갈루아 이론

1. 개요

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갈루아이론은 체의 대칭성에 대한 정보를 "손실 없이" 군으로 가져와, 연구하는 이론이다. 여기서 "손실"이 없다는 것은, 체의 확장(field extension)에서 부분체(subfield)를 고정시키는 고정군(fixing group. 어떤 조건이 만족되면, 갈루아군(Galois group)이라 불린다.)[1]에 여러 부분체가 대응되거나, 부분군(subgroup)에 대한 고정체(fixed field)가 여럿 대응되지 않는 상황을 일컫는다.[2] 즉, 고정체와 고정군이 일대일 대응되는 상황을 다루고자 하는 것이다. 이 상황을 보장해주는 확장이 갈루아 확장(Galois extension)이며, 이 때의 일대일 대응을 갈루아 대응(Galois correspondence)라 부른다.
갈루아 이론의 가장 대표적인 사례가 대수방정식의 대수적 가해성 판별문제이다. 이 문제를 예로 들어, 갈루아 이론을 다시 설명하자면, 방정식의 차수가 높아질수록, 대수방정식이 풀리는 체의 확장에 대응되는 갈루아군의 대칭성이 떨어진다. 즉, 유리계수 5차 방정식부터는 갈루아군이 가해군(solvable group)이 아닐 수 있게 되어, 대수적 해법이 없게 된다.
미분 갈루아 이론이란 것도 있는데, 미분체(미분연산을 갖춘 체)에 갈루아 이론 비스무리한 방법을 적용하여 어떤 함수의 부정적분이 초등함수로 표현될 수 있는지 알아 내는 방법도 있다.
또한 모든 유한군을 유리수체의 확대체의 갈루아 군의 형태로 표현 할 수 있는지에 대한 문제가 존재하는데, 이를 역 갈루아 문제 (inverse galois problem)라고 하며 아직까지 미해결 문제이다.
이하에서는 체(대수학)의 내용을 모두 이해했음을 가정하고, '''유한 확대'''에 한해 설명하기로 한다. 무한 확대에 대해서는 말미에 간단히 언급할 것이다.
학부생에게는 4학기내지 5학기동안 진행되는 학부 대수학 강의의 대미를 장식하는 이론이기도 하다. 그만큼 어렵기도 해서[3]인지 갈루아 이론이 포함된 과목은 그전까지만 해도 빵빵하던 대수학 수강생[4]들이 해당과목 시기만되면 언제 수강했냐는듯 우르르 빠져나가기도 하는 과목이다.

2. 고정군(fixing group)과 고정체(fixed field)

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2.1. 고정군

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체의 확장 $$K/F$$에 대해, $$\text{Aut}\left(K/F\right):=\left\{\sigma:K\overset{\sim}{\longrightarrow}K:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right\}$$ 을 생각하자. 정의에서 쉽게 알 수 있듯이, 이는 $$K$$동형군(autoporphsim group)에서, $$F$$를 고정시키는 것만 뽑아 구성한 것이다.이 역시 군을 이룬다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 이를 "$$F$$의 고정군(fixing group)"이라 한다.
고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다. 즉, $$\alpha\in K$$가 $$f\in F\left[x\right]$$의 근이라면, 임의의 $$\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)$$에 대해, $$\sigma\left(\alpha\right)$$도 $$f$$의 근이어야 한다.
이를 설명해보자. $$K$$에서의 $$f$$의 분해체(splitting field)[5]$$L$$을 생각하자. 다음과 같은 사실이 알려져 있다.

임의의 $$\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)$$에 대해, $$\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)$$이 존재하여 $$\left.\tau\right|_{K}=\sigma$$이다.

이제, $$\alpha$$를 $$f=\prod\left(x-\alpha_{i} \right)$$($$\alpha_{i}\in L$$, $$\alpha=\alpha_{1}$$)라 하자. 임의의 $$\sigma\in\text{Aut}\left(K/F\right)$$을 생각해보자. $$\tau\in\text{Aut}\left(L/F\right)$$이 존재하여 $$\left.\tau\right|_{K}=\sigma$$인데, 이것에 대해, $$\left.\tau\right|_{F}=\text{id}_{F}$$이므로, $$f=\tau\left(f\right)=\prod\left(x-\tau\left(\alpha_{i} \right)\right)$$이다. 따라서, $$\tau\left(\alpha \right)=\sigma\left(\alpha\right)$$도 $$f$$의 근이다. 이것을 바탕으로 다음과 같은, 다음의 고정군을 계산할 수 있다.

2.2. 예

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• 실수에서 복소수로의 확장, $$\mathbb{C}/\mathbb{R}$$을 생각하자. 고등학교 때 배우는, 켤레 연산(conjugation)을 $$\sigma$$라 하면[6], $$\text{Aut}\left(\mathbb{C}/\mathbb{R}\right)=\left\{1, \sigma\right\}$$이다. 이는, $$\sigma\left(i\right)=-i$$이고, $$\pm i$$만이 $$x^{2}+1=0$$의 근이기 때문이다.
• 유리수에 $$2$$의 (실수인) $$3$$중근 $$\alpha$$를 추가한 확장 $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}$$[7]에 대해, $$\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1$$이다. 이는, $$\alpha$$는 $$x^{3}-2=0$$의 근인데, 이것의 근들 중 $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)$$에 속하는 것은, $$\alpha$$뿐이기 때문이다.

2.3. 고정체(fixed field)

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체의 확장 $$K/F$$에 대해, 고정군 $$G:=\text{Aut}\left(K/F\right)$$과 그것의 부분군 $$H<G$$을 생각하자. $$K_{H}:=\left\{a\in K:\forall \sigma\in H\qquad \sigma\left(a\right)=a\right\}$$라
하면, 이는 체임을 쉽게 보일 수 있다. 그리고 $$H$$에 의해 고정되는 것들만 모은 체이므로, "고정체(fixed field)"라 부른다.
정의에서 자명하게,

• $$K/K_{H}/F$$
• $$H<\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)$$
• $$K_{\text{Aut}\left(K/F\right)}/F$$

임을 알 수있다. 하지만, $$K_{\text{Aut}\left(K/K_{H}\right)}\neq F$$일 수도 있다. 위에서 계산했듯이, $$\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)=1$$이므로, $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)_{\text{Aut}\left(\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}\right)}=\mathbb{Q}\left(\alpha\right)\neq \mathbb{Q}$$이다. 즉, 여러 체에 대한 고정군이 같고, 이것이 대칭성의 손실이다. 무손실성을 위해 갈루아 확대란 개념이 필요하다.

