감마 함수

1. 개요

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Gamma Function
계승(factorial) 함수는 오로지 '''자연수만을 정의역으로 하는 함수'''이다. $$(-0.5)!$$이나 $$\sqrt{2}!$$ 따위는 정의되지 않는다. 다만, 이해를 돕기 위해 편의상 팩토리얼을 써서 표기하는 경우는 많이 있다.
그 이후 수학자들이 계승 함수의 정의역을 복소수 범위로 확장한 걸 감마 함수라고 부른다. 후술하겠지만 감마 함수도 [math(0)] 이하의 정수에서는 정의되지 않는다.

2. 정의

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불완전 감마 함수에서 $$b=0$$인 경우에 해당한다.
감마 함수와 같이 특수 함수로 묶이는 함수들은 정의가 접근 방향에 따라 여러 가지인데, 역시 제일 중요한 발원적 정의는 '계승 함수의 성질을 그대로 가지면서 [math(0)]보다 큰 영역에서 그래프가 아래로 볼록한 꼴인 함수'이다. 만족하는 함수꼴은 다음과 같다.

적분꼴 [1]	$$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}\mathrm{d}x$$
오일러 무한곱꼴	$$\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1n \right)^z}{1+\dfrac zn}$$
단순항꼴	$$\displaystyle \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)}$$
바이어슈트라스꼴	$$\displaystyle \Gamma(z)=\frac 1z e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn}$$

그렇게 안 보이지만 저 넷은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치 관계다. $$\displaystyle \prod$$는 계속 곱해나가라는 뜻이고, $$\gamma$$는 값이 $$0.577216...$$인 오일러-마스케로니 상수[2]다.

3. 역사

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오늘날에는 적분 꼴의 정의식이 가장 널리 알려져있지만, 역사적으로는 오일러 무한곱 꼴이 먼저 발견되었다.[3] 정의역이 [math(0)] 이상의 정수로 한정되어있던 팩토리얼을 실수로 확장하고자 하는 논의가 1720년대에 다니엘 베르누이[4]와 크리스티안 골드바흐[5]를 중심으로 이루어졌는데, 십년도 채 되지 않아 이 문제는 오일러에 의해 해결되었고, 1729년 10월 13일 오일러가 골드바흐에게 보낸 편지에 그 기록이 남아있다. 실제로 오일러 무한곱 꼴은 적분과는 무관하게 극한에 대한 고등학교 수준의 지식만 있으면 쉽게 유도할 수 있다.
먼저 $$\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}$$에 대해 $$k\to\infty$$일 때의 극한값을 구해보자. 해당 식은 다음과 같이 변형할 수 있으며

$$\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{k\left(1+\frac ik \right)\right\}}=\dfrac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle k^n \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)}=\dfrac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\frac ik \right)}$$

$$k \to \infty$$일 때 분자 분모가 각각 $$1$$로 수렴하므로 위 식은 $$1$$에 수렴함을 알 수 있다. 따라서 다음 식이 성립한다.

$$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{n!\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=n!$$

여기서 $$\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)=\frac{(k+n)!}{k!}$$이므로 위 식은 팩토리얼과 지수함수만으로 정리할 수 있다.

$$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{k!\,n!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}}=n!$$

그런데 $$\displaystyle \frac{(k+n)!}{n!}=\prod_{i=1}^k (i+n)=\prod_{i=1}^k \left\{ i \left(1+\frac ni \right)\right\} = k! \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right)$$, $$\displaystyle k+1 = \prod_{i=1}^k \frac{i+1}i = \prod_{i=1}^k \left(1+\frac 1i\right)$$이므로

$$\displaystyle n!=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{n!}} = \lim_{k \to \infty} \frac{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left( 1+\frac 1i \right)^n}{\displaystyle \cancel{k!} \prod_{i=1}^k \left(1+\frac ni \right)} = \lim_{k \to \infty} \prod_{i=1}^k \frac{\left(1+\dfrac 1i \right)^n}{1+\dfrac ni} = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\dfrac 1k \right)^n}{1+\dfrac nk}$$

