스털링 근사

1. 개요

2. 수열 버전

3. 간단한 버전

4. 좀 더 정확한 버전

5. 보다 더 정확한 버전

6. 예1

1. 개요

스털링 근사는 큰 값의 계승을 대략적으로 구하는 방법으로 두가지 진술이 있다.
증명에는 계승의 일반적 정의인 감마 함수를 이용한다.

모든 양의 정수 n에 대해
수열 $$\displaystyle \frac{n! e^n}{n^{n+0.5}}$$은 $$e$$에서 출발해 $$\displaystyle \sqrt{2\pi}$$로 수렴하는 단조 감소 수열이다.

$$\displaystyle n!\approx\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$$

$$\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}$$

$$\displaystyle n!\approx\sqrt{2\pi n}\left ( \frac{n}{e} \right )^{n}\left ( 1+\frac{1}{12n} \right )$$

15000의 계승을 근사식에 대입하면.
$$\displaystyle 15000!\approx\sqrt{2\pi \times 15000}\left ( \frac{15000}{e} \right )^{15000}\approx2.74\times{10}^{56129}$$