3. 갈루아 확대(Galois extension)

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고정군은 체의 확장을 대칭성을 담고 있다. 하지만, 이것만으로는 체의 확장의 대칭성을 "손실 없이" 가져오기에는 무리가 있다. 이 무손실성을 보장하기 위해서는 체의 확대가 정규 확대(normal extension), 분리 확대(separable extension)여야하며, 이 정규이고 분리인 확대 즉, 정규분리 확대를 갈루아 확대(Galois extension)라 부른다.
대수방정식의 가해성에 대한 문제에서 갈루아 이론이 개발되었기에, 갈루아 이론은 대수방정식의 근의 치환을 다루는 것이라 보는 것이 편하다. 이는, 고정군은 방정식의 근을 다시 방정식의 근으로 보내야한다는 것에서 이미 본 사실이다. 여기서, 어떤 방정식에 대해, (1) 한 근을 다른 모든 근으로 치환할 수 있는가 (2) 근이 중복되지 않는가[8]에 대해 질문할 수 있다. 이에 대한 답변이, 정규 확대와 분리 확대이다.

4. 정규 확대(normal extension)

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확대 $$K$$가 체 $$F$$의 '''정규 확대(normal extension)'''이라 함은, 다음이 성립하는 것이다.

임의의 기약 다항식 $$f\in F\left[x\right]$$에 대해, $$\alpha\in K$$가 $$f$$의 근이면, $$\alpha_{i}\in K$$이 존재하여 $$f=\prod \left(x-\alpha_{i}\right)$$이다.[9]

4.1. 정규 확대의 동치 조건

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다음이 알려져 있다.

체의 확장 $$K/F$$에 대해, TFAE

* $$K/F$$는 정규 확대이다.

* $$f\in F\left[x\right]$$이 존재하여, $$K$$는 $$f$$에 의한 $$F$$의 분해체이다.[10]

* 모든 $$E/K$$, $$\sigma\in\text{Aut}\left(E/F\right)$$에 대해, $$\sigma\left(K\right)=K$$이다.

4.2. 예

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• 임의의 체는 자기 자신의 정규확대이다.
  • $$\mathbb{R}/\mathbb{R}$$는 정규확대이다.
    $$x^{2}+1\in R\left[x\right]$$은, 기약이고 분해되지 않지만, 확대인 $$\mathbb{R}$$에서 한 근을 가지지 않는다.
    $$\left(x^{2}+1\right)x\in R\left[x\right]$$은, 한 근을 갖지만, 확대인 $$\mathbb{R}$$에서 분해되지 않는다. 하지만, 기약이 아니다.
• $$\mathbb{C}/\mathbb{R}$$
  $$\mathbb{C}$$는, $$x^{2}+1\in R\left[x\right]$$에 의한 $$\mathbb{R}$$의 분해체이다.
• 유리수에 $$2$$의 (실수인) $$3$$중근 $$\alpha$$를 추가한 확장 $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)/\mathbb{Q}$$는 정규확대가 아니다.
  $$x^{3}-2\in \mathbb{Q}\left[x\right]$$는 한 근 $$\alpha$$의 최소다항식이다. 그러나 $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)$$에는 다른 근들이 없다.
• 정규 확대는 추이적(transitive)이지 않다. 즉, $$E/F$$, $$K/E$$가 모두 정규확대라 하더라도 $$K/F$$는 정규확대가 아닐 수 있다.[11]

5. 분리 확대(separable extension)

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5.1. 분리 다항식(separable polynomial)

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$$f\in F\left[x\right]$$가 '''분리 다항식(separable polynomial)'''이라 함은, $$f$$가 중근을 갖지 않는다는 뜻이다.[12]

• $$\left(x-i\right)\left(x+i\right)=x^{2}+1\in R\left[x\right]$$는 분리 다항식이다.
• 소수 $$p$$에 대해, $$x^{p}-a^{p}=\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]$$는 분리 다항식이 아니다.

5.1.1. 형식적 미분(formal derivative)

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본래 미분은, 극한의 개념이 있어야하지만, 단순히 다항식이 이루는 벡터 공간 위의 선형 연산자로 이해할 수 있다.[13] 그러면 보통의 미분과 아주 똑같이 작동한다.[14] 그 특징들 중에서 미분이 "근의 중복도"를 하나 낮추는 기능을 한다는 것[15]을 분리 다항식 판별에 적극 이용할 수 있다. 만약, $$f$$가 중근을 갖는다면(한 근의 중복도가 $$1$$보다 크다면), $$f'$$에서도 그 근을 갖는다. 즉, $$f$$가 중근을 갖는다면, $$f$$, $$f'$$는 서로소가 아니다. 이의 역, 서로소가 아니면 중근을 갖지 않는다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 이에 의해 다음을 얻는다.

$$f$$가 분리 다항식인 것과 $$\left(f,f'\right)=1$$은 동치이다.

이를 이용하여 다음 결과를 얻는다.

• $$f:=x^{p^{n}}-x\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left[x\right]$$는 분리 다항식이다.
• $$x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]$$은 분리 다항식이 아니다.

5.2. 완전체(perfect field)

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체 $$F$$가 '''완전체(perfect field)'''라 함은 다음이 성립하는 것이다.

* $$\text{char.}F=0$$이거나

* $$F^{\text{char.}F}=F$$

완전체 위에서, 다음이 성립한다.

* 기약 다항식은 분리 다항식이다.

* 분리 다항식은 서로 다른 기약 다항식의 곱이다.

* 역으로, 서로 다른 기약 다항식은 근이 서로 겹치지 않으므로, 서로 다른 기약 다항식의 곱은 분리 다항식이다.

정의와 정리에서 다음의 예들을 알 수 있다.

• 유리수체 $$\mathbb{Q}$$는 표수가 [math(0)]이므로 완전체이다.
• 유한체는 완전체이다.
• $$\left(x-a\right)^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]$$는 기약임에도[16] 분리 다항식이 아니다. 따라서 두 번째 명제에 의해 $$\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)$$분해체는 완전체가 아니다.

