위는 $$m\otimes b \mapsto m\otimes b\otimes 1-m\otimes 1\otimes b$$이고 맨 오른쪽은 $$\phi_{1,2}$$고, 맨 아래는 $$b\otimes m\mapsto 1\otimes (b\otimes m)-1\otimes \phi(m\otimes b)$$가 된다. 위의 kernel은 faithfully flat descent로 $$M'$$가 되며, 아래의 정의로 $$M$$이 된다. 따라서 증명이 끝난다.
이제 flat morphism의 성질을 차근차근 보도록 하자. $$f:X\to Y$$가 flat이라면 그 fibre의 dimension을 구해볼 텐데, $$x\in X$$일 때
$$0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to \mathcal{O}_{Y,f(x)}\to \mathcal{O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0$$
라는 exact sequence가 있고, 여기에 $$\mathcal{O}_{X,x}$$를 tensoring하면
$$0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}\mathcal{O}_{X,x}\to \mathcal{O}_{X,x}\to \mathcal{O}_{X,x}\otimes_{\mathcal{O}_{Y,f(x)}}\mathcal{O}_{Y,f(x)}/\mathfrak{m}_{Y,f(x)}\to 0$$
가 되고 따라서 셋의 Krull dimension을 생각한다면 다음이 만들어진다.
$$\dim_x X=\dim_y Y+\dim_x Y_y$$
여기에서 $$\dim_x X$$란 $$x$$의 connected open neighborhood의 dimension이다.
$$X,Y$$가 quasi-compact에 quasi-separated고, $$f:X\to Y$$가 flat이고 finite presentation morphism이면 open이다. 이는 먼저 $$X,Y$$가 connected라고 가정하고, 위에서 증명한 Chevalley's theorem으로 $$f(X)$$는 $$Y$$에서 constructible이고, 이제 이게 closed under generalization임을, 그러니까 $$x\in f(X)$$고 $$x\in \bar{\{y\}}$$일 때 $$y\in f(X)$$임을 보이면 $$f(X)=U\cap Z$$로 open set $$U$$, closed set $$Z$$로 나타냈을 때 $$Z$$가 전체 집합이 아닌 이상 이걸 절대로 만족하지 않으니 $$f(X)$$는 open이 되고 이걸 증명하면 된다.
이제 $$x\in X$$일 때 $$\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{X,x}\to\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{Y,f(x)}$$가 surjection임을 증명하면 $$f(x)\subseteq \bar{\{y\}}$$일 때 $$y$$와 그 inverse image를 생각하면 $$y\in f(X)$$가 되고 closed under generalization임이 증명된다. 그리고 이 morphism은 flat임을 염두에 두자.
surjection임은 local ring에서 먼저 Noether normalization theorem을 쓰면 $$\mathcal{O}_{X,x}$$가 finite $$\mathcal{O}_{Y,f(x)}$$-module이라고 가정할 수 있고, 밑에서 증명할 거지만 finite morphism은 언제나 proper이므로 closed point는 closed point로 옮겨야 하고, minimal prime도 minimal prime으로 옮겨야 하고, 이 둘이 아닌 $$\mathcal{O}_{Y,f(x)}$$의 prime ideal $$\mathfrak{p}$$를 생각하면 이것이 inverse image가 없다면 $$\mathfrak{p}\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}$$가 되고, 따라서 Nakayama lemma로 $$(\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0$$이 되는데, 이제 $$\mathcal{O}_{X,x}$$의 flatness로 위에서 차원 잰 것과 비슷하게 해주면
$$0\to \mathfrak{m}_{Y,f(x)}\mathcal{O}_{X,x}\to \mathcal{O}_{X,x}\to \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0$$
이 만들어지고, 맨 오른쪽은 closed point는 closed point로 옮겨져서 만들어진 것이다. 이제 exact sequence는 localization에 의해 보존되므로 $$\mathfrak{p}$$으로 localizing해주면
$$0\to \mathfrak{p}\to (\mathcal{O}_{X,x})_{\mathfrak{p}}=0\to \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}\to 0$$
가 만들어진다. 맨 오른쪽은 field라 아무런 변화가 없다. 그렇다면 prime ideal이 minimal ideal이 되어야 하니까 모순이고, 따라서 flat and of finite presentation이면 open이라는 것이 증명된다.
이를 통해서 한 가지 알 수 있는 사실이 또 있는데, 저 모순을 만드는 과정에서 Nakayama lemma를 다시 한 번 쓰면 local ring 위에서의 finite module이 flat이면 faithfully flat이거나 아예 0이어야 한다는 사실을 알 수 있다.
finite and locally finite presentation이 open이란 것은 증명과정에서도 알 수 있듯이 아주 대충 '''fibre의 dimension이 같아야 하는데 갑자기 closed인 무언가가 갑툭튀할 수 없다'''를 뜻한다.
이제 잠깐 한 가지 딴 생각을 해보자. subscheme에서 open이나 closed라는 조건들은 closed under generalization, specialization이 결정한다. 그리고 이 조건들은 사실 $$X$$의 topology에 의존하지 않는다 (!!)
정확히 말하면, $$X$$의 '''w-local covering'''에 의존한다. 그러니까 좀 더 자세히 말하면 $$X_w$$란 scheme하고 $$f:X_w\to X$$라는 faithfully flat morphism이 있어서 다음을 만족한다.
- $$X_w$$는 totally disconnected다. 그리고 $$X_w$$의 closed point들을 모은 것은
- $$X_w$$의 connected component들의 집합에 quotient topology를 준 것은 $$X$$에 constructible topology를 준 것과 homeomorphic하다.
- $$X_w$$의 connected component를 하나 $$U_w$$라고 하면 여기엔 유일한 closed point $$x\in U_w$$가 있고 $$U_w=\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{X,f(x)}$$가 된다.
$$\mathrm{Spec}\,A^{\sim}_{I}\to \mathrm{Spec}\,A$$
란 map은 image가 딱 $$\mathrm{Spec}\,A/I$$란 closed scheme이 generalized되는 점들을
모은 것이다.
자, $$f\in A$$를 생각해보자. 이것은 $$\mathrm{Spec}\,A$$ 안에서 open subscheme을 만들기도 하고, closed subscheme을 만들기도 하다. 그리고 이것은 간단히 생각해서$$\mathrm{Spec}\,A=\mathrm{Spec}\,A_f\sqcup \mathrm{Spec}A/(f)=D(f)\sqcup V(f)$$
로 쪼갤 수 있다. 그렇다면 이제 두 개짜리를 생각하면, $$f,g\in A$$일 때 이 둘 모두로 localizing한 $$A_{f,g}$$가 있고, 하나론 localizing하고 하나론 나눈 $$(A/(f))_g$$도 있고, 둘 다로 나눈 $$A/(fg)$$가 있다. 그리고 set-theoretical하겐 이는 직선 두 개로 평면을 1,2,3,4사분면, 원점 뺀 x축, 원점 뺀 y축, 원점. 이렇게 나눈 거라고 생각할 수 있다. 그리고 우리가 할 것은 여기에서 closed subscheme 부분을 그게 generalizing될 수 있는 최대의 scheme으로 바꿔치기할 것이다. 우리의 목표는 closed point 자체가 아니라 그것이 불려진 $$\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{X,x}$$같은 애니까!!
이제 좀 더 잘게 나눠서 $$E\subseteq A$$를 그냥 finite subset이라고 하고 $$E=E'\sqcup E'$$라고 할 때
$$V(E',E'')=D\left(\prod_{f\in E'}f\right)\sqcup \bigcap_{f\in E''}V(f), A_{E',E''}=\left(A/(E'')\right)_{\prod_{f\in E'}f}$$
를 정의하자. 여기에서 $$A/(E'')=\bigotimes_{f\in E'',A}A/(f)$$로, 그냥 $$f\in E''$$들로 $$A$$를 나눈 것이다. 그러면 다음을 알 수 있다.
$$\mathrm{Spec}\,A=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E''}V(E',E'')$$
여기에서 closed subscheme을 불려서 다음을 만들자.
$$X_{E}=\bigsqcup_{E=E'\sqcup E''}\mathrm{Spec}\,A_{E',E''}$$
그러면 이것은 아무리 $$\mathrm{Spec}\,A$$가 처음에 connected였다고 해도 점점 disconnected해진다. 그리고 $$X_{E}\to X$$는 간단히 $$\mathrm{Spec}\,A^{\sim}_{I(E'')}\to \mathrm{Spec}\,A/I(E)$$를 정의할 수 있으니까 정의할 수 있고, local ring은 둘이 서로 완전히 똑같으니까 faithfully flat이 된다.
이제 다음을 정의하자.
$$X_w=\lim_{E} X_{E}$$
여기에서 limit는 colimit다. 그렇다면 이것은 바로 우리가 원하던 것이다. 일반적인 scheme에 대해선 그냥 gluing axiom에 따라서 만들면 그냥 된다.
$$X_w$$는 아주 직관적으로 $$X$$의 '''Zariski universal covering'''이라고 생각할 수 있다. faithfully flat이고 덤으로 locally closed subscheme이라면 갖고 있던 local ring이 같단 성질을 그대로 보존하기 때문이다.
여기에서 faithfully flat이란 성질은 정말로 중요하다. pro-etale cohomology theory에서 정말로 많은 성질들이 이것을 좀 더 불린 w-contractible covering에서 증명되는데, 여기에서 faithfully flat descent를 반드시 써야 하기 때문이다.
10. 유한 사상 (finite morphism)
위에서 정의했듯이 $$f:X\to S$$가 finite란 것은 모든 affine open subscheme $$U=\mathrm{Spec}\,A\subseteq S$$에 대해서 $$f^{-1}(U)=\mathrm{Spec}\,B$$꼴이고 $$A\to B$$가 finite module을 이룰 때를 말한다.
finite morphism의 가장 자명한 예로는 closed immersion이 있으며[8] finite extension $$k'/k$$에 대해서 $$\mathrm{Spec}\,k'\to \mathrm{Spec}\,k$$ 또한 finite morphism이 된다.
먼저 finite morphism에 대해서 제대로 하기 전에 dimension 0인 scheme의 구조부터 알아보자. $$X$$가 dimension 0라고 해보자. 먼저 $$X=\mathrm{Spec}\,A$$일 땐 $$A$$의 모든 prime ideal은 maximal ideal일 수밖에 없고, 따라서 모든 $$X$$의 point들은 closed고 덤으로 두 point를 $$\mathfrak{m},\mathfrak{n}$$이라고 썼을 때 $$D(\mathfrak{m}),D(\mathfrak{n})$$는 각각 $$\mathfrak{n},\mathfrak{m}$$를 포함하면서 서로 서로소이므로 $$\mathrm{Spec}\,A$$는 Hausdorff가 된다. 이제 여기에서 $$A$$를 noetherian이라고 가정하면 $$\mathrm{Spec}\,A$$는 finite에 discrete topology를 가지게 되고, 다시 $$A$$에 noetherian이란 가정을 빼면 모든 ring은 noetherian ring의 direct limit로 표현할 수 있으므로 다음 다섯은 동치가 된다.
- $$A$$는 Krull dimension 0
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 dimension 0
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 Hausdorff
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 totally disconnected
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 profinite set
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 finite discrete topology를 가짐.