가 되며 위 식에서 양변을 $$n$$으로 나눈 형태가 바로 오일러 무한곱꼴이다.
이후 반년도 채 되지 않은 1730년 1월 8일에 오일러는 골드바흐에게 다시 편지를 보내 다음과 같은 관계가 성립한다는 것을 보였다. 이것이 적분꼴로 정의된 팩토리얼의 최초 형태이며 부분적분을 이용하면 우변으로부터 좌변을 쉽게 유도할 수 있다.[6]

$$\displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t$$

$$-\ln t=x$$로 치환하면 $$t=e^{-x}$$, $$\mathrm{d}t=-e^{-x}\mathrm{d}x$$, $$\begin{cases} t \to 0 \Rightarrow x \to \infty \\ t \to 1 \Rightarrow x \to 0 \end{cases}$$이므로

$$\displaystyle n!=\int_0^1 \left(-\ln t\right)^n \mathrm{d}t = -\int_\infty^0 x^n e^{-x}\mathrm{d}x = \int_0^\infty x^n e^{-x}\mathrm{d}x \\ \therefore \Gamma(n)=(n-1)! = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x}\mathrm{d}x$$

19세기에 들어서, 가우스는 오일러 무한곱꼴을 다음과 같이 고쳐썼다.[7]

$$\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k!\,k^n}{\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)}$$

$$\displaystyle \prod_{i=0}^k (n+i)=\frac{(n+k)!}{(n-1)!}$$이므로 위 식은

$$\displaystyle (n-1)! = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \left(n-1\right)!\,k^n}{(n+k)!}$$

로 변형할 수 있는데 이는 오일러 무한곱꼴 유도할 때 처음에 썼던 극한값

$$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (k+i)}=\lim_{k\to\infty}\frac{\left(k+1\right)^n}{\dfrac{(k+n)!}{k!}}=\lim_{k\to\infty}\frac{k!\left(k+1\right)^n}{(k+n)!}$$

에서 분자의 $$\left(k+1\right)^n$$을 $$k^n$$으로 바꿔도 위 값이 여전히 $$1$$에 수렴함을 의미[8]하며, 오일러 무한곱꼴을 좀 더 간단하게 나타낸 형태라고 볼 수 있다.
바이어슈트라스는 복소수로 확장된 단순항꼴에서 오일러-마스케로니 상수를 묶어내어 또다른 무한곱꼴을 유도했는데, 사실 그는 양이 아닌 정수에서 극을 갖는 감마 함수를 꺼려하여 감마 함수의 역수 $$\dfrac 1{\Gamma(z)}$$에 대한 무한곱꼴을 유도했던 것으로 알려져 있다. 물론 굳이 역수를 취하지 않아도 도출해 낼 수 있으며, 이 아이디어에 착안하여 그는 바이어슈트라스 곱 정리를 증명하는 데에 이른다.

$$\begin{aligned} \displaystyle \Gamma(z)&=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=0}^n (z+i)}=\lim_{n\to\infty}\frac 1z \frac{n!\,n^z}{\displaystyle \prod_{i=1}^n (z+i)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{n!\,e^{\ln n^z}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left\{ i \left(1+\dfrac zi \right) \right\}} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{\cancel{n!}\,e^{z \ln n}}{\displaystyle \cancel{n!} \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}=\lim_{n\to\infty}\frac 1z \frac{e^{z\ln n}}{{\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n e^{\frac zi}}}\frac{{\displaystyle \prod\limits_{i=1}^n e^{\frac zi}}}{{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)}}=\lim_{n \to \infty} \frac 1z \frac{e^{z \ln n}}{e^{z \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i}} \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{\frac zi}}{\displaystyle \prod_{i=1}^n \left(1+\dfrac zi \right)} = \lim_{n \to \infty} \frac 1z e^{z \left( \ln n - \sum\limits_{i=1}^n \frac 1i \right)} \prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac zi}}{1+\dfrac zi} \\ &= \frac 1z e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac zn}}{1+\dfrac zn}\end{aligned}$$

4. 성질

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감마 함수는 팩토리얼의 상위호환격 함수이기 때문에, 팩토리얼의 성질을 모두 가지고 있다.

$$\Gamma(n)=(n-1)!$$ ($$n$$이 자연수일 경우)