5.3. 분리 원소(separable element)

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확대 $$K/F$$에 대해, $$F$$ 위에서 대수적인 수 $$\alpha\in K$$가 '''분리 원소(separable element)'''라 함은 다음이 성립하는 것이다.

$$\alpha$$를 근으로 갖는 분리 다항식 $$f\in F\left[x\right]$$이 존재한다.

이는 다음과 동치이다.

$$F$$위에서의 $$\alpha$$의 최소 다항식이 분리 다항식이다.

• 유한체 $$\text{Gal}\left(p^{n}\right)$$의 모든 원소는 $$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$의 분리 원소이다.
• $$a$$는 $$\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)$$위의 분리 원소가 아니다.
  $$\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)$$위에서의 $$a$$의 최소 다항식은 $$x^{p}-a^{p}\in \left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)\left(a^{p}\right)\left[x\right]$$인데 이는 분리 다항식이 아니다.

5.4. 분리 확대(separable extension)

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확대 $$K/F$$에 대해, $$K/F$$가 '''분리 확대(separable extension)'''라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 $$\alpha\in K$$는 분리원소이다.

분리 다항식을 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$$K/F$$에 대해, TFAE

* $$K/F$$가 분리 확대이다.

* $$\left|\sigma:K\hookrightarrow\overline{F}:\left.\sigma\right|_{F}=\text{id}_{F}\right|=\left[K:F\right]$$

다음이 성립한다.

• 분리 확대의 추이성(transitivity)
  $$K/E$$, $$E/F$$가 분리 확대이면, $$K/F$$ 또한 그러하다.
• 분리 다항식의 분해체는 분리 확대이다.
• 분리 원소에 의한 확대는 분리 확대이다.

5.5. 갈루아 확대(Galois extension)

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'''갈루아 확대(Galois extension)'''는 정규분리 확대를 뜻한다. 다음이 알려져 있다.

확대 $$K/F$$, 군$$G<\text{Aut}\left(K/F\right)$$에 대해, $$K/K_{G}$$는 갈루아 확대이다.

이는 다음을 증명하기 위한 보조 명제에 가깝다.

유한확대 $$K/F$$에 대해, TFAE

* $$K/F$$는 갈루아 확대이다.

* 분리다항식 $$f\in F\left[x\right]$$가 존재하여, $$K$$는 $$f$$에 의한 $$F$$의 분해체이다.

* $$\left|\text{Aut}\left(K/F\right)\right|=\left[K:F\right]$$

* $$K_{\text{Aut}\left(K/F\right)}=F$$

이들 동치조건들 중, 마지막 것이 (그토록 고대하던), 체의 대칭성을 "손실 없이" 군으로 이식해올 수 있다는 것을 의미한다. 분리 다항식의 분해체 조건은, 갈루아 이론이 어떻게 대수 방정식의 가해성 문제에 적용될 수 있는 지 알려준다. 다음 정의를 보자.

'''갈루아 군(Galois group)'''

* 갈루아 확대 $$K/F$$에 대해, $$\text{Gal}\left(K/F\right):=\text{Aut}\left(K/F\right)$$

* 분리다항식 $$f\in F\left[x\right]$$에 대해, $$K$$를 $$f$$에 의한 $$F$$라 하자. 확대 $$\text{Gal}\left(f\right):=\text{Gal}\left(K/F\right)$$

모든 갈루아 확대체는 $$\text{Gal}\left(f\right)$$ 꼴이고, $$\mathbb{Q}$$는 완전체이므로, $$f\in \mathbb{Q}\left[x\right]$$가 분리다항식인 것은 아주 흔한 일이다. 이제, 대수적 해법이 존재하는 지 알고 싶은 $$f\in \mathbb{Q}\left[x\right]$$에 대해, $$\text{Gal}\left(f\right)$$를 조사해주면 된다.

6. 갈루아 확대에서의 갈루아 대응(Galois correspondence)

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갈루아 대응(Galois correspondence)은 갈루아 군과 확대체 사이에 일대일 대응을 보장해주는 정리이다. 더욱이, 갈루아 군과 확대체 사이에는 reversed inclusion으로 같은 의미가 성립함을 보여준다.[17]

갈루아 확대 $$K/F$$와 중간 체 $$K/E/F$$에 대해, $$K/E$$도 갈루아 확대이다.

'''갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory); 갈루아 대응(Galois correspondence)'''

갈루아 확대 $$K/F$$에 대해,

(1) 중간 체들의 모임 $$\left\{K/E/F\right\}$$와 부분군 $$\left\{H<G:=\text{Gal}\left(K/F\right)\right\}$$사이에는 일대일 대응이 있다. 그 일대일 대응은, $$E\longmapsto \text{Gal}\left(K/E\right)=H$$, $$H\longmapsto K_{H}=E$$로 주어진다.

(2) $$K/E_{i}/F$$에 대해, $$E_{2}/E_{1}\leftrightarrow\text{Gal}\left(K/E_{2}\right)<\text{Gal}\left(K/E_{1}\right)$$

(3) $$\sigma\in G$$에 대해, $$\text{Gal}\left(K/\sigma\left(E\right)\right)=\sigma H\sigma^{-1}$$

(4) $$E/F$$가 갈루아 확대인 것과 $$\text{Gal}\left(K/E\right)\vartriangleleft G$$은 동치이고, 이때, $$\text{Gal}\left(E/F\right)\cong G/H$$이다.

(5) $$\text{Gal}\left(K/E_{1}E_{2}\right)\cong H_{1}\cap H_{2}$$, $$\text{Gal}\left(K/E_{1}\cap E_{2}\right)\cong\left\langle H_{1},\, H_{2}\right\rangle $$

7. 예제

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7.1. 원분체

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우리는 $$\mathbb{Q}$$ 위의 primitive nth root of unity[18]들 중 하나를 $$\zeta_n$$이라고 쓰기로 하자. 그러면 $$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$$를 생각할 수 있는데, 예를 들면 $$n=4$$일 때 $$\zeta_4=i$$가 되도록 할 수 있고 따라서 $$\mathbb{Q}(\zeta_4)=\mathbb{Q}(i)$$가 된다.
이제 $$a$$가 $$n$$랑 서로소일 때 $$\zeta_n$$를 $$\zeta^a_n$$로 보내는 체 동형사상 $$\mathbb{Q}(\zeta_n)\to \mathbb{Q}(\zeta_n)$$를 생각하자. 그러면 이런 동형사상의 갯수는 $$1\le a\le n$$면서 $$n$$이랑 서로소인 $$a$$의 갯수, 그러니까 $$\varphi(n)$$가 되고, $$\zeta_n$$은 적당히 제곱하는 것으로 모든 nth root of unity를 만들 수 있으므로 $$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$$는 갈루아 확대고 그 갈루아 군은 $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$$가 된다.