- $$A$$는 artinian $$k$$-algebra
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 finite set
- $$\mathrm{Spec}\,A$$는 discrete topology를 가짐
- $$A$$는 Krull dimension 0
- $$A$$는 finite $$k$$-algebra
$$A\to B$$가 finite ring map이고 injection일 때 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$가 surjection임을 보이자. 이는 어떤 $$\mathfrak{q}\subseteq B$$가 inverse image가 없을 때 $$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}=B_{\mathfrak{q}}$$임을 알 수 있고, 따라서 Nakawama lemma로 $$B_{\mathfrak{q}}=0$$가 되므로 모순이다. 따라서 저것은 surjection이어야 하고 이것으로 우리는 '''going-up property'''라는 걸 증명할 수 있다. 이는 $$\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}'\subseteq A$$라는 prime ideal의 나열이 있고 $$\mathfrak{q}$$가 $$\mathfrak{p}$$에 대응되는 $$B$$의 prime ideal일 때 적당한 $$B$$의 prime ideal $$\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{q}'\subseteq B$$가 있어서 $$f^{-1}(\mathfrak{q}')=\mathfrak{p}$$라는 내용의 성질이다. 이는 간단히 $$A/\mathfrak{p}\to B/\mathfrak{q}$$를 생각한다. $$Z\subseteq X$$가 closed subscheme이고 $$X\to S$$가 finite일 때 $$Z$$는 $$X$$의 어떤 point의 closure로 표현되고, 그 point를 $$x\in X$$라고 한다면 going-up property로 $$f(Z)$$는 $$f(x)$$의 closure다. 따라서 finite morphism은 closed가 된다. 그리고 finite morphism은 base change에 대해서 불변이므로 finite morphism은 universally closed가 되며 affine morphism은 separated니까 finite morphism은 proper임을 알 수 있다.
훨씬 더 일반적으로, 다음 둘은 동치가 된다.
- $$f:X\to S$$는 integral morphism. 그러니까 affine morphism이고 이렇게 해서 만들어지는 extension of rings가 integral이다.[9]
이것의 증명은 생략하겠다.
이제 $$X\to S$$가 '''quasi-finite'''라는 것을 of finite presentation이고 이것의 모든 fibre가 dimension 0일 때를 말한다고 하자. 이는 위에서 한 것으로 fibre가 dimension 0란 것은 모든 fibre가 finite set이란 것과 동치가 된다. 그리고 모든 finite morphism은 quasi-finite가 됨을 알 수 있다.
우리는 이제 다음을 증명할 것이다.
이는 신기한 정리인데, finite morphism은 사실 fibre가 유한하다는 quasi-finite morphism하고 다를 바 없다는 정리이기 때문이다. 반대로 quasi-finite morphism은 open subscheme에서만 적용되는 finite morphism이라고 볼 수 있다.'''(Zariski main theorem)''' $$S$$가 quasi-compact라고 하자. $$X\to S$$가 quasi-finite고 separable이라면 적당한 scheme $$X'$$가 있어서 $$X\to S$$는 $$X\to X'$$와 $$X'\to S$$로 분해되며 $$X\to X'$$는 open immersion, $$X'\to S$$는 finite가 된다.
다음을 증명해보자.
증명은 그냥 노가다...인데, $$M/\mathfrak{m}M$$의 dimension에 따른 induction을 써보자. $$M/\mathfrak{m}M=0$$이라면$$A$$가 complete local ring이고 그 maximal ideal이 $$\mathfrak{m}$$고 $$M$$이 $$A$$-module이면서 $$M/\mathfrak{m}M$$은 finite-dimensional $$A/\mathfrak{m}A$$-vector space고 $$\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}M=0$$라면 $$M$$는 finite $$A$$-module이다.
$$M=\mathfrak{m}M=\mathfrak{m}^2M=\cdots=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM=0$$
이고, 적당한 $$e\in M$$이 있어서 $$e$$를 $$M/\mathfrak{m}M$$로 옮긴 걸 $$\bar{e}$$라고 쓰기로 하고 $$M/\mathfrak{m}M=(\bar{e})$$라면
$$M=\mathfrak{m}M+(e)=\mathfrak{m}(\mathfrak{m}M+(e))+(e)=\mathfrak{m}^2M+(e)=\cdots$$
가 되어서 complete란 조건으로
$$M=\bigcap^{\infty}_{n=1}\mathfrak{m}^nM+(e)=(e)$$
가 된다. 그리고 일반적인 dimension에 대해선 basis들 중에서 한개만 남기고 미리 $$M$$쪽으로 올리고 그 올린 것으로 만들어진 submodule을 $$M'$$라고 한 다음에 $$M/M'$$를 생각하면 이것은 바로 위에서 한 것으로 rank가 1이고 따라서 $$M$$의 rank는 $$M/\mathfrak{m}M$$의 rank와 같아지게 되므로 증명이 끝난다.
이것으로 $$A$$가 complete local noetherian ring일 때 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$가 quasi-finite가 되는 모든 $$B$$들을 분류해보자. 먼저 $$A$$의 maximal ideal로 가는 모든 $$B$$의 prime ideal들을 모으면 이 prime ideal로 $$B$$를 localize한 것은 Krull intersection theorem과 quasi-finite map의 정의, 그리고 위의 정리로 finite $$A$$-module이 된다. 이런 prime ideal들을 $$\mathfrak{q}_i$$라고 하면
$$\bigsqcup_{\mathfrak{q}_i}\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_{X,\mathfrak{q}_i}\to \mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$
를 만들 수 있고, 오른쪽은 quasi-finite여서 $$A$$의 maximal ideal의 fibre가 discrete topology를 가지고 왼쪽은 Nakayama lemma로 open immersion이 되고 덤으로 valuative criterion을 생각하면 proper이므로 closed이기도 하고 따라서 $$\mathrm{Spec}\,B$$ 안에서 왼쪽 map의 image는 clopen이 되고 따라서 clopen인 set은 ring을 둘로 쪼개게 되므로 $$B=B_1\times B_2$$가 되고 특히 여기에 $$A/\mathfrak{m}$$을 tensoring하면 $$B_2/\mathfrak{m}B_2=0$$가 되고 $$B_1$$는 finite $$A$$-module이 된다. 이를 $$\mathrm{Spec}\,B\to \mathrm{Spec}\,A$$의 관점에서 바라본다면 $$\mathrm{Spec}\,B$$는 $$X_0\sqcup X_1$$로 나누어지는데 $$X_0\to \mathrm{Spec}\,A$$는 finite morphism이고 $$X_1\to \mathrm{Spec}\,A$$는 maximal ideal로 절대 가지 않는다.[10] 이런 decomposition은 $$\mathrm{Spec}\,B$$를 일반적인 scheme으로 바꾸고 quasi-finite를 quasi-finite and separable이란 조건으로 바꿔도 성립한다.
이제 $$A$$가 complete local noetherian ring이라고 하고 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$가 proper고 quasi-finite라고 하자. 그러면 위의 decomposition으로 $$X=X_0\sqcup X_1$$로 나눌 수 있는데, $$X_1\to \mathrm{Spec}\,A$$는 절대로 closed point로 가지 않는데 proper이므로 closed고 따라서 $$X_1$$은 공집합이다. 따라서 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$는 그냥 finite가 된다.
위에서 proper란 조건을 빼보자. 그러면 그냥 quasi-finite morphism은 quasi-affine이다. 이는 $$A$$의 dimension에 대한 induction과 위의 decomposition을 쓰면 된다. 다음 $$n$$에 대해서 maximal ideal 바로 아래에 있는 prime ideal에 대한 localization을 생각하는 것으로[11]
그러면 위의 두 가지를 조합하면 quasi-affine이면 quasi-projective고 따라서 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$는 $$\mathrm{Spec}\,A$$의 어떤 coherent sheaf의 projective spectrum을 생각해서 적당한 $$X'$$가 있어서
$$X\to X'\to \mathrm{Spec}\,A$$
를 만들게 되는데, 왼쪽은 open immersion이고 오른쪽은 projective고 quasi-finite인데 projective면 proper고, proper고 quasi-finite면 finite니까 $$\mathrm{Spec}\,A$$에 대한 Zariski main theorem을 증명할 수 있다.
이제 $$A$$에 complete란 조건을 빼보자. $$A$$가 그냥 noetherian local ring이고 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$가 quasi-finite면 $$A$$의 completion을 $$\hat{A}$$라고 할 때 $$A\to \hat{A}$$은 $$A$$ 안에 유일하게 있는 ideal에 대해서 flatness criterion을 생각하면 faithfully flat이다. 이제 $$X\to \mathrm{Spec}\,A$$를 big fpqc site 안의 morphism으로 보고, $$X\times_{\mathrm{Spec}\,A}\mathrm{Spec}\,\hat{A}$$와 $$\mathrm{Spec}\,\hat{A}\to \mathrm{Spec}\,A$$를 각각 sheaf of algerbas를 생각해서 fpqc descent datum으로 생각한 다음에 faithfully flat descent를 쓴다. 그러면 open immersion이랑 finite란 성질은 faithfully flat으로 잘 옮겨가고, Zariski main theorem을 local noetherian ring에 대해서 증명할 수 있다.
이제 finiteness와 open immersion이란 성질은 local property니까 $$A$$에 local이란 성질을 뺄 수 있다. $$\mathfrak{p}$$가 $$A$$의 prime ideal일 때 $$X\times \mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{p}}\to \mathrm{Spec}\,A_{\mathfrak{p}}$$에 대해선 이미 증명했고 저것이 inverse limit임을 생각하면 적당한 $$\mathfrak{p}$$의 근방에서 증명할 수 있으니까. 덤으로 noetherian이란 조건도 뺄 수 있는데, quasi-finite의 정의에 of finite presentation이 있기 때문이다. 그리고 마지막으로 $$\mathrm{Spec}\,A$$을 일반적인 scheme $$S$$로 바꿀 수 있고 증명이 끝난다.
11. 부드러운 사상과 에탈 사상 (smooth morphism and étale morphism)
11.1. 캘러 미분과 공접 사슬 (Kähler differential and cotangent complex)
먼저 본격적으로 무언가를 하기 전에, '''Kähler differential'''을 소개하자.
$$A\to B$$가 ring map일 때 $$\Omega^1_{B/A}$$란 걸 정의할텐데, 이것은 간단하게 대충 다변수 미적분학을 할 때 보이는 1-form들을 모아놓은 module이다. 그러니까
$$\Omega^1_{B/A}=\left\{\sum a_i\mathrm{d}b_i|a_i\in A,b_i\in B\right\}$$
꼴이다. 여기에서 $$\mathrm{d}:B\to \Omega^1_{B/A}$$는 module로 볼 때의 morphism인데,
- $$\mathrm{d}a=0$$ for all $$a\in A$$
- $$\mathrm{d}(bb')=b'\mathrm{d}b+b\mathrm{d}b'$$ (Leibniz rule)
좀 더 formal하게 정의를 써보면 이렇게 된다. $$B\otimes_A B\to B$$를 생각하는데, 이것은 $$b\otimes b\mapsto bb'$$로 정의된다. 그러면 이것은 ring map이고 이것의 kernel을 $$I$$라고 한다면
$$\Omega^1_{B/A}=I/I^2$$
으로 정의된다. 이 정의는 이질적일 수 있지만 $$\mathrm{d}b=1\otimes b-b\otimes 1$$이라고 생각한다면 쉬울 것이다.