$$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$$

$$\Gamma(1)=1$$

다만 [math(0)]과 $$1$$ 사이의 계산에는 감마 함수의 정의에 있는 적분을 계산해야 하며, 음수로 가면 더욱 골치 아파진다.[9] 아래 그래프에도 나와 있겠지만 양이 아닌 정수에서는 감마 함수가 정의되지 않는데, 이는 $$(-1)!\times 0=0!$$을 만족하는 $$(-1)!$$의 값이 존재하지 않기 때문이다. 좌변은 [math(0)], 우변은 $$1$$이므로 얄짤없이 모순이다. $$(-1)!$$이 없으므로, 당연히 그보다 작은 정수의 계승 또한 존재하지 않는다.
$$[-5,\,5]$$ 범위의 감마 함수 그래프
예를 들어, $$\Gamma(1+3)=3!=3\times 2\times 1=6$$, $$\Gamma(1+5)=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$으로 양의 정수를 넣었을 때는 모두 양의 정수이지만, 소수인 $$1.5$$를 넣으면 $$\Gamma(1+1.5)=1.5!=\dfrac 34 \Gamma\left(\dfrac 12 \right)=\dfrac 34 \sqrt\pi\approx 1.32934$$인 무리수가 된다.
$$i!=\Gamma(1+i)\approx 0.4980-0.1549i$$
복소수에 대한 감마 함수는 이렇게 정의된다. 오일러의 공식에서 유도할 수 있다.
정규분포나 제타 함수와도 관련이 있다. 변수를 치환하거나 특정 연산을 취하면 결과로 튀어나온다.

4.1. 반사 공식

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정수가 아닌 $$z$$에 대하여, $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin\,(z\pi)}$$

$$z=\dfrac 12$$을 기준으로 '''반사'''시켜서 나오게 된 이름이다. 복소적분을 이용해서 유도할 수 있다. 복소해석을 사용하지 않는 증명

4.2. 르장드르의 2배 공식

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$$\Gamma(2z)=\dfrac{2^{2z-1}}{\sqrt\pi}\Gamma(z)\Gamma\biggl(z+\dfrac 12 \biggr)$$

말 그대로 '''2배''' 공식이다. 마치 삼각함수의 배각 공식과 비슷한 맥락이라 생각하면 된다.

4.3. 스털링 공식

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감마 함수 자체는 기본적인 초등함수로 나타낼 수 없지만, 만일 z의 값이 커질 경우 다음과 같은 형태로 근사시킬 수 있다.

$$\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\dfrac ze\right)^z$$

$$z$$가 한없이 커질수록 점점 원래 함수에 가깝게 된다. 점근 급수(Asymptotic series)에 대해 참조해 볼 것.
위 식을 잘 이용하면
$$\ln N!=N\ln N-N+O(\ln N)$$
임을 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔이 증명해냈다.

5. 미적분

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$$\ln\Gamma(z)$$의 $$n$$계 도함수들을 폴리감마 함수(Polygamma Functions)라고 하며, 많은 서적들에서는 보통 $$\psi_n(z)$$으로 표기한다.

$$\psi_n(z)=\dfrac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}z^{n+1}}\ln\Gamma(z)$$

특히

[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi(z) &\equiv \psi_0(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \\
\psi_1(z) &= \dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}z^{2}} \ln\Gamma(z) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \biggl(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln\Gamma(z)\biggr) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\psi(z)
\end{aligned} )]

[1] 적분꼴은 $$z$$의 실수부가 양수일 때만 수렴하는 이상 적분이나, 밑의 세 식은 $$z$$가 [math(0)] 이하의 정수가 아니면 무조건 수렴한다.

[2] 간단히 말하면 $$\dfrac 1x$$ 함수 아래의 넓이와 직사각형들 넓이의 합의 차다. 참고로 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 아직도 밝혀내지 못했다.

[3] 이때까지만 해도 정의역은 [math(0)]이 아닌 실수 $$n$$이었으나, 추후 연구를 통해 복소수로 확장할 수 있다는 점이 밝혀지게 된다.

[4] 베르누이 정리의 그 베르누이 맞다. 베르누이 수열을 발견한 야콥 베르누이와는 다른 인물이다.

[5] 역시 골드바흐 추측의 그 골드바흐이다. 오일러와 친했던 것으로 알려져 있다.

[6] 물론 당시 오일러는 편지에서 지수함수의 적분에 대한 특징과 극한, 로피탈의 정리를 통해 유도하는 방식으로 증명했다.

[7] $$n$$에 $$z$$를, $$k$$에 $$n$$을 대입해보면 알 수 있듯이 아래 식은 감마 함수의 단순항꼴이다.

[8] 상술한 극한값 증명 과정에서 분자를 $$k^n$$으로 바꿔보면 바로 알 수 있다.

[9] 음수의 감마 함수 그래프는 $$1$$ 간격으로 종유석과 석순을 교대로 그린다고 생각하면 된다.

를 각각 다이감마 함수(Digamma function), 트라이감마 함수(Trigamma function)라고 하고, 다이감마 함수의 식으로부터 감마 함수의 도함수를 도출할 수 있다.

$$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi(z)$$