7.2. 유한체

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유한체 $$k$$를 하나 생각하자. 그러면 이것의 유한 확대를 $$\ell$$이라고 하고 이것의 차수를 $$n$$라고 하자. $$k$$의 원소의 갯수가 $$q$$일 때 $$\ell$$의 모든 원소들은 다음과 같은 다항식 $$f\in k[x]$$의 근이 된다.
$$ f(x)=x^{q^n}-x$$
이는 $$\ell$$에서 0을 뺀 $$\ell^{\times}$$가 위수가 $$q^n-1$$인 군이라서 그런다. 이를 다시 말하면 $$\ell$$는 $$f$$에 의한 $$k$$의 분해체라는 것이며 따라서 $$k$$의 차수가 $$n$$인 모든 확대체는 서로 동형이라는 것이다. 그리고 유한체는 $$k$$의 표수가 $$p$$라면 다음과 같은 체 준동형사상
$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p\to k$$
가 존재하므로 모든 유한체는 적당한 소수 $$p$$가 있어서 $$q=p^m$$를 원소의 갯수로 갖고 이런 원소의 갯수를 갖는 유한체는 유일함을 알 수 있다. 이제 원소의 갯수가 $$q=p^m$$인 유한체를 $$\mathbb{F}_{q}$$라고 쓰자.
우리는 다음으로 넘어가기 전에 다음 정리를 보자.

모든 체 $$K$$에 대해서 $$K^{\times}$$의 유한군 $$G$$는 순환군이다.

이것의 증명은 $$G$$가 순환군이 아니라고 할 때 이것의 위수를 $$q$$라고 하면 적당한 $$d_1,\cdots,d_m$$가 있어서 $$d_1|d_2|\cdots|d_m|q$$고 $$d_1\neq d_m$$고
$$G=\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \cdots\times \mathbb{Z}/d_m\mathbb{Z}$$
가 되는데, 그러면 $$G$$의 모든 원소는 $$f(x)=x^{d_m}-x\in K[x]$$의 근이 된다. 왜냐하면 $$d_i|d_m$$ for all $$i\le m$$이기 때문이다. 그런데 그러면 $$x^{d_m}-x$$의 근의 갯수는 $$d_m$$개 이하이므로 $$d_m<q\le d_m$$가 되고 모순이 나온다. 따라서 $$G$$는 순환군이다.
이제 차수가 $$n$$인 유한체의 확대 $$k/\mathbb{F}_q$$를 생각하고, 이것의 갈루아 군을 구해보자. 그보다 먼저 이것이 갈루아 확대인지 확인해야 하는데, 이것은 분리 확대고 위에서 보았듯이 $$f(x)=x^{q^n}-x$$에 의한 $$\mathbb{F}_q$$의 분해체이므로 정규 확대가 된다. 따라서 갈루아 확대고 갈루아 군이 있다.
그 갈루아 군의 위수는 $$n$$를 넘을 수 없으며 다음과 같은 체 동형사상을 생각하자.
$$\mathrm{Fr}_q:k\to k,\mathrm{Fr}_q(x)=x^q$$
이는 $$\mathrm{Fr}^n_q=\mathrm{id}$$이므로 체 동형사상이고, 덤으로 $$k^{\times}$$는 순환군이므로 $$m<n$$라면 적당한 $$\alpha\in k$$가 있어서 $$\mathrm{Fr}^m_q(x)\neq x$$가 된다. 따라서 $$\mathrm{Fr}_q$$가 만드는 갈루아 군 안의 부분군은 위수가 $$n$$고 따라서
$$\mathrm{Gal}(k/\mathbb{F}_q)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$
가 된다. 그리고 이 군의 생성자는 $$\mathrm{Fr}_q$$고 이 생성자를 특별히 '''프로베니우스'''라고 부른다.
프로베니우스를 이용한 예를 하나 들어보자. $$\mathbb{F}_5$$의 primitive 11-th root of unity. 그러니까 $$x^{11}-1=0$$의 원소들 중에서 $$1$$이 아닌 원소 하나를 골라서 $$\zeta_{11}$$라고 쓰고 $$\mathbb{F}_5(\zeta_{11})/\mathbb{F}_5$$를 생각하자. 만약에 그냥 $$\mathbb{Q}(\zeta_{11})$$라면 볼 것도 없이 차수가 10일 것이다. 그렇다면 이것은 어떨까?? 이를 확인하기 위해선 $$\zeta_{11}$$에 프로베니우스를 얼마나 씌워야 $$\zeta_{11}$$이 되는지를 확인해야 하는데, 적당한 계산으로
$$ 5^5\equiv 1 \pmod {11}$$
임을 알 수 있으며 따라서 $$\mathrm{Fr}^5_5(\zeta_{11})=\zeta_{11}$$이 된다. 프로베니우스는 갈루아 군의 생성자이므로 $$\mathbb{F}_5(\zeta_{11})/\mathbb{F}_5$$의 차수는 5가 된다. 따라서 $$\mathbb{Q}$$나 11th root of unity가 없는 표수 0의 체하곤 다른 결과가 나온다.