예를 들기 위해서 몇몇 case에서 이것을 계산해보자. $$B=A[x_1,\cdots,x_n]$$라면 $$\Omega^1_{B/A}=\{\sum^{n}_{i=1} a_i \mathrm{d}x_i|a_i\in A\}$$가 되고, $$R$$이 characteristic p에 perfect ring[12]이라면 모든 $$x\in R$$는 적당한 $$y\in R$$가 있어서 $$x=y^p$$가 되므로
$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}y^p=py^{p-1}\mathrm{d}y=0$$
이고, 따라서 $$\Omega^1_{R/\mathbb{F}_p}=0$$이 된다. 여기에서 더 나아가서 $$k'/k$$란 field extension이 separable일 필요충분조건은 $$\Omega^1_{k'/k}=0$$임을 알 수 있다.
Kähler differnetial은 아주 대충 말하면 '''ramification을 재는 도구'''다. $$A\to B$$가 of finite presentation이고 flat일 때 이런 Kähler differential이 $$B$$ 위에서 free가 아니라는 것은 $$A\to B$$의 행동이 정말로 병적임을 의미한다.
Kähler differential을 계산하기 위한 도구는 많이 있다. 예를 들면 $$A\to B\to C$$란 게 있다면
$$\Omega^1_{B/A}\otimes_B C\to \Omega^1_{C/A}\to \Omega^1_{C/B}\to 0$$
이란 exact sequence가 있고, $$C=B/I$$꼴이라면 이는
$$I/I^2\to \Omega^1_{B/A}\otimes_B(B/I)\to \Omega^1_{(B/I)/A}\to 0$$
란 exact sequence로 변한다.
이제 $$A\to B$$가 of finite presentation이고 그 Kähler differentials가 free라면 Noether normalization으로
$$A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m)$$
가 있을 테고, 여기에서 $$A[x_1\cdots,x_{n-m}]\to B$$쪽은 finite다. 그리고 위의 exact sequence로 $$A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to B$$의 Kähler differentials는 0이다. free module의 submodule은 free여야 하고 finite algebra의 Kähler differentials는 free가 될 수 없으니까. 특히 $$A\to B$$의 Kähler differentials가 0이라면 $$B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_n)$$꼴이 되고 $$(p_1,\cdots,p_n)$$들의 Jacobian matrix는 invertible이 된다.
사실 $$Omega^1_{B/A}$$가 free가 아니라면 Kähler differential은 별로 쓸모가 없다. 왜냐하면 그 이상의 정보를 알려주지 않기 때문인데, 이를 보완하기 위해서 우리는 '''cotangent complex'''라는 걸 정의하는데, 이것은 Kähler differential보다 훨씬 더 category theory의 관점에서 볼 때 다루기 쉽단 장점이 있다.
다음을 정의하자.
$$B_1=B,B_2=A[B_1],B_3=A[B_2],\cdots$$
여기에서 $$S$$가 set일 때 $$A[S]$$를 $$A$$의 coefficient로 하는 $$S$$의 원소들의 finite formal sum들의 $$A$$-module이라고 하자. 그럼 이것들은 $$B$$-module로 만들 수 있으며 이제 다음 complex를 정의하자.
$$L_{B/A}=\cdots\to \Omega^1_{B_3/A}\otimes_{B_3}B\to \Omega^1_{B_2/A}\otimes_{B_2}B\to \Omega^1_{B/A}\to 0$$
이를 '''cotangent complex'''라고 한다.
cotangent complex의 정의에서 $$B_{\bullet}$$들은 사실 free $$B$$-algebra가 되고 $$B_{\bullet}\to B$$가 $$B$$의 resolution이 되도록만 정하면 마음대로 정할 수 있다.
cotangent complex의 성질로 $$A\to B\to C$$란 ring map이 있을 때 다음 distingushed triangle이 존재한다.
$$L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C\to L_{C/A}\to L_{C/B}\to L_{B/A}\otimes^{\mathbf{L}}_{B}C[1]<$$
여기에서 $$\otimes^{\mathbf{L}}$$는 derived tensor product로 tensor product의 진짜 모습이라고 생각할 수 있다.
우리는 작은 $$i$$에 대해서 $$H_i(L_{B/A})$$들을 직접 계산해볼 수 있는데, $$H_0(L_{B/A})=\Omega^1_{B/A}$$가 되고, $$A[B]\to B$$의 kernel을 $$I$$라고 한다면 $$H_1(L_{B/A})=I/I^2$$가 된다.
$$A\to B$$가 flat이고 $$\Omega^1_{B/A}$$이 0이라고 하자. 그러면 $$A\to B$$에서 $$B$$를 tensoring하면 $$\Omega^1_{B\otimes_A B/B}=0$$이 되고, $$B\to B\otimes_A B\to B$$하고 cotangent complex를 생각하고 homology를 일일히 구해주면 $$L_{B/B\otimes_A B}=0$$가 된다. 따라서 $$B\to B\otimes_A B\to B$$에 대해서 cotangent complex를 계산하면
$$L_{B/A}=L_{B\otimes_A B/B}\otimes^{\mathbf{L}}_{B\otimes_A B} B=0$$
가 된다. 하지만 $$L_{B/A}=0$$라고 $$A\to B$$가 flat은 아니다. 여기 참조
이제 Noether normalization에서 얻은 $$A\to A[x_1,\cdots,x_{n-m}]\to B$$와 바로 위에서 얻은 결과를 종합해보면 $$\Omega^1_{B/A}$$가 finite projective고 $$A\to B$$가 flat이라면 $$L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0]$$라는 사실을 얻을 수 있다.
한 가지 criterion을 만들어보자. $$A\to B$$가 of finite presentation이고 flat일 때 $$B=A[x_1,\cdots,x_n]/(p_1,\cdots,p_m)$$이다. 여기에서 $$p_1,\cdots,p_m\in A[x_1,\cdots,x_n]$$이며 $$m\le n$$다. 그러면
$$\mathrm{d}p_i=\sum^{m}_{i=1} \frac{\partial p_i}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$$
가 되고, cotangent complex의 first homology는 없으니까 $$0\to A\to A[x_1,\cdots,x_n]\to B$$를 생각하면 $$A[x_1,\cdots,x_n]\to B$$의 kernel을 $$I$$라고 할 때
$$0\to I/I^2\to \Omega^1_{A[x_1,\cdots,x_n]/A}\otimes_P B\to \Omega_{B/A}\to 9$$
이라는 exact sequence가 있고, 따라서 $$\Omega^1_{B/A}$$는 $$\Omega^1_{A[x_1,\cdots,x_n]/A}$$를 $$\mathrm{d}p_i$$들로 나눈 걸로 볼 수 있기에 $$\Omega^1_{B/A}$$가 $$B$$ 위에서 finite projective module일 필요충분조건은
$$\begin{pmatrix} \frac{\partial p_1}{\partial x_1} & \frac{\partial p_1}{\partial x_2} &\cdots & \frac{\partial p_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial p_2}{\partial x_1} & \frac{\partial p_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_2}{\partial x_n} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ \frac{\partial p_m}{\partial x_1} & \frac{\partial p_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial p_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}$$
의 $$n\times n$$-submatrix들이 모두 invertible인 것을 뜻한다.
11.2. 형식 사상들 (formal morphisms)
먼저 $$B$$가 ring이라고 하고, $$I\subseteq B$$가 $$I^2=0$$를 만족하는 ideal이라고 하자. 이는 직관적으로 $$B$$란 $$B/I$$에다가 '''무한소'''를 추가한 것이다. 그렇다면 우리는 $$X\to S$$가 morphism of schemes라고 하면 다음을 정의하자. 여기에선 functor of points에서 썼던 기호를 쓰자.
- $$f$$가 formally smooth라는 것은 다음 대응 $$X(B)\to X(B/I)$$가 surjection인 것이다.
- $$f$$가 formally unramified라는 것은 다음 대응 $$X(B)\to X(B/I)$$가 injection인 것이다.
- $$f$$가 formally étale이라는 것은 다음 대응 $$X(B)\to X(B/I)$$가 bijection인 것이다.
$$0\to J/J^2\to \Omega^1_{P/A}\otimes_P B\to \Omega^1_{B/A}\to 0$$
가 split exact sequence라는 것과 동치다. 이는 다시 cotangent complex로 옮기면 $$L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0]$$이고 $$\Omega^1_{B/A}$$가 projective $$B$$-module이란 것과 동치며 다음을 정의할 수 있다.
- $$A\to B$$가 smooth morphism이란 것은 이것이 of finite presentation이고 $$\Omega^1_{B/A}$$가 finite projective $$B$$-module이고 $$L_{B/A}=\Omega^1_{B/A}[0]$$일 때를 말한다.
local ring 사이 local homomorphism $$A\to B$$가 있다고 하고 이것이 smooth morphism이라고 하자. 그러면 이것은 flat인데, $$A$$가 noetherian이라고 가정할 수 있고, 그러면 $$A[x_1,\cdots,x_n]\to B$$를 생각하고 왼쪽 ring을 $$B$$의 maximal ideal로 localize한 걸 $$P$$라고 쓰고 이는 $$A$$ 위에서 flat이고 $$P\to B$$의 kernel을 $$I$$라고 한다면 formally smooth의 정의로 $$B\to P/I^i$$를 만들 수 있고 따라서 $$\hat{P}\to B$$의 section $$B\to \hat{P}$$를 만들 수 있다. 따라서 $$B$$는 $$\hat{P}$$의 direct summand고 $$\hat{P}$$는 $$A$$에서 flat이니 $$B$$도 $$A$$에서 flat이다. 그리고 flat은 local property니 $$A,B$$가 local ring이란 가정을 하지 않아도 된다. 따라서 cotangent complex 할 때 마지막에서 두번째로 설명한 것으로 smooth morphism은 flat이고 $$\Omega^1_{B/A}$$가 finite projective인 것으로만 설명해도 된다.
noetherian local ring $$A$$이 '''regular'''라는 것을 이것의 maximal ideal을 $$\mathfrak{m}$$이라고 하면 $$A$$의 Krull dimension이랑 $$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$$를 $$A/\mathfrak{m}$$-vector space로 봤을 때의 dimension이랑 같다고 해보자. regular란 notion은 smooth란 notion하고 비슷한데, 대신 이것은 residue field에 대한 정보를 구체적으로 정하지 않는다.
$$A$$가 field $$k$$ 위에 있고 $$k\to A$$는 smooth morphism이라고 해보자. 그러면 $$(A/\mathfrak{m})/k$$라는 field extension이 separable이 되어야 하고, 그러면 $$k\to A\to A/\mathfrak{m}$$는
$$0\to \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\to \Omega^1_{A/k}\otimes_A (A/\mathfrak{m})\to \Omega^1_{(A/\mathfrak{m})/k}\to 0$$
라는 exact sequence를 만들고, 맨 마지막이 사라지므로 다음을 얻을 수 있다.
$$\dim A=\dim_{A/\mathfrak{m}} \Omega^1_{A/k}\otimes_{k}(A/\mathfrak{m})=\dim_{A/\mathfrak{m}}\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$$
여기에서 첫번째는 smooth면 $$\Omega^1_{A/k}$$의 rank와 $$A$$의 Krull dimension은 같다는 데에서 얻을 수 있다. 그러니까 smooth면 regular다. 하지만 역은 성립하지 않는데, 위에서 말했듯이 regular라는 조건은 residue field에 대해서 어떤 조건도 주지 않지만 smooth란 조건은 residue field에도 조건을 만들기 때문이다. 예를 들면 $$\mathbb{F}_p(t)\to \mathbb{F}_p(t^{\frac{1}{p}})$$는 regular지만 smooth는 될 수 없다. 하지만 $$k$$에 perfect field란 조건을 붙혀 준다면 regular와 smooth는 서로 동치조건이 된다.
regular local ring of Krull dimension 1은 바로 discrete valuation ring이다. 이는 curve를 다룰 때 중요한데, smooth curve over a field는 모든 local ring이 generic point만 뺀다면 이런 discrete valuation ring이기 때문이다. 그리고 이럴 때 smooth curve의 rational function의 각 점에서의 degree는 maximal ideal로 만들어진 filtration에서 어느 부분에 들어가 있냐에 따라서 달라진다.
formally unramified에 대해서 알아보자. $$A\to B$$가 formally unramified map이라면 $$I=\mathrm{Ker}(B\otimes_A B\to B)$$라고 하고
$$\sigma_1,\sigma_2:B\to B\otimes_A B/I^2$$
둘을 $$\sigma_1(b)=b\otimes 1, \sigma_2(b)=1\otimes b$$라고 하면 이 둘은 $$B\otimes_A B/I$$에선 같고 따라서 formally unramified map의 정의로 $$\sigma_1=\sigma_2$$로 $$\Omega^1_{B/A}=0$$가 나온다. 반대는 Kähler differentials의 universal property를 생각하면 formally unramified란 것은 그냥 $$\Omega^1_{B/A}=0$$이라는 것과 동치가 된다. 이제 다음을 정의하자.