8. 갈루아 코호몰로지 (Galois cohomology)와 쿰머 이론 (Kummer theory)

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코호몰로지란 간단히 말해서, '''우리가 모르는 정보들'''을 모아놓는 곳이다. 예를 들면 다변수 미적분학에서
$$\omega=\frac{-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y$$
를 드람 코호몰로지에 넣으면 이것의 부정적분은 존재하지 않음을 알 수 있다. 그러니까 그 어떤 무한번 미분가능한 함수 $$f\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2-\{0\})$$도 $$\mathrm{d}f=\omega$$를 만족할 수 없음을 알 수 있다. 이는 이 드람 코호몰로지가 드람 정리로 첫번째가 $$\mathbb{R}$$로 [math(0)]이 아니기 때문이며 덤으로 이렇게 부정적분이 없는 1-form은 오로지 $$\omega$$의 상수배꼴과 부정적분이 있는 다른 1-form들의 합으로 표현될 수밖에 없음을 보일 수 있다.
먼저 Ext 함자를 정의하자. $$R$$가 (가환이 아니어도 되는) 1이 있는 환이고 $$M,N$$가 모두 $$R$$-가군이라고 하자. 그러면 $$M$$의 사영 분해 $$P^{\bullet}\to M\to 0$$와 $$N$$의 단사 분해 $$0\to N\to I^{\bullet}$$가 있을 때 이 둘로 $$\mathrm{Hom}_R(M,N)$$의 이중 사슬 복합체 $$\mathrm{Hom}_R(P^{\bullet},I^{\bullet})$$를 만들 수 있으며 이것의 전체화(totalization)의 $$i$$번째 코호몰로지를 $$\mathrm{Ext}^i_R(M,N)$$라고 쓴다.
이것의 성질엔 다음이 있다.

(1) 어떤 사영 분해 $$P^{\bullet}\to M\to 0$$와 단사 분해 $$0\to N\to I^{\bullet}$$를 선택하더라도 $$\mathrm{Ext}^i_R(M,N)$$는 유일하다.

(2) 유도 함자를 통해서 정의할 수 있다. 그러니까 $$\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=R^i\mathrm{Hom}_R(M,-)=L^i\mathrm{Hom}_R(-,N)$$가 된다. 이 세 정의가 동치라는 것은 위에서 정의한 이중 사슬 복합체로 만든 스펙트럼 열에서 가로세로로 페이지를 넘기면 된다.

(3) 유도 범주를 이용하면 $$D(\mathrm{Mod}_R)$$에서 $$\mathrm{Ext}^i_R(M,N)=\mathrm{Hom}_{D(\mathrm{Mod}_R)}(M,N[i])$$로 아주 깔끔하게 정의된다. 위의 네 정의가 동치라는 것은 $$i=0$$에서 먼저 생각한 다음에 긴 완전열을 생각한다.

(4) 당연히 $$\mathrm{Ext}^0_R(M,N)=\mathrm{Hom}_R(M,N)$$다.

(5) $$\mathrm{Ext}^i_R(-,-)$$에서 앞은 안의 colimit를 limit로 옮기고 뒤는 안의 limit를 limit로 옮긴다. 이는 Hom 함자의 성질에서 그대로 딸려 나온다.

(6) $$i=1$$일 때, $$\mathrm{Ext}^1_R(M,N)$$은 $$\{K\in \mathrm{Ob}(\mathrm{Mod}_R)|0\to M\to K\to N\to 0\}$$이란 집합과 1-1 대응을 이룬다.

이제 $$G$$가 유한군이라고 하면 $$H^i(G,M)=\mathrm{Ext}^i_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)$$라고 정의한다. 그렇다면 이것의 성질엔 다음이 있다.

(1) $$H^0(G,M)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M)=M^G=\{x\in M|\sigma(x)=x\text{ for all }x\in M\}$$이 된다.

(2) 앞으로 $$\mathbb{Z}[G]$$-가군을 간단하게 $$G$$-가군이라고 쓰자. 그러면 $$G$$-가군 $$M$$에 대해서 1-공사슬(1-cocycle)을 $$f:G\to M$$이고 $$f(gh)=f(g)+gf(h)$$를 만족하는 함수라고 정의하자. 그리고 1-공경계(1-coboundary)를 적당한 $$x\in M$$이 있어서 $$f(g)=gx-x$$를 만족하는 함수로 정의하자. 그러면 $$H^1(G,M)=\{\text{1-cocycles}\}/\{\text{1-coboundaries}\}$$가 된다. 이는 $$M$$의 단사 가군을 구체적으로 잡는 것으로 알 수 있다.

(3) 위에서 바로 딸려나오는 것으로 $$M^G=M$$라면 $$H^1(G,M)=\mathrm{Hom}(G,M)$$가 된다.

(4) (Hilbert theorem 90) $$L/K$$를 체의 유한 확장이라고 하고 갈루아 확장이라고 하자. 그리고 그 갈루아 군을 $$G$$라고 하면 $$H^1(G,L^{\times})=0$$가 된다. 이것의 가장 간단한 증명은 충만한 평탄 내림(faithfully flat descent)로 $$H^1(G,L^{\times})=H^1(\mathrm{Spec}\,L,\mathcal{O}^{\times}_{\mathrm{Spec}\,L})$$임을 증명하는 것이다.

이제 $$K$$의 표수가 $$n$$하고 서로소고 $$L/K$$라는 갈루아 유한 확대가 있고 이것의 갈루아 군이 $$G$$고 $$K$$가 nth root of unity를 모두 가지고 있다고 생각해보자. 그 nth root of unity들의 군을 $$\mu_n$$라고 쓴다면 다음과 같은 완전열을 만들 수 있다.
$$0\to \mu_n\to L^{\times}\to L^{\times}\to 0$$
여기에서 첫번째 화살표는 그냥 inclusion, 두번째 화살표는 $$\alpha$$를 $$\alpha^n$$로 보내는 군 준동형사상이다. 그러면 이것의 핵은 $$\mu_n$$이 되므로 이 완전열이 만들어진다. 그러면 우리는 여기에 코호몰로지를 씌울 수 있고 그러면 이 완전열은
$$0\to H^0(G,\mu_n)\to H^0(G,L^{\times})\to H^0(G,L^{\times})\to H^1(G,\mu_n)\to H^1(G,L^{\times})$$
란 긴 완전열을 만든다. 이제 각각의 코호몰로지를 계산하면 첫번째는 $$K$$에 대한 가정과 성질 (2)로 $$\mu_n$$고 두번째와 세번째는 성질 (2)와 갈루아 이론의 기본 정리로 $$K^{\times}$$고 네번째는 $$\mu^G_n=\mu_n$$와 성질 (3)으로 $$H^1(G,\mu_n)=\mathrm{Hom}(G,\mu_n)$$고 다섯번째는 성질 (4)로 0이다. 따라서 다음을 만들 수 있다.
$$\mathrm{Hom}(G,\mu_n)=(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n$$
이제 왼쪽을 분석해보자. 왼쪽은 factor group이 $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$의 부분군인 $$G$$의 부분군하고 1-1 대응을 이룬다. 이는 다시 갈루아 이론의 기본 정리로 $$L$$ 안에 있는 $$K$$의 차수가 $$n$$의 약수이고 그 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확대들의 모임과 1-1 대응을 이룬다.
다음으로 오른쪽을 분석해보자. $$(K^{\times}\cap (L^{\times})^n)/(K^{\times})^n$$의 원소들은 $$a(K^{\times})^n$$꼴이고, 이는 $$K$$의 확대체 $$K(a^{\frac{1}{n}})$$하고 1-1 대응을 이룬다. 따라서 갈루아 군이 순환군인 갈루아 확장을 순환 확장(cyclic extension)이라고 하면 우리는 다음 대응을 만들 수 있다.
$$\{\text{Cyclic extensions of }K\text{ which degrees are divided by }n\}\leftrightarrow\{L/K(a^{\frac{1}{n}})/K\text{ for }a\in K\}$$
그러니까, 간단히 말하면 모든 순환 확장은 제곱근꼴로 표현 가능하다는 것이다. 이를 '''쿰머 이론'''이라고 부른다.

9. 가해성 (Solvablilty)

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이제 우리는 근의 공식이 무엇인지에 대해서 생각해보자. 2차방정식의 근의 공식은 $$ax^2+bx+c=0$$이 있을 때
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
꼴로 표현된다. 그러니까, '''계수들의 사칙연산'''과 '''제곱근'''만을 이용해야 한다. 이를 체의 확장으로 표현하면 이렇게 된다.
$$\mathbb{Q}(a,b,c)(\sqrt{b^2-4ac})/\mathbb{Q}$$
이 체의 확장이 $$ax^2+bx+c=0$$의 분해체를 표현하는 것이다. 이렇게, 우리는 $$K$$가 체고 $$f\in K[x]$$일 때 이것이 근의 공식으로 해를 구할 수 있다는 것을 다음과 같이 정의하자.

• 적당한 체들 $$L=K_n/K_{n-1}/\cdots/K_1/K_0=K$$가 존재한다. 그리고 $$f$$의 분해체는 $$L$$의 부분체다. (그냥 $$L$$라고 해도 상관 없다.)
• $$K_{i+1}/K_i$$들이 적당한 $$a_i\in K_i$$가 있어서 for some $$n_i$$, $$K_{i+1}$$는 $$f_{n_i}(x)=x^{n_i}-1\in K_i[x]$$의 분해체가 된다.

이는 직관적인 정의인데, 한 번씩 제곱근을 씌우는 과정을 단순히 $$K_{i+1}/K_i$$란 체의 확대를 생각하는 것으로 바꾼 것 뿐이다. 예를 들면 $$b$$가 0이 아닐 때 $$x^3+ax+b=0$$란 방정식을 풀 때 $$x=u+v$$로 나타내서
$$u^3+v^3+b+(3uv+a)(u+v)=0$$
로 나타내면 $$u^3+v^3+b=0, u^3v^3=-\frac{a^3}{27}$$가 되도록 $$u,v$$를 잡을 수 있고, 따라서 $$u^3,v^3$$는
$$t^2+bt-\frac{a^3}{27}=0$$
의 두 근이 된다. 이 과정에서 $$u^3,v^3\in \mathbb{Q}(a,b)\left(\sqrt{b^2+\frac{4a^2}{27}}\right)=K_1$$여야 하고, 따라서
$$x=u+v\in K_1((u^3)^{\frac{1}{3}},(v^3)^{\frac{1}{3}})=K_2$$
여야 한다. 이렇게 우리는 $$L=K_2/K_1/K_0=K=\mathbb{Q}(a,b)$$를 만들었다.
$$f\in K[x]$$가 근의 공식으로 해를 구할 수 있다고 해보자. 그러면 정의에 나오는 $$L/K$$는 언제나 갈루아 확대고 그 갈루아 군은 가해군이어야 한다. 왜냐하면 $$G_i=\mathrm{Gal}(K_{i+1}/K)$$라고 한다면 $$G_0\subseteq G_1\subseteq \cdots \subseteq G_{n-1}=\mathrm{Gal}(L/K)$$고 $$G_{i+1}/G_i=\mathrm{Gal}(K_{i+1}/K_i)$$는 쿰머 이론으로 순환군이 되기 때문이다.
이제 $$f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$를 생각하고 $$K=\mathbb{Q}(a,b,c,d,e)$$라고 하자. 그러면 $$f$$의 분해체는 그 갈루아 군이 $$S_5$$가 된다. 왜냐하면 $$f$$의 다섯 근을 $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5$$라고 하면 이 다섯을 뒤섞는 군의 작용을 생각할 수 있기 때문이다. 그리고 결정적으로 $$S_5$$는 가해군이 아니고 따라서 일반적인 5차방정식은 근의 공식을 가지지 않는다.[19]
이제 $$S_3,S_4$$는 가해군임을 생각해보자. 그러면 쿰머 이론으로 $$K$$가 표수가 0이고 모든 nth root of unity를 갖는다면 (이 둘에 대해선 $$n\le 4$$에 대해서만 가져도 된다.) 모든 순환 확장은 $$a\in K$$가 있어서 $$K(a^{\frac{1}{n}})/K$$꼴이고, 따라서 갈루아 이론의 기본 정리로 3,4차방정식은 계수를 넣으면 바로 근이 나오는, 그러니까 근의 공식을 가진다. 이 두 근의 공식을 각각 카르다노의 방법, 페라리의 방법이라고 부른다.