- $$A\to B$$가 of finite presentation이고 $$\Omega^1_{B/A}=0$$이면 이를 unramified morphism이라고 하자.
반대로 $$A\to B$$가 of finite presentation이고, residue field extension이 finite separable이고 $$\mathfrak{m}_AB=\mathfrak{m}_B$$라면 같은 Nakayama lemma로 $$A\to B$$는 unramified가 된다.
unramified morphism은 이름 그대로 umramified인 것들만 나타낼 수 있는데, 예를 들면 $$L/K$$가 local field 사이의 totally ramified extension이고 $$L^{\circ}/K^{\circ}$$가 그 ring of integers 사이의 extension일 때 이것은 절대로 unramified morphism이 될 수 없다. 왜냐하면 maximal ideal을 옮기면 maximal ideal이란 성질이 깨지기 때문이다.
이제 다음을 정의하자.
- $$A\to B$$가 étale이라는 것은 flat이고 unramified인 것이다.
11.3. 유한 에탈 사상 (finite étale morphism)
여기에선 주로 finite flat morphism과 finite étale morphism을 다룰 것이다.
먼저 flat morphism은 open subscheme을 open subscheme으로 옮긴다. 그리고 finite morphism은 proper니까 closed subscheme을 closed subscheme으로 옮긴다. 따라서 $$X,S$$가 connected라면 $$f:X\to S$$란 finite flat morphism은 언제나 surjection이다.
finite flat morphism은 직관적으로 '''차원은 바꾸지 않고 점만 여러개로 바꾸는 morphism'''이라고 이해할 수 있다. 예를 들어서 $$X,S$$가 어떤 field $$k$$ 위에서 모두 dimension 1이고 irreducible이고 smooth인 curve라고 해보자. 그러면 $$x\in X$$를 하나 잡고 $$f(x)$$를 생각하면
$$f_x:\mathcal{O}_{S,f(x)}\to \mathcal{O}_{X,x}$$
를 만들 수 있고, 둘은 discrete valuation ring이고 이제 $$X$$ 안에 유일하게 있는 generic point를 $$\eta$$라고 한다면 $$K(X)=\mathcal{O}_{X,\eta}$$라고 쓰리고 하고 $$K(X)/K(S)$$가 separable이라면
$$f_x(\mathfrak{m}_{S,f(x)})\mathcal{O}_{X,x}=\mathfrak{m}^{e_x}_{X,x}$$
인 $$e_x$$가 반드시 있고, 이를 '''ramification index'''라고 하자. 그렇다면 언제나 $$e_x\ge 1$$이고, $$f:X\to S$$가 finite étale이라는 것은 모든 $$x\in X$$에 대해서 $$e_x=1$$이란 것으로 생각할 수 있다.
$$X\to S$$가 étale이면 이것은 quasi-finite가 된다. 어떤 fibre가 dim.이 1 이상이면 거기에서 Kähler differentials가 rank 1 이상이 되기 때문이다. 따라서 Zariski main theorem으로 적당한 scheme $$X'$$가 있어서 $$X\to S$$는 open immersion $$X\to X'$$하고 finite étale morphism $$X'\to S$$로 분해된다. 따라서 étale morphism을 다루는 것은 finite étale morphism을 다루는 것과 같다.
예제를 몇 개 들어보자. $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$는 scheme들 중에서 가장 간단한 scheme이고, 이것의 finite étale covering $$X\to \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$가 있는지 생각해보자. 그러면 generic point를 생각하면 이는 $$K(X)/\mathbb{Q}$$란 finite extension을 만들며, 이는 unramified extension을 만들어야 한다. 하지만 이는 Minkowski의 geometry of numbers로 $$\mathbb{Q}$$ 자신이라는 것이 알려져 있으며, 따라서 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$의 finite étale covering은 자기 자신밖에 없다.
그렇다면 이제 field $$k$$에 대해서 $$\mathrm{Spec}\,k$$의 finite étale covering을 생각해보자. 어떤 $$X\to \mathrm{Spec}\,k$$라는 finite étale morphism이 있다면 그 fibre는 discrete topology를 이뤄야 하고 원소는 유한개니까 local artinian rings of residue field $$k$$인 $$A_1,\cdots,A_n$$이 있어서
$$X=\mathrm{Spec}\,A_1\sqcup \mathrm{Spec}\,A_2 \sqcup \cdots \sqcup \mathrm{Spec}\,A_n$$
가 된다. 이제 unramified란 조건에서 $$A_1,\cdots,A_n$$들은 모두 field여야 하고 덤으로 $$k$$의 separable extension이어야 한다. 그러니까 $$k$$ 위 finite étale covering은 $$k$$의 separable extension들 $$k_1,\cdots,k_n$$이 있어서 $$k_1\times k_2\times \cdots \times k_n$$이다.
우리는 $$k$$가 algebraically closed field일 때 $$\mathbb{P}^1_k$$의 finite étale covering을 생각해보자. 있어서 $$X\to \mathbb{P}^1_k$$로 쓰인다면 증명하진 않았지만 Riemann-Hurwitz formula를 쓰면 $$K(X)/k(t)$$의 degree를 $$N$$이라고 하고 $$g(X)$$를 $$X$$의 genus[14]라고 하면
$$2g(X)-2=N(2g(\mathbb{P}^1_k)-2)+\sum_{x\in X}(e_x-1)=-2N+\sum_{x\in X}(e_x-1)$$
가 되며, $$e_x=1$$ for all $$x\in X$$라면 왼쪽은 0 이상 오른쪽은 0 미만이 되므로 모순이고 따라서 $$\mathbb{P}^1_k$$도 그 finite étale covering이 자기 자신밖에 없다.
이제 finite étale covering이 자기 자신밖에 없는 것들에서 점 유한개를 빼보자. 그러니까 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}-\{p_1,\cdots,p_n\}$$이나 $$\mathbb{P}^1_k-\{x_1,\cdots,x_n\}$$을 생각해보자. 그러면 이것들의 finite étale covering은 존재할 수 있게 되는데, 첫번째의 경우엔 $$p_1,\cdots,p_n$$ 바깥에서 unramified이고 이 소수들에 대해선 ramified여도 되므로 존재하고, 두 번째는 affine line에서 생각하면
$$x^p-x:\mathbb{A}^1_k\to \mathbb{A}^1_k$$
를 생각하자. 그러면 $$x^p-x$$의 미분은 $$-1$$이므로 이것은 finite étale이다. 이를 '''Artin-Schreier covering'''이라고 한다.
마지막으로 $$K$$가 local field고 $$K^{\circ}$$가 그 ring of integers일 때 $$\mathrm{Spec}\,K^{\circ}$$의 finite étale covering을 구해보자. 그러면 $$X\to \mathrm{Spec}\,K^{\circ}$$라는 finite étale covering이 있을 때 closed point의 fibre를 생각하는 것으로 $$X$$의 topology 구조를 알아챌 수 있으며, 이 구조에 의하면 적당한 discrete valuation ring들 $$R_1,\cdots,R_n$$이 있어서 $$X=\mathrm{Spec}\,R_1\sqcup \cdots \sqcup \mathrm{Spec}\,R_n$$이 된다. 그리고 $$R_i$$들은 모두 $$K^{\circ}$$의 unramified extension이 되어야 하며, 계산이 끝났다.
11.4. 갈루아 이론 (Galois theory)
이제 우리는 field 위에서만 하던 갈루아 이론을 임의의 scheme으로 확장해보자.
위의 예제에서 $$k$$가 field일 때 $$\mathrm{Spec}\,k$$의 finite étale covering은 사실 $$k$$의 separable extension하고 아무 다를 게 없다. 그런 의미에서, finite flat morphism $$f:X\to S$$의 degree를 $$K(X)/K(S)$$의 degree로 정의하고 finite étale morphism $$f:X\to S$$가 '''Galois'''라는 것을 $$S$$에선 identity인 $$X$$의 automorphism의 갯수가 $$f:X\to S$$의 degree하고 같을 때로 정의하자. 그리고 그 automorphism group을 $$\mathrm{Gal}(X/S)$$라고 하자.
$$X\to S$$가 finite étale일 때 $$X'\to X\to S$$라는 합성했을 때 Galois가 되는 finite étale morphism들은 언제나 존재한다. 이는 $$\mathcal{O}_{S}(U)\to \mathcal{O}_{X}(f^{-1}(U))$$라는 map은 integral extension을 만들고, 이제 이것이 Galois가 되도록 integral element의 conjugation을 열심히 붙혀주자.
scheme $$X$$의 '''geometric point'''란 separably closed field $$k'$$와 morphism $$\mathrm{Spec}\,k'\to X$$를 뜻한다. 이는 간단히 $$X$$의 어떤 point의 residue field의 separably closed field를 잡아준 건데, field하곤 달리 scheme에선 그에 대응되는 separably closed field라는 개념이 없기 때문이다.[15]
그렇다면 $$X$$가 connected라면 $$\mathrm{Spec}\,k$$의 image의 closure의 codimension에만 의존하도록 Galois group을 정의할 것이다.
이제 $$x:\mathrm{Spec}\,k'\to S$$란 geometric point를 하나 잡을 때 $$\mathrm{Spec}\,k'\to X\to S$$를 생각하자. 이는 대충 말하면 $$X$$를 $$\mathrm{Spec}\,k'$$의 subfield처럼 생각하겠단 것이다. 그렇다면 다음을 정의하자.
$$\pi_1(X,x):=\lim_{x\to X\to S} \mathrm{Gal}(X/S)$$
여기에서 limit는 inverse limit다. 그럼 이를 '''étale fundamental group'''이라고 부르자.
먼저 간단한 예로 $$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$$를 보자. 그러면 이것은 fintie étale cover가 자기 자신밖에 없으므로 $$\pi_1(\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z},x)=0$$다.
$$\mathrm{Spec}\,k$$를 보자. 그러면 이것은 geometric point가 자명한 $$x:\mathrm{Spec}\,k^{\mathrm{sep}}\to \mathrm{Spec}\,k$$ 하나밖에 없고, 그 fundamental group은
$$\pi_1(\mathrm{Spec}\,k,x)=\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$$
가 된다.