10. 무한 갈루아 이론 (Infinite Galois theory)

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여태까지 갈루아 이론을 체의 유한 확대에 대해서만 했는데, 이걸 대수적 무한 확대로 일반화할 수 있다.
대수적 확대 $$L/K$$가 있을 때 $$L$$의 원소들 중 유한개만을 잡아서 체를 만드는 것으로 적당한 direct system $$\{K_i\}$$가 있어서
$$L=\lim_i K_i$$
라고 쓸 수 있다. 여기에서 lim은 direct limit를 뜻하고 $$K_i/K$$는 언제나 유한 확대다. 여기에선 direct limit를 쉬운 용어로 합집합으로 바꿔도 되지만 이를 갈루아 군으로 옮길 때 inverse limit로 바뀌는 걸 잘 설명하려면 이를 direct limit로 표현하는 것이 좋다.
대수적 무한 확대 $$L/K$$가 '''갈루아 확대'''라는 것은 $$K'\subseteq L$$인 모든 유한 확대 $$K'/K$$가 어떤 유한 갈루아 확대 $$K''/K,K''\subseteq L$$이 있어서 $$K'\subseteq K''$$일 때를 말한다. 그리고 이 때 $$L/K$$의 갈루아 군을
$$\mathrm{Gal}(L/K)=\lim_i \mathrm{Gal}(K_i/K)$$
로 정의한다. 여기에서의 lim은 inverse limit고 $$K_i/K$$들은 모두 유한 갈루아 확대다. 여기에서 $$K_j/K_i$$라는 갈루아 확장들 사이의 체의 확장이 있으면 $$\mathrm{Gal}(K_j/K)\to \mathrm{Gal}(K_i/K)$$라는 단사 군 준동형사상이 언제나 유일하게 존재한다.
앞으로의 증명을 쉽게 하기 위해서 $$L/K$$가 유한 분해 가능 확대일 때 이것의 갈루아 폐포를 정의하자. 이것의 갈루아 폐포는 $$L$$을 포함하는 모든 $$K$$의 갈루아 확대체의 교집합이며 이는 $$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$$라고 할 때 $$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$$의 최소 다항식의 다른 해들을 모두 $$K$$에다가 넣으면 바로 유한 갈루아 확대체가 나오므로 존재한다.
$$L/K$$가 무한 갈루아 확대면 모든 $$\alpha\in L$$에 대해서 $$K(\alpha)$$는 분해 가능 확대임을 알 수 있고, 덤으로 $$i:L\to \bar{K}$$란 embedding이 있고 $$\alpha\in L$$면 $$\alpha$$의 최소 다항식의 분해체를 $$K'$$라고 한다면 $$i(K)=K$$고 따라서 $$\alpha\in L$$이 되고 $$i(L)=L$$가 된다. 반대 방향은 두 조건을 만족하는데도 적당한 $$E\subseteq L$$가 있어서 그 어떤 갈루아 확장 $$L/K'/K$$도 $$E$$를 포함하지 못 한다면 간단히 $$E$$의 갈루아 폐포를 생각하면 적당한 $$\alpha\in E$$가 있어서 이것의 최소 다항식의 어떤 해는 $$L$$ 바깥에 있고 따라서 $$K(\alpha)$$에 대해 $$\alpha$$에서 그 해로 가는 동형사상을 잡으면 이것은 프렐라이의 isomorphism extension theorem[20]으로 $$i:L\to \bar{K}$$로 확장할 수 있고, $$i(L)$$는 그 해를 포함하므로 $$L$$이 될 수 없고 모순이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$L/K$$가 갈루아 확대라는 것과 $$L/K$$의 모든 부분 확대가 분해 가능 확대고 모든 $$i:L\to \bar{K}$$가 $$i(L)=L$$를 만족하는 것과 $$L$$가 $$K$$의 유한 갈루아 확대들의 direct limit라는 것은 동치다.

이제 $$L/K$$가 갈루아 확대일 때 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$를 살펴보자. 우리는 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$를 마치 유한 갈루아 이론을 했을 때처럼 나타내고 싶다. 그러니까 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$를 $$\{\sigma:L\to L\}$$들로 나타내고 싶은데, 먼저 $$\sigma:L\to L$$가 있다면 이건 모든 유한 갈루아 확대 $$L/K_i/K$$에 대해서 $$K_i\to K_i$$를 만드므로
$$\{\sigma:L\to L\}\to \mathrm{Gal}(L/K)$$
란 전사함수를 만들고 이 대응으로 두 $$\sigma,\sigma':L\to L$$가 같아지는데 둘이 다르다면 적당한 $$\alpha\in L$$가 있어서 $$\sigma(\alpha)\ne \sigma'(\alpha)$$인데 그러면 $$\alpha$$의 최소다항식의 분해체에서 $$\sigma,\sigma'$$는 서로 달라지고 대응으로 서로 같아진다는 조건에 모순이 생긴다. 따라서 우리는 그냥 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$를 이렇게 정의할 수 있다.
$$\mathrm{Gal}(L/K)=\{\sigma:L\to L,\sigma(a)=a\text{ for all }a\in K\}$$
하지만 무한 갈루아 확대에 대한 갈루아 군을 이렇게 나타내는 건 별로 좋지 않다. 대수적 무한 확대의 모든 정보는 유한 확대에서 나오며 따라서 통으로 동형사상들을 모으는 것보다 유한 확대의 direct limit를 생각하는 것이 훨씬 더 근본적이다.
이제 이런 무한 갈루아 확대의 예제를 찾아보면 $$K$$가 아무 체라면 $$K$$의 모든 분해 가능 확대로 direct limit를 씌운 (또는 모든 분해 가능 확대체들을 합집합한) $$K^{\mathrm{sep}}$$가 있다. 그리고 $$K^{\mathrm{sep}}=\bar{K}$$라는 것과 $$K$$가 완전체라는 것은 동치고, 다음 갈루아 군 $$\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$$을 '''절대 갈루아 군'''이라고 부른다.
절대 갈루아 군의 예를 들어보면 $$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$$가 있는데, 보통 정수론계에서 이 군은 정말로 알아내기가 어렵다고 알려져 있다. 그리고 유한체에 대해선
$$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)=\lim \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\hat{\mathbb{Z}}=\prod_{p}\mathbb{Z}_p$$
가 되는데, 여기에서 lim은 inverse limit며 $$\mathbb{Z}_p=\lim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$이며 맨 마지막 등호는 중국인의 나머지 정리를 쓴 것이다.
$$L/K$$가 갈루아 확대일 때 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$엔 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 갈루아 군에 위상을 주는 이유는 무한 갈루아 이론에도 갈루아 이론의 기본 정리를 만들어야 하는데 위상을 주지 않으면 갈루아 군 안에 있는 유한 확대의 direct limit에서 오지 않는 쓸모없는 군들을 골라낼 수 없기 때문이다.
이제, $$\mathrm{Gal}(L/K)$$에다가 위상을 줘보면 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$의 닫힌 부분군은 적당한 $$K_i$$들이 있어서 $$K_{i}\subseteq K_{i+1}$$고 $$K_i/K$$들은 모두 유한 확대일 때 $$\bigcap \mathrm{Gal}(L/K_i)$$인 것들이 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$의 닫힌 부분군이라고 할 수 있다. 그리고 열린 부분군은 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$에서 유한 지표를 가지는 부분군이라고 할 수 있다. 그러니까 닫힌 부분군은 열린 부분군들의 교집합이고 열린 부분군은 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$ 안에서 속이 꽉 차 있는 부분군이라고 할 수 있다. 그리고 닫힌 집합과 열린 집합은 각각의 유한 합집합과 임의의 합집합이다.
이 위상은 특별한 점이 하나 있는데, 다음과 같은 자연스러운 전사 사상
$$\mathrm{Gal}(L/K)\to \mathrm{Gal}(K_i/K)$$
가 언제나 연속이 되도록 하는 가장 엉성한 위상이라는 것이다.
이제 $$H=\bigcap \mathrm{Gal}(L/K_i)$$가 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$의 닫힌 부분군이라고 하자. 그러면
$$K_i\subseteq K'\subseteq K'',K''/K\text{ is a finite extension }$$
에 대해서 $$(K')^{\mathrm{Gal}(K''/K_i)}=K_i$$가 되고, 따라서 $$K''$$먼저 $$L$$로 보내면 $$(K')^{\mathrm{Gal}(L/K_i)}=K_i$$로 $$L^{\mathrm{Gal}(L/K_i)}=K_i$$가 나오고 따라서
$$L^{\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)}=\lim_i K_i$$
가 된다. 여기에서 오른쪽은 direct limit다. 이것으로 우리는 다음 대응을 생각하자.
$$\{\text{Closed subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\to \{K'|L/E/K,\},H\mapsto L^H$$
이제 이것이 1-1 대응임을 보일 텐데, 그러려면 $$H=\mathrm{Gal}(L/L^H)$$임을 보여야 한다. 그리고 이는 $$H=\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)$$일 때
$$\mathrm{Gal}(L/K_i)=\mathrm{Gal}(L/L^{\mathrm{Gal}(L/K_i)})$$
가 되고, 따라서 양변에 inverse limit를 취하면
$$H=\mathrm{Gal}(L/L^H)$$
가 나오므로 1-1 대응이라는 것의 증명이 끝났다. 그리고 $$H=\bigcap_i \mathrm{Gal}(L/K_i)$$가 $$\mathrm{Gal}(L/K)$$의 정규 부분군이라면 $$K$$를 포함하는 $$\lim_i K_i$$의 모든 부분체는 분해 가능 확대체고 모든 분해 가능 유한 확대 $$E/K$$에 대해서 $$\mathrm{Gal}(L\cap E/L^H\cap E)$$는 $$\mathrm{Gal}(L\cap E/K)$$의 정규 부분군이고 따라서 $$L^H\cap E/K$$는 언제나 갈루아 확대고 모든 $$E$$에 대해서 합집합하면 $$L^H/K$$는 갈루아 확대가 되므로 다음이 성립한다.