이제 조금 특이한 예로 $$k$$가 algebraically closed field일 때 $$(\mathbb{A}^1_k\setminus \{0\})/k$$를 생각해보자. 이는 $$k$$에 가운데가 뻥 뚫린 $$k^{\times}$$같은 것이라고 볼 수 있다. 그러면 이것의 finite étale covering은 $$x\mapsto x^n$$같은 것들이 있으며, 이런 것들밖에 없다. 0말고 다른 데 zero가 있다면 $$\infty$$ 말고도 다른 데 pole이 있어야 하니까. 그리고 이런 finite étale covering들의 Galois group은 $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$고, 따라서 그 étale fundamental group은
$$\pi_1((\mathbb{A}^1_k\setminus\{0\})/k,x)=\prod_{p}\mathbb{Z}_p$$
가 된다.
$$k$$가 아무 field고, $$X$$가 $$k$$ 위 scheme이라고 하자. 그리고 $$x:\mathrm{Spec}\,k\to X$$를 아무 geometric point라고 하면 다음 exact sequence가 있다.
$$0\to \pi_1(X,x)\to \pi_1(X\times_k k^{\mathrm{sep}},x)\to \mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\to 0$$
이것은 간단히 automorphism을 $$k^{\mathrm{sep}}$$를 고정하는 것과 오로지 $$k^{\mathrm{sep}}$$만 움직이는 것으로 분해한 것이다. 그렇다면 이 exact sequence에서 맨 앞의 group을 '''arithmetic fundamental group'''이라고 하고 가운데의 group을 '''geometric fundamental group'''이라고 부른다.
étale fundamental group의 중요한 점은 이것을 계산했을 때 finite étale morphism $$f:X\to S$$를 알아낸다는 것에 있지 않고 '''$$\ell$$-adic lisse sheaf'''를 알아낸다는 것에 있을 것이다.
먼저 평범한 Galois theory를 생각해보자. fundamental theorem of Galois theory는 $$\mathrm{Gal}(k'/k)$$의 subgroup하고 $$k'/k$$ 사이의 field 사이 대응을 만든다. 그리고 여기에서 $$\mathrm{Gal}(k'/k)$$의 subgroup을 finite $$\mathrm{Gal}(k'/k)$$-set으로 바꾼다면 사이의 field는 다음과 같은 finite étale covering
$$\mathrm{Spec}\,k'\to \mathrm{Spec}\,A\to \mathrm{Spec}\,k$$
를 분류해낸다.
이제 '''étale topology'''라는 것을 정의하자. 이것은 $$\mathrm{Sch}_X$$에 주는 topology인데, open covering을 $$\{U_i\to U\}$$, $$U_i\to U$$ is étale이고 그 image들의 union이 자기 자신인 것으로 정의한다. 이것은 Zariski topology하곤 다르데 étale fundamental group하고 딱 맞는 notion이다. 그럼 이런 étale topology 위의 sheaf를 '''étale sheaf'''라고 하자.
quasi-compact $$X$$ 위의 étale sheaf $$\mathcal{F}$$가 '''constant'''라는 것은 적당한 abelian group $$A$$가 있어서 $$\mathcal{F}(U)=A$$ for all étale $$U\to X$$인 것이다. 그리고 $$\mathcal{F}$$가 '''locally constant'''라는 것은 적당한 étale open covering $$\{U_i\to X\}$$가 있어서 $$\mathcal{F}|_{U_i}$$가 모든 $$i$$에 대해서 constant sheaf인 것이다.
12. 코호몰로지의 기초 (Element of cohomology)
Cohomology라는 것은 어떻게 보면, '''sheaf의 원래 모습의 단편적인 모습'''이라고 할 수 있다. 그러니까, scheme $$X$$가 있을 때 global section들 $$\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$$의 원래 모습은 $$H^0(X,\mathcal{O}_X)$$와 함께 $$H^i(X,\mathcal{O}_X)$$들을 좀 더 정교하게 모은 것이라고 생각할 수 있다. 이런 철학은 higher category theory와 stable $$\infty$$-category로 이어지며 이 category에선 limit와 colimit의 진짜 모습을 볼 수 있다.
어쨌든, $$\mathrm{Sch}_X$$ 위에다가 어떤 Grothendieck topology를 줬다고 해보자. 그리고 이 topology를 $$J$$라고 하자. 그리고 $$X$$ 위의 $$J$$-sheaf를 $$\mathcal{F}$$라고 해보자. 그렇다면 이것이 $$J$$-injective sheaf들로 이루어진 resolution $$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{I}^{\bullet}$$를 가진다고 생각할 때 (잠깐 $$\mathcal{F}=\mathcal{I}^0,0=\mathcal{I}^{-1}$$이라고 쓰자.)
$$H^i_J(X,\mathcal{F})=\mathrm{Ker}(\Gamma(X,\mathcal{I}^i)\to \Gamma(X,\mathcal{I}^{i+1}))/\mathrm{Im}(\Gamma(X,\mathcal{I}^{i-1})\to \Gamma(X,\mathcal{I}^i))$$
라고 쓰자. 그러면 이것은 여러가지 성질을 만족하는데, 우리가 이것을 계산하는데 자주 쓸 것은 long exact sequence와 spectral sequence 두 개다.
먼저 topology의 성질들을 생각해보자. topology라면 위에서 말한 sheafification이 있어야 한다. 거의 모든 sheaf는 그냥 만들어지는 것이 아니고 presheaf에서 sheaf로 가는 sheafification으로 만들어지는데, 이것이 없으면 제대로 된 cohomology를 만들기 힘들다고 봐도 된다. 그리고 안타깝게도, fpqc topology엔 이런 것이 없다. flat morphism엔 아무런 크기 제한이 없기 때문에 무한정 커질 수 있고, 그래서 어떤 covering의 refinement란 개념 자체가 없기 때문이다.
그렇기 때문에 우리는 fpqc topology의 크기를 줄이는 작업을 해야 하는데, '''fppf topology'''를 $$\{U_i\to U\}$$가 open covering이란 것을 각각의 $$U_i\to U$$가 quasi-finite and flat[16]이고 그 image들의 union이 자기 자신인 topology를 뜻한다고 하자. 그러면 이것은 sheafification이 존재하고, 언제나 cohomology를 정의할 수 있다. 앞으로 $$J$$의 모든 covering은 곧 fppf covering이라고 하자.
여기에서 '''Cech cohomology'''를 생각해보자. 이는 cohomology를 local sense로 계산하는 방법으로 $$\{U_i\to X\}$$란 covering이 있을 때 $$U_{ijk}=U_{i}\times_X U_j \times_X U_k$$라고 하면 sheaf axiom은
$$\mathcal{C}^{\bullet}(\{U_i\to X\},\mathcal{F}):\prod_{i}\mathcal{F}|_{U_i}\to \prod_{i,j}\mathcal{F}|_{U_{ij}}\to \prod_{i,j,k}\mathcal{F}|_{U_{ijk}}\to \cdots$$
를 resolution으로 만들고 따라서 여기에다가 global section functor를 씌우고 cohomology를 계산한 것을 $$\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},\mathcal{F})$$라고 하자.
$$\mathcal{F}$$가 $$X$$ 위의 quasi-coherent sheaf일 때 $$\mathcal{F}$$는 fppf sheaf로도 볼 수 있는데, 간단히 $$f:U\to X$$가 flat and quasi-finite일 때 $$\mathcal{F}(U)=f^*\mathcal{F}(U)$$를 생각하자. 그러면 이것은 faithfully flat descent로 sheaf가 된다.
$$\mathcal{I}$$가 injective sheaf일 때 global section functor를 씌운다는 건 injectiveness를 보존하므로 $$\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},\mathcal{I})=0$$ for $$i>0$$임을 알 수 있다. 따라서 Cech cohomology는 long exact sequence가 존재한다. 더 나아가서 ordinary cohomology하고 관련을 지을 수 있는데, $$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{I}^{\bullet}$$과 Cech complex로 double complex를 만들면 $$\mathcal{H}^i_J(\mathcal{F})$$을 $$U\mapsto H^i_J(U,\mathcal{F})$$인 presheaf의 sheafification으로 보면 spectral sequence
$$E^{ij}_2=H^i_J(X,\mathcal{H}^j_J(\mathcal{F}))=> H^{i+j}_J(X,\mathcal{F})$$
가 완성된다. 이를 '''Cech-derived functor spectral sequence'''라고 한다.
이제 다음을 증명하자.
> $$X$$가 affine이고 $$\mathcal{F}$$가 quasi-coherent일 때 $$H^i_J(X,\mathcal{F})=0$$ for all $$i>0$$이다.
이는 먼저 $$a\in H^i_J(X,\mathcal{F})$$일 때 적당한 covering $$\{U_i\to X\}$$이 있어서 $$a|_{U_i}=0$$임을 증명하자. $$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{I}^{\bullet}$$이란 resolution을 생각하고, 그러면 $$a\in \mathcal{I}^i$$일 테고, exactness로 적당한 $$\{U_i\to X\}$$가 있어서 $$a|_{U_i}$$는 모두 $$\mathcal{I}^{i-1}\to \mathcal{I}^i$$의 image 안에 들고 증명이 끝난다.이제 $$a\in H^1_J(X,\mathcal{F})$$라고 하면 적당한 covering $$\{f_i:U_i\to X\}$$가 있어서 바로 위의 조건을 만족하고, 이걸 $$\{\sqcup_i U_i\to X\}$$로 바꿔 생각하자. 이는 Cech-derivec functor spectral sequence로 $$a\in \check{H}^1_J(\{U_i\to X\},\mathcal{F})$$로 바꿔 생각할 수 있다. 그러면 $$a|_{U_i}=0$$인데 여기에다가 faithfully flat descent를 생각하면 $$a=0$$이고 따라서 $$i=1$$일 때의 증명이 끝난다.
일반적인 경우는 induction과 위의 Cech-derivd functor spectral sequence를 쓴다. 그렇다면 $$i<n$$일 때의 cohomology는 모두 사라지고 $$i=1$$일 때와 같은 문제가 된다.
위의 결과를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.
> $$X$$가 separated이고 $$\mathcal{F}$$가 quasi-coherent고 $$\{U_i\to X\}$$가 모두 affine covering일 때 $$\check{H}^i_J(\{U_i\to X\},\mathcal{F})=H^i_J(X,\mathcal{F})$$
$$i=1$$일 때는 separated나 affine covering이나 quasi-coherent같은 거 다 필요 없이 성립하고, $$i>1$$일 때는 이 때부터 separated란 조건으로 $$X$$를 base로 하는 affine scheme의 tensoring은 모두 affine scheme이고 quasi-coherent로 위에서 증명한 정리를 쓸 수 있으므로 Cech-derived functor spectral sequence를 쓸 수 있고 증명이 끝난다. 이는 separated란 조건 없어도 성립하지만 증명은 생략한다.위의 결과를 이용해서 다음을 증명할 수 있다. 여기에서 $$\text{Zar}$$는 Scheme을 정의할 때 처음 주어지는 topology를 뜻한다.
> $$X$$ 위의 quasi-coherent sheaf $$\mathcal{F}$$가 있으면 $$H^i_J(X,\mathcal{F})=H^i_{\text{Zar}}(X,\mathcal{F})$$다.
이는 그냥 $$\{U_i\to X\}$$를 affine open subscheme들로 두면 쉽게 끝난다. 이것이 뜻하는 것은 적어도 quasi-coherent sheaf에선 cohomology 계산할 때 topology는 아무 신경 쓰지 않아도 된다는 것이다. 앞으로 $$H^i_{\text{Zar}}(X,\mathcal{F})=H^i(X,\mathcal{F})$$로 간단히 쓰기로 하고 étale topology에 대해선 $$H^i_{\acute{e}t}(X,\mathcal{F})$$, fppf topology에 대해선 $$H^i_{\text{fppf}}(X,\mathcal{F})$$라고 쓰자. 그리고 각각 '''sheaf cohomology''', '''étale cohomology''', '''fppf cohomology'''라고 하자. 우리가 주로 볼 cohomology는 sheaf cohomology다.다음이 성립한다.
> $$X$$가 noetherian scheme of dimension n일 때 $$i>n$$고 $$\mathcal{F}$$이 $$X$$ 위의 아무 scheme일 때 $$H^i(X,\mathcal{F})=0$$이다.
이는 먼저 $$X$$가 irreducible이라고 가정할 수 있고, $$\mathcal{F}$$를 $$\mathbb{Z}$$-module로 봤을 때 direct limit를 생각하는 걸로 $$\mathcal{F}$$를 finite개의 section으로만 generate된다고 생각할 수 있고, 거기에다가 section별로 나눠서 $$\mathcal{F}$$가 하나의 section으로만 생성되는, 그러니까 $$\mathbb{Z}|_{U}$$라는 constant sheaf의 restriction이라고 할 수 있고, 이는 induction과 $$\mathbb{Z}$$ 자기 자신은 injective module이라는 데에서 쉽게 증명된다.점에 대해서 각각의 cohomology를 계산해보자. 점은 간단히 field만 생각해서 $$\mathrm{Spec}\,k$$를 생각하자. 그러면 sheaf cohomology는 open subscheme이 자기 자신밖에 없으니까 당연히
$$H^i(\mathrm{Spec}\,k,\mathcal{F})=0$$
가 되고, étale cohomology는 geometric point $$x:\mathrm{Spec}\,k^{\mathrm{sep}}\to \mathrm{Spec}\,k$$를 생각하고 direct limit로 separable extension들에 대해서
$$\mathcal{F}_{x}=\lim_{k'/k\text{ is separable}} \mathcal{F}(\mathrm{Spec}\,k')$$
라고 하면
갈루아 이론에 나오는 Galois cohomology
$$H^i_{\acute{e}t}(\mathrm{Spec}\,k,\mathcal{F})=H^i(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),\mathcal{F}_x)$$
가 나온다. 여기에서 $$k'/k$$라는 Galois extension에 붙어 있는 automorphism $$\sigma$$는 $$\sigma:\mathcal{F}(\mathrm{Spec}\,k')\to \mathcal{F}(\mathrm{Spec}\,k')$$로 옮겨 붙으므로 $$\mathcal{F}_{x}$$는 $$\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)$$-module이다. 그리고 $$k$$의 char.을 $$p$$라고 하고 $$\ell\ne p$$고 $$\mathcal{F}_x$$를 finite $$\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$$-module이라고 했을 때 $$\mathcal{F}$$가 locally constant라는 것은 $$M$$에 discrete topology를 줬을 때 $$\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k)\times M\to M$$이 continuous라는 것과 동치다. 이는 점 하나에 대한 inverse image가 finite index를 가져야 적당한 finite étale covering이 있어서 거기 이후론 $$\mathcal{F}$$가 똑같아지기 때문이다. 그리고 이런 case의 étale cohomology 계산은 정수론에서 정말로 중요하다.
앞으로 $$U\to X$$가 étale일 때 $$\mu_n(U)=\{f\in \Gamma(U,\mathcal{O}_X)|f^n=1\}$$로 sheaf를 정의하자. 그러면 이것은 직관적으로 nth root of unity를 모은 게 된다.
이제 한 가지 신기한 걸 보자. $$H^1(X,\mathcal{O}^{\times}_X)$$를 볼 텐데, 이는 rational function들의 sheaf를 $$\mathcal{K}$$라고 쓰면
$$0\to \Gamma(X,\mathcal{O}^{\times}_X)\to \Gamma(X,\mathcal{K})\to \Gamma(X,\mathcal{K}/\mathcal{O}^{\times}_X)\to H^1(X,\mathcal{O}^{\times}_X)$$
를 만든다. 따라서 정의에 따라서
$$H^1(X,\mathcal{O}^{\times}_X)=\mathrm{Pic}(X)$$
가 된다. 신기한 건 이런 게 sheaf cohomology뿐만 아니라 étale cohomology도 그렇다는 건데, $$H^1_{\acute{e}t}(X,\mathcal{O}^{\times}_X)$$의 원소들을 Cech cohomology로 나타내면 이 원소들은 local하게 0이니까 정확하게 local하게 invertible sheaf인 descent datum들이 나오고, faithfully flat descent로 이건 그냥 invetible sheaf들로
$$H^1_{\acute{e}t}(X,\mathcal{O}^{\times}_{X})=\mathrm{Pic}(X)$$
가 된다. 그러면 $$X=\mathrm{Spec}\,k$$꼴일 때
$$H^1(\mathrm{Gal}(k^{\mathrm{sep}}/k),(k^{\mathrm{sep}})^{\times})=H^1_{\acute{e}t}(\mathrm{Spec}\,k,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,k})=H^1(\mathrm{Spec}\,k,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,k})=0$$
가 되고, 이를 '''Hilbert theorem 90'''이라고 부른다.
앞으로 n이 $$X$$의 모든 local ring들의 char.하고 서로소라고 하고 이제 $$H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)$$를 생각해보자. 그러면 다시 Cech cohomology를 생각하면 이는 $$X$$ 위의 invertible sheaf $$\mathcal{L}$$하고 trivilzation $$\alpha:\mathcal{L}^{\otimes n}\to \mathcal{O}$$ 둘을 모은 $$(\mathcal{L},\alpha)$$들이 된다. 그리고 이것은 finite étale covering of degree n $$Y\to X$$들을 모은 것이 된다. $$\mathcal{L}$$의 projective spectrum을 생각하면 되기 때문이다.
이것이 정확히 $$\mathrm{Pic}(X)$$의 $$n$$-torsion들인 $$\mathrm{Pic}(X)[n]$$하고 같아지는 때를 보자. $$k$$가 algebraically closed field고 $$X$$가 $$k$$ 위의 smooth projective curve라고 하자. 그러면 $$\mathrm{Pic}^0(X)$$를 $$\mathrm{Pic}(X)$$ 안에서 계수들의 합이 0인 것들을 모은 거라고 하면
$$0\to \mathrm{Pic}^0(X)\to \mathrm{Pic}(X)\to \mathbb{Z}\to 0$$
을 생각할 수 있고, smooth면 모든 local ring이 discrete valuation ring이고 따라서 $$n:\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)$$를 단순히 n을 곱하는 morphism이라고 하면 이것으로 위 exact sequence 밑에 또다른 exact sequence를 만들고 둘 사이에 n을 곱하는 morphism을 둘 수 있으며 snake lemma를 생각하면 $$n:\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)$$의 kernel과 cokernel은 각각 $$\mathrm{Pic}^0(X)[n]$$하고 $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$가 된다.
이제 $$n:\mathcal{O}^{\times}_X\to \mathcal{O}^{\times}_X$$를 생각하자. 이것은 n제곱하는 morphism인데 미분 때리면 étale morphism임을 알 수 있으며 이것의 kernel은 정확하게 $$\mu_n$$가 된다. 따라서 이걸로 étale cohomology의 long exact sequence를 생각하면 projective한 애들은 structure sheaf의 global section이 없는 수준이란 것과 위에서 증명한 noetherian scheme of dim. 1인 애들은 cohomology가 2 이상부터 없다는 것으로
$$k^{\times}\to k^{\times}\to H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)\to H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)\to 0$$
를 만들 수 있고 맨 처음 morphism은 surjection이므로 $$H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)$$와 $$H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)$$은 각각 $$n:\mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X)$$의 kernel과 cokernel이므로
$$H^1_{\acute{e}t}(X,\mu_n)=\mathrm{Pic}(X)[n],H^2_{\acute{e}t}(X,\mu_n)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
임을 알 수 있다. 특히 $$k$$가 char. 0고 $$X=\mathbb{P}^1_k$$라고 한다면 $$\mathrm{Pic}(X)=\mathbb{Z}$$이므로 $$X\to \mathbb{P}^1_k$$인 finite étale covering은 자기 자신밖에 없음을 알 수 있다.
다음 둘은 동치가 된다. 먼저 $$X$$가 quasi-compact라고 하자.
- $$X$$는 affine
- 모든 ideal sheaf $$\mathcal{I}\subseteq \mathcal{O}_X$$에 대해서 $$H^1(X,\mathcal{I})=0$$
$$0\to \Gamma(X,\mathcal{I})\to \Gamma(X,\mathcal{I}')\to \Gamma(X,\mathcal{I}'/\mathcal{I})\to 0$$
가 만들어지고 $$f\in \Gamma(X,\mathcal{I}')$$를 field $$\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_{X,x}=\Gamma(X,\mathcal{I}'/\mathcal{I})$$에서 1에 대응되는 애로 골라주면 $$x\in D(f)$$고 $$D(f)$$는 affine이다.
이제 $$X=\bigcup D(f_i)$$라고 하자. 그리고 $$f_i$$의 갯수를 $$n$$개라고 하자. 그러면
$$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{O}^n_X\to \mathcal{O}_X\to 0$$
를 오른쪽을 $$(x_1,\cdots,x_n)\mapsto \sum_i f_i x_i$$로 정의하는 걸로 만들 수 있으며 이제
$$\mathcal{F}\cap \mathcal{O}_X \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}\cap \mathcal{O}^{n-1}_X\subseteq \mathcal{F}=\mathcal{F}\cap \mathcal{O}^n_X$$
를 생각하면 각각의 quotient는 ideal sheaf며 따라서 $$H^1(X,\mathcal{F})=0$$를 얻으며 따라서 다시 long exact sequence를 생각하면
$$\oplus_{i} \Gamma(X,\mathcal{O}_X)\to \Gamma(X,\mathcal{O}_X)$$
는 surjective고 따라서 $$f_i$$들은 global section들을 만든다. 이는 $$f_i$$로 덮는 걸 생각하면 $$X=\mathrm{Spec}\,\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$$를 만드므로 증명이 끝난다.
이제 cohomology의 relative version을 생각해보자. $$f:X\to S$$란 morphism이 있고 $$\mathcal{F}$$가 $$X$$ 위 sheaf일 때 우리는 $$R^if_*\mathcal{F}$$를 정의할 수 있고 이를 '''higher direct image functor'''라고 한다.
이것은 $$X,S$$가 quasi-compact고 $$f$$가 quasi-separated일 때 $$\mathcal{F}$$가 quasi-coherent일 때 그 higher direct image도 같이 quasi-coherent다. 증명은 $$f$$가 affine일 때는 자명하고 affine scheme을 $$f$$으로 뒤로 보낼 때 덮히는 affine scheme의 갯수에 따라서 induction을 쓰면 된다.