$$\{\text{Closed subgroups of }\mathrm{Gal}(L/K)\}\leftrightarrow\{E|L/E/K\}$$라는 1-1 대응이 있으며 이는 정규 부분군을 갈루아 확대 $$E/K$$로 보내며 갈루아 확대를 정규 부분군으로 보낸다.

[1] 부분체를 고정시키는 것은 대칭성을 담고 있다.

[2] 후자의 경우는 어떤 경우도 일어나지 않는다. 이하의 정의를 보면 자명하다. 정말 문제가 되는 것은 전자이다.

[3] 사실 어렵다기보다는 이전까지 배워왔던 (선형)대수이론이 총동원되기 때문에 부족한 부분이 있는 이론이 이해를 막는 경우가 많다. 의외로 이전까지 착실히 대수학 지식을 쌓아오던 학생들은 그다지 어렵게 느끼지 않는 경우도 많다.

[4] 대부분의 학교에서 선형대수학과 대수학 첫번째 과목은 필수로 지정해 놓기도 하는지라..

[5] $$f$$가 풀리는 가장 작은 $$K$$의 확장체. 이것이 존재하는 것은 잘 알려져 있다.

[6] $$\sigma\left(a+bi\right)=a-bi$$

[7] $$\mathbb{Q}\left(\alpha\right)=\left\{a+b\alpha: a,b\in \mathbb{Q}\right\}$$

[8] 근이 중복된다면, 서로 달라야할 치환이 서로 겹치는 일이 벌어진다.

[9] 한 근을 가지면, 분해(splitt)된다

[10] 즉, 정규확대와 분해체는 같은 개념이다.

[11] 이 점을, 군과 정규부분군의 관계와 비교해보아라.

[12] $$f$$에 의한, $$F$$의 분해체 위해서 중근이 있는지 봐야하지만, 확대를 어떻게 잡아도 중근은 중근, 단근은 단근으로 나타나므로 굳이 확대를 언급할 필요가 없다.

[13] 다항식에서의 미분을, 차수를 계수에 곱해주고, 차수를 내리는 "형식적인" 절차로 생각하자.

[14] 곱의 미분, 선형성 등등

[15] $$f=\left(x-2\right)^{1}\left(x-3\right)^{2}\left(x-5\right)^{5}$$에서 근 $$2$$, $$3$$, $$5$$의 중복도는 각각 $$1$$, $$2$$, $$5$$지만, $$f'$$에서는 [math(0)], $$1$$, $$4$$이다.

[16] 이 다항식은 $$a$$의 최소다항식이다.

[17] "가장 작은 확대체"는 "가장 작은 군"과 갈루아 대응이 이루어진다.

[18] $$x^n=1$$를 만족하면서 $$m<n$$일 때 $$x^m\neq 1$$인 복소수

[19] 다만, 이후의 연구를 통해 $$x^5+x=a$$ 꼴의 방정식은 브링 근호를 사용하는 방법으로 해를 구할 수 있게 되었다.

[20] $$L/E/K$$가 있고 $$i:E\to \bar{K}$$란 단사사상이 있으면 이는 $$i:L\to \bar{K}$$로 확장된다는 정리. 증명은 먼저 $$L/K$$가 유한 확대라면 $$E$$쪽 빼곤 그대로 두는 걸로 쉽게 증명되고 나머지는 무한 확대는 유한 확대의 direct limit라는 것을 이용해 유한 확대의 사슬을 만들고 선택공리를 이용한다.