이것 다음엔 quasi-separated가 '''proper'''로 바뀌면 coherent를 coherent로 옮김을 증명할 것이다.
quasi-compact and separated scheme $$X$$가 있을 때 이것이 affine scheme으로 covering될 수 있는 최대 갯수는 $$X$$의 (quasi-coherent sheaf만 넣었을 때의)
$$H^i(X,\mathcal{F})=0$$
for $$i>n$$이 되도록 하는 최소의 $$n$$보다 크거나 같다. affine scheme $$n$$개로 covering되면 affine scheme에선 quasi-coherent sheaf의 cohomology가 무조건 vanishing한다는 것과 Cech cohomology로 증명이 끝난다.
13. 사영 스킴에서의 코호몰로지 (Cohomology on projective schemes)
위에서 proejctive scheme에서 coherent sheaf를 분류할 때, coherent sheaf는 사실 Serre twisting sheaf들을 더한 것의 quotient라는 사실을 알았다. 그리고 이런 사실에서 알 수 있는 중요한 사실은 바로 이것이다.
그러면 자연스럽게 드는 물음은, higher cohomology도 finiteness를 만족하는지에 대한 것이다. 그리고 이는 아주 자연스럽게 된다.$$X$$가 field $$k$$ 위의 projective scheme이고 $$\mathcal{F}$$가 $$X$$ 위의 coherent sheaf일 때 $$H^0(X,\mathcal{F})=\Gamma(X,\mathcal{F})$$는 finite-dimensional $$k$$-vector space다.[17]
생각해보면, projective scheme은 그냥 affine scheme에서 global section을 확 줄이기 위해서 무한대에서도 제대로 행동해주길 바라는 scheme이다. 이렇게 global section을 확 줄이면 우리는 sheaf를 그 cohomology로 대응시키는 것으로 finite란 조건이 있으니까 선형대수에서 했던 정말로 많은 여러가지 성질들을 다시 증명할 수 있게 된다. 그러니까 cohomology theory over projective scheme은 선형대수의 일반화고 선형대수란 건 사실 $$X=\mathrm{Spec}\,k$$라고 둘 때의 cohomology theory over projective scheme에 불과하다.
따라서, projective space $$\mathbb{P}^n_{k}$$의 cohomology를 계산해보자. 여기에서 $$S=k[x_1,\cdots,x_n]$$라고 하고 $$\mathcal{O}_X(r)=\mathcal{O}_X(1)^{\otimes r}$$이라고 하자.
- $$S\to \bigoplus_{r\ge 0}H^0(\mathbb{P}^n_{k},\mathcal{O}_X(r))$$는 isomorphisms of graded $$S$$-module이다.
- $$H^i(\mathbb{P}^n_{k},\mathcal{O}_X(r))=0$$ for all $$0
- $$H^0(\mathbb{P}^n_{k},\mathcal{O}_X(r))\times H^{n}(\mathbb{P}^n_k,\mathcal{O}_X(-r-n-1))\to H^n(\mathbb{P}^n_k,\mathcal{O}_X(-n-1))\cong k$$은 모든 $$r\in \mathbb{Z}$$에 대해서 finitely generated free $$A$$-module 사이의 perfect pairing이다.
이를 생각하면, 다음을 증명할 수 있다. 먼저 $$X$$가 projective scheme over $$k$$ dimension $$n$$이라고 하고 $$\mathcal{F}$$가 coherent sheaf라고 하자.
- $$ $$i>n$$라면 $$H^i(X,\mathcal{F})=0$$가 된다.
- $$\mathcal{F}(d)=\mathcal{F}\otimes \mathcal{O}_X(d)$$라고 정의하자. 그러면 $$d$$가 충분히 크면 $$H^i(X,\mathcal{F}(d))=0$$ for $$i>0$$이다.
- (Important) $$H^i(X,\mathcal{F})$$는 언제나 finite-dimensional $$k$$-vector space다.
$$0\to \mathcal{G}\to \prod_{i}\mathcal{O}(d_i)\to \mathcal{F}\to 0$$
에다가 long exact sequence를 쓰면 위에서 계산 생략한 성질로 증명이 끝난다.
두번째 역시 induction으로 쉽게 증명되는데, 이번엔 위의 exact sequence에 첫번째하고 가운데가 $$i=k$$에서 0이 되도록 $$d$$를 잡아서 tensoring하고 cohomology를 씌우면 첫 번째로 유한개의 $$d$$만 생각하면 되므로 된다.
첫 번째는 이미 위에서 다 했다.
위에서 affine scheme하고 cohomology의 vanishing property에 대해서 한 적이 있는데, affine scheme을 structure sheaf 중심으로 보고 structure sheaf를 ample line bundle로 바꾸면 거의 똑같은 정리가 성립한다. 그러니까, 다음 셋은 동치다. $$X$$가 $$k$$ 위에서 projective scheme이라고 하고 $$\mathcal{L}$$은 $$X$$ 위의 invertible sheaf라고 하자.
- $$\mathcal{L}$$는 ample line bundle이다.
- $$X$$ 위의 모든 coherent sheaf $$\mathcal{F}$$에 대해서 $$\mathcal{F}$$에 의존하는 $$d$$가 언제나 있어서 $$H^i(X,\mathcal{F}\otimes \mathcal{L}^{\otimes d})=0$$ for all $$i>0$$이 된다.
- $$X$$의 coherent ideal sheaf $$\mathcal{I}\subseteq \mathcal{O}_X$$에 대해서 적당한 $$d$$가 있어서 $$H^i(X,\mathcal{I}\otimes \mathcal{L}^{\otimes d})=0$$ for $$i>0$$이다.
먼저 첫 번째에서 두 번째로 가는 건 적당한 $$k$$하고 $$i:X\to \mathbb{P}^n$$이 있어서 $$i^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)=\mathcal{L}^n$$이므로 쉽게 증명되고, 두번째에서 세 번째로 가는 건 자명하고, 세 번째에서 첫 번째로 가는 건 위에서 affine scheme에 대해서 했던 걸 배끼면 된다.
마지막으로, $$f:X\to Y$$가 proper일 때, $$R^if_*\mathcal{F}$$은 $$\mathcal{F}$$이 coherent면 반드시 똑같이 coherent가 된다. 이는 projective일 땐 stalk마다 계산하면 되고 proper에 대해선 Chow's lemma를 쓴다.
14. 세르 쌍대성 (Serre duality)
가장 먼저, 다음 정의와 정리를 보고 시작하자.
$$A$$가 local ring이라고 하고 그 maximal ideal을 $$\mathfrak{m}$$이라고 하자. 그러면 $$\mathfrak{m}$$의 원소들의 수열 $$(a_1,\cdots,a_n)$$가 '''regular sequence'''라는 것은 $$a_1\in \mathfrak{m}$$가 nonzero divisor고 $$a_{i+1}\in \mathfrak{m}$$은 $$A/(a_1,\cdots,a_i)$$에서 nonzero divisor일 땔 말한다.
$$(a_1,\cdots,a_n)$$이 $$A$$의 regular sequence라고 하자. 그러면 $$A$$-module로서의 $$A/(a_1,\cdots,a_n)$$의 projective resolution의 최소 길이는 $$n$$이다.
> (Rees) $$A$$가 local ring이고 그 maximal ideal을 $$\mathfrak{m}$$이라고 하자. 그러면 $$A$$의 regular sequence의 최대 길이는 $$\mathrm{Ext}^i_{A}(A/\mathfrak{m},A)$$이 0이 아닌 최소의 $$i>0$$과 같다.
이것들은 모두 재미있는 연습 문제들이니 풀어보기 바란다. Hint는 첫 번째는 $$n$$에 대한 induction을 생각하면 거의 자명하고, 두 번째는 저 Ext functor가 vanishing하지 않는 최소의 $$i$$는 그냥 $$A/\mathfrak{m}$$의 projective resolution의 최소 길이고, 세 번째는 이 논문 참고.$$A$$의 Krull dimension이 유한하다면, $$A$$를 $$A$$-module로 봤을 때의 최소 injective resolution 길이는 반드시 $$A$$의 Krull dimension보다 크거나 같다.
우리는 잠시 대수기하에서 내려와 가환대수를 해보자.
> Definition. Krull dimension이 $$n$$인 Noetherian local ring $$A$$가 Gorenstein local ring이란 것은 $$\mathrm{Ext}^i_A(A/\mathfrak{m},A)$$가 $$i=n$$이면 $$A/\mathfrak{m}$$이고 나머지에선 [math(0)]인 ring을 말한다.
이것은 $$A$$가 finite length를 가질 때, 그러니까 $$k$$를 residue field로 하는 Artinian local ring일 때 $$\mathrm{Hom}(k,A)$$가 1-dimensional $$k$$-vector space라는 것과 동치다. 그러니까 $$A$$ 위에선 '''duality'''에 대한 theory가 있다고 봐도 될 것이다. $$k$$ 위의 f.d. vector space에서 $$A$$를 중심으로 한 duality가 있단 것이다.모든 field는 당연히 Gorenstein local ring이고 모든 regular local ring도 Gorenstein local ring이다. 따라서 대충 우리가 알고 있는 대부분의 ring은 Gorenstein이라고 생각할 수 있을 것이다.
다음 동치명제들을 증명하자.
- $$A$$는 Gorenstein of dim. $$n$$이다.
- $$A$$에 적당한 regular sequence $$(a_1,\cdots,a_n)$$이 있어서 $$A/(a_1,\cdots,a_n)$$는 Gorenstein of dim. 0이다.
- $$A$$는 길이가 유한인 injective resolution을 갖는다.
$$\mathrm{Ext}^i_{A}(M/\mathfrak{m}M,A)=0$$
for $$i>n$$가 되고, Krull dimension에 대한 induction을 쓰기 위해 nonzero divisor $$x\in \mathfrak{m}$$을 잡고 Krull dimension $$1$$라고 가정하면
$$0\to M\to M\to M/(x)M\to 0$$
을 만들 수 있고, $$M/(x)M$$는 finite dimensional $$k$$-vector space니까 Ext functor가 $$i>n$$에서 펑 터지고 따라서 저 셋의 injective resolution을 잡고 naturality를 생각하면
$$x\mathrm{Ext}^i_A(M,A)=\mathrm{Ext}^i_A(M,A)$$
가 된다. 따라서 induction과 Nakayama lemma로 $$\mathrm{Ext}^i_A(M,A)=0$$이고 $$A$$의 injective resolution은 길이가 딱 $$n$$이 된다.
반대쪽은 그 길이를 $$\ell$$이라고 하면
$$0\to A\to I^{\bullet}$$
란 injective resolution을 잡고 Hom functor를 씌우면
$$0\to \mathrm{Hom}_A(k,A)\to \mathrm{Hom}_A(k,I^{\bullet})$$
가 되고, 이것들 모두 finite dimension $$k$$-vector space라는 걸 생각하면 어쨌든 끝부분인 $$\mathrm{Ext}^{\ell}_A(k,A)$$는 살아 있게 되고, regular sequence를 생각하면 artinian local ring은 Ext functor가 존재할 수 없으므로 $$\ell=n$$이 된다. 그리고 같은 논리로 이것이 $$k$$임도 계산할 수 있다.
그러면 이제 $$0<i<n$$일 때 Ext functor가 사라짐을 보여야 하는데, 간단히 위하고 똑같이 $$x\in \mathfrak{m}$$일 때 $$x$$로 곱하기로
$$0\to A\to A\to A/(x)\to 0$$
를 생각할 수 있고, 따라서 역시 Krull dimension $$1$$라고 가정하면 $$A/(x)$$는 finite dimension $$k$$-vector space니까 long exact sequence로 가운데 $$\mathrm{Ext}^i_A(k,A)$$가 모두 펑 터짐을 알 수 있고 induction으로 증명이 끝난다.
이제 앞으로의 논리를 간단하게 하기 위해서 '''Derived category'''라는 걸 소개하자. 사실 이것은 간단하게 한다기보단 derived category에서 무언가를 해야 진짜 무언가지만, 일단은 이렇게 표현하자.
scheme $$X$$ 위의 '''complex'''란 것은 다음 sheaf들을 말한다.
$$\cdots \mathcal{F}^{-1}\to \mathcal{F}^0\to \mathcal{F}^1\to \mathcal{F}^2\to \cdots$$
여기에서 두 번 연속 합성하면 당연히 0이 되어야 한다. 이를 간단히 $$(\mathcal{F}^{\bullet},d^{\bullet})$$라고 쓰자. 그리고 이걸 오른쪽으로 한 번 옮긴 걸 $$(\mathcal{F}^{\bullet},d^{\bullet})[1]$$라고 표현하자. 이걸 구체적으로 쓴다면
$$(\mathcal{F}^{\bullet},d^{\bullet})[1]=(\mathcal{F}^{\bullet+1},(-1)^{\bullet}d^{\bullet+1})$$
이 된다. 그러면 commutative diagram으로 morphism of complexes를 정의할 수 있고, 덤으로 homotopy란 것도 정의할 수 있다. $$(\mathcal{F}^{\bullet},d^{\bullet}_1)$$하고 $$(\mathcal{G}^{\bullet},d^{\bullet}_2)$$ 사이의 두 morphism $$f,g$$ 사이의 '''homotopy''' $$h$$는 morphism between sheaves $$\mathcal{F}^n\to \mathcal{G}^n$$를 각 degree마다 모은 건데
$$h\circ d^n_1-d^{n+1}_2\circ h=f^n-g^n$$
을 만족해야 한다. 이것은 직관적으로 morphism 사이의 '''2-isomorphism'''이라고 생각할 수 있다. 그렇다면 complex들을 모은 category를 $$K(X)$$라고 한다면 여기에서 Hom을 up to homotopy로 나눈 건 $$K'(X)$$라고 일단 쓰자.[18]
그러면 derived category를 정의할 수 있는데, 두 complex 사이 morphism $$K\to K'$$가 '''quasi-isomorphism'''이란 것을 이 morphism으로 만들어지는 $$H^i(K)\to H^i(K')$$가 반드시 isomorphism인 것이다. 이는 projective module, 또는 locally free sheaf의 존재때문에 반드시 isomorphism인 건 아니다. 하지만 우리는 이것을 $$K'(X)$$ 안에서 그냥 isomorphism으로 볼 것이다.
먼저 inaccessible cardinal의 존재를 편의상 가정하자. 그러면 $$K'(X)$$를 quasi-isomorphism들로 localizing할 수 있는데, 이것을 $$D(X)$$라고 쓰고 '''derived category'''라고 부른다.
여기에서 밑으로 bounded인 complex만 모은 걸, $$D^+(X)$$라고 쓰고, quasi-coherent sheaf만 모은 걸 $$D_{\mathrm{QCoh}}(X)$$, coherent sheaf만 모은 걸 $$D_{\mathrm{Coh}}(X)$$라고 쓰자. 그리고 이 두 개를 섞어서 $$D^+_{\mathrm{Coh}}(X)$$란 표기도 쓰자. 그리고 bounded complex를 모은 걸 $$D^b(X)$$라고 쓰자.
Derived category의 특징들 중 하나는 '''mapping cone'''이라고 불리는 cokernel 비슷한 게 있단 것인데, 여기선 mapping cone이라고 안 부르고 그냥 cokernel이라고 부르겠다.
complex 사이 morphism $$f:K\to K'$$의 cokernel은 먼저 $$K=(\mathcal{F}^{\bullet},d^{\bullet}_1), K'=(\mathcal{G}^{\bullet},d^{\bullet}_2)$$라고 할 때
$$C(f)_n=\mathcal{G}^n\oplus \mathcal{F}^{n+1}$$
이라고 하고 morphism은 $$d_{C(f)}(x^n,y^{n+1})=(d^n_2(x^n)+f(y^{n+1}),-d^{n+1}_1)$$로 정의하자. 그러면 다음과 같은 morphism들이 존재한다.
$$K\to K'\to C(f)$$
좀 더 정확하게는, 다음과 같은 commutative diagram up to homotopy가 존재한다.
$$ \begin{aligned}&K\to K' \\ & \downarrow \qquad \downarrow \\ &0 \to C(f)\end{aligned}$$
여기에서 cokernel을 이런 성질을 만족하는 애로 정의하면 cokernel은 up to homotopy로 유일하게 된다.
derived category로 우리는 '''derived functor'''를 정의할 수 있다. 그러니까 $$F:\mathrm{Sh}(X)\to \mathrm{Sh}(Y)$$가 right exact functor라면 우리는 $$\mathrm{R}F:D^+(X)\to D^+(Y)$$란 걸 정의할 수 있는데, $$K\in \mathrm{ob}(D^+(X))$$라면 $$K=\mathcal{F}^{\bullet}$$라고 쓰고 $$\mathcal{F}^n$$들의 injective resolution을 생각하자.[19] 그러면 이런 injective resolution들은 double complex를 만들고 이것에다가 통째로 $$F$$를 씌운 다음에 total complex를 구한 걸 $$\mathrm{R}F(K)$$라고 쓰자. 그러면 이것은 functor가 된다.
derived category에선 sheaf cohomology를 참 간단하게 정의할 수 있는데, 단순히
$$H^i(X,\mathcal{F})=\mathrm{Hom}_{D^+(X)}(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}[i])$$
로 정의내릴 수 있다. 그리고 이는 $$H^i\mathrm{R}\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})$$하고도 똑같다.
한편으론, 위에서 cotangent complex 할 때도 쓴 적이 있는 derived tensor product를 정의할 수도 있는데, 간단히 $$K,K'$$를 tensoring한 것을 이번에도 quasi-isomorphism들인 injective resolution을 잡아서
$$K\to I^{\bullet}, K'\to (I')^{\bullet}$$
란 resolution을 잡고, $$I^{\bullet}\otimes_{\mathcal{O}_X} (I')^{\bullet}$$란 double complex를 잡고 total complex를 생각하면 바로 이것이 derived tensor product $$K\otimes^{\mathrm{L}}K'$$이 된다. 이것은 injective resolution의 선택에 독립이다.
마지막으로, complex $$K$$가 '''perfect complex'''라는 것을 locally free sheaf들로 이루어진 complex $$P^{\bullet}$$이 존재해서 $$K\to P^{\bullet}$$이 quasi-isomorphism인 걸 뜻한다고 하자.[20]
이런 작업은, 여기선 대수기하를 할 것이기 때문에 이해를 쉽게 하기 위해서만 등장할 거지만, $$A$$가 ring일 때 $$A$$-module로도 이런 derived category를 만드는 것이 가능하다.[21] 그러면 이런 derived category를 $$D(A)$$로, bounded below인 complex만 모은 것을 $$D^+(A)$$로 쓰자. 그리고 bounded complex를 모은 걸 $$D^b(A)$$라고 쓰자.
derived category에 대해서 짤막하게 설명하자면, 사실 우리가 다뤄야 하는 진정한 category는 $$\mathrm{Mod}_A$$같은 게 아니라 derived category $$D(A)$$라는 것이다. 우리는 가환대수를 할 때 수도 없는 kernel을 생각하는데, 선형대수라면 이런 kernel이 너무 쉬워서 아무런 가치가 없겠지만 가환대수에선 이런 kernel이 너무 다양하고, 우리는 module을 그냥 module 하나가 아니라 그 kernel들을 모은 '''projective resolution''', 또는 이것의 dual인 '''injective resolution'''을 같이 생각해야 한다. derived category는 이런 resolution들이 사는 곳이며, derived category를 좀 더 정교하게 만든 것이 model category, 이를 좀 더 직관적으로 만든 것이 stable ∞-category와 $$E_{\infty}$$-module이란 것이다.
자, 이제 준비가 끝났으니 본격적으로 시작해보자.
15. 형식 스킴과 그로텐디크 존재 정리 (Formal schemes and Grothendieck's existence theorem)
16. 세르의 GAGA와 복소기하와의 관계 (Serre's GAGA and relations with complex geometry)
[1] 앞으로 local ring 사이의 모든 homomorphism의 inverse는 maximal ideal을 maximal ideal로 옮겨야 한다고 생각하자. 이를 '''local homomorphsm'''이라고 한다.[2] 하지만 infinite fibre product는 가지지 못 한다.[3] 반면에 Hartshorne에선 scheme의 fibre product가 존재한다는 것의 증명을 2.3단원에서 정말로 어렵게 하고 있다. 아무리 scheme을 구체적으로 보고 싶다고 해도 그렇지...[4] 꼭 field가 아니어도 된다.[5] 자세한 증명은 Hartshoren의 2.4단원에 있다.[6] tensor product는 filtred colimit를 보존한다.[7] 증명은 먼저 $$A$$가 local ring일 때 local ring에서 f.g. flat은 free임을 Nakayama lemma로 증명하고 direct limit를 생각하면 local ring에서 증명은 쉽게 끝나고, exact sequence라는 성질은 local property임을 생각한다.[8] 간단히 quotient는 원소 하나로 생성되니까[9] 그러니까 위에 있는 ring의 모든 원소는 아래 있는 ring의 원소들을 coefficient로 갖는 monic polynomial의 zero로 표현된다.[10] 이런 분류는 일반적으로 complete local ring이 아니더라도 Henselian local ring이면 성립한다. 그런데 Henselian에 대해서 이렇게 분류하는 건 Zariski main theorem을 필요로 한다. (...)[11] 이는 $$\mathrm{Spec}\,A$$가 아니라 그냥 어떤 scheme을 놓아도 성립한다.[12] Frobenius가 bijection인 ring[13] $$\mathbb{Z}_p$$는 $$\mathbb{F}_p$$의 infinitesimal extension으로 볼 수 있다.[14] $$\dim_k H^1(X,\mathcal{O}_X)$$[15] 정확하게 말한다면, 있긴 있지만 그 모양새가 너무 괴팍해서 영 쓰기 껄끄럽다. 하지만 proétale topology를 할 때는 이 topology로 만들어지는 topos를 replete topos로 만들어주기에 꽤나 유용하게 쓰인다.[16] 또는 flat and finitely presented라고 해도 된다. 둘 중 어느 걸 선택해도 이론은 전혀 변하지 않는다.[17] 편의상 $$k$$를 field로 잡을 거지만, 한동안은 이걸 그냥 Noetherian ring이라고 해도 된다.[18] 사실 제대로 된 category를 원한다면 이 과정은 반드시 거치지 말아야 한다. 하지만 model category나 ∞-category를 여기에서 소개할 것은 아니므로 그냥 이 과정을 거친다.[19] 이것은 model category의 입장에서 바라보면 그저 fibrant replacement에 불과하다.[20] 이것은 그냥 대수학에서 finite module이란 notion이랑 완전히 똑같다. 이를 category theory에선 좀 더 일반적으로 '''compact object'''라고 부른다.[21] 사실 그냥 abelian category면 모두 된다.