에탈 코호몰로지
1. 개요
에탈 코호몰로지란 코호몰로지의 일종으로 역사적으로 베유 추측을 증명하기 위해서 정의되었다.
2. 비전공자들을 위한 소개
코호몰로지란 정말로 대충 말해서 대수적인 조각을 뜻한다. 원을 생각해보자. 원을 분석하는데 원은 삼각형으로 변형할 수 있고, 이 삼각형이 어떤 성질을 가지는지에 따라서 원의 성질도 같이 알아낼 수 있다. 여기에서 알아낼 수 있는 삼각형의 성질은 "안이 뻥 뚫려 있다"는 것이고, 이는 그 삼각형을 boundary로 하는 어떤 도형이 없음으로 알 수 있다. (간단히 삼각형 안을 가득 채운 걸 생각하자. 그것이 (가장자리만 있는) 원 안에 들어가는가??) 여기에서 simplicial object가 자연스럽게 등장하며, 모든 cohomology는 본질적으로는 이런 simplicial object를 계산하는 것으로 나온다.
그러니까 simplicial object는 "어떤 도형의 대수적 조각"이라고 생각하면 되고, cohomology는 그런 simplicial object를 각각의 level에 따라서 어떻게 생겼는지 보는 도구라고 보면 된다.
에탈 코호몰로지란, 그런 코호몰로지를 우리가 잘 아는 실수에 대한 것이 아닌 임의의 field 위에서 정의한 것이다.
3. 소개
보통 대수기하를 할 때는 sheaf cohomology를 쓴다. 하지만 이것은 조금의 문제점이 있는데, Zariski topology가 원래 너무 open set이 적다는 것이다. 이것이 왜 문제냐면 quasi-coherent sheaf라면 문제 없는데 그 외의 sheaf. 예를 들면 constant sheaf일 때 우리가 보통 알고 있는 상식하고 너무 동떨어진다는 것이다.
정수론에서 무언가를 하려면 Galois group을 건드려야 한다. Galois group을 cohomology로 건드리려면 constant sheaf. 적어도 constructible sheaf가 필요한데, sheaf cohomology는 Zariski topology는 그 자체로는 local하게 대수학적인 무언가를 전혀 건드리지 못 하므로 Galois group을 전혀 건드리지 못 하고, 이는 locally constant sheaf에 대해서 반드시 cohomology가 0이어야 한다는 결과를 내놓는다.
이것을 수정하게 위해서 Galois group을 어떻게든 반영하는. 그러니까, constant sheaf에 대해서도 0이 아닌 cohomology를 만들어야 하는데, etale morphism이라는 Galois extension의 대수기하 버전을 만들고 그렇게 Galois cohomology의 정의를 그대로 모방해 만든 것이 etale cohomology다.
4. 정의
$$ X,Y$$가 스킴이라고 하자. 그렇다면 $$f:Y\to X$$가 flat morphism이라는 것은 모든 $$y\in Y$$에 대해서 $$\mathcal{O}_{Y,y}$$가 flat $$\mathcal{O}_{X,f(y)}$$-module이라는 것이다.
이것을 어떻게 이해하면 좋을까?? flat이란 대충 말해서 "모든 부분이 부드럽게 같음"을 의미한다. 예를 들면 생각할 부분이 딱 한 점밖에 없는 field에 대해선 모든 field extension $$L/K$$에 대해서
:$$\mathrm{Spec}\,L\to \mathrm{Spec}\,K$$
는 flat morphism이고, 조금 더 기하학적으로 $$k$$가 field일 때
:$$\mathrm{Spec}\,k[x,y,t]/(xy-t)\to \mathrm{Spec}\,k[t]$$
역시 flat morphism이다. 오른쪽은 그냥 직선, 왼쪽은 반비례곡선들의 family를 뜻하는데, $$t=0$$에서도 반비례곡선이 두 개의 직선으로 나누어질언정 fibre의 차원은 1로 바뀌지 않는다.
이는 중요한 의미를 가지는데, 바로 Grothendieck topology를 생각할 때 우리가 직관적으로 생각할 수 있는 가장 loose한 topology를 만들 수 있기 때문이다.
$$f:Y\to X$$가 faithfully flat이라는 것은 f 가 flat morphism 이고 surjective 라는 것이다. 모든 flat local homomorphism 은 faithfully flat 이므로 이는 $$y\in Y$$에 대해서 $$\mathcal{O}_{Y,y}$$가 faithfully flat $$\mathcal{O}_{X,f(y)}$$-module이라는 것을 의미한다.
이를 생각하면 다음을 정의할 수 있는데, $$f:_{\alpha}:U_{\alpha}\to X$$라는 family of morphism of schemes를 생각하자. 그렇다면 이것이 fpqc covering이라는 것은
:$$\bigcup_{\alpha}f_{\alpha}(U_{\alpha})=X$$
as topological space고 각각의 $$f_{\alpha}$$가 faithfully flat이고 quasi-compact라는 것이다. 그리고 이것으로 만들어지는 topology를 fpqc topology라고 하자.
다음 정리를 보자.
:$$f:A\to B$$가 두 ring 사이의 faithfully flat morphism일 때
[image]
는 exact sequence가 된다.
이것의 증명은 그냥 아무데나 찾아보면 있으므로 잘 찾아보길 바란다... 이것은 simplicial argue로 생각한다면 훨씬 더 직관적으로 와닿을 것이다.
이제 어떤 site $$X_{\tau}$$가 있을 때 여기 위에 sheaf를 다음과 같이 정의하자. 그 site의 covering들로 만들어지는 category를 $$\mathcal{C}$$라고 하자. 그렇다면 functor $$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \mathrm{Ab}$$가 sheaf란 것은 그 site의 모든 covering $$U_{\alpha}\to X$$에 대해서
[image]
가 exact. 여기에서 첫번째는 $$s\mapsto \left(s|_{U_{\alpha}}\right)_{\alpha}$$고, 두번째는 $$(s_{\alpha}|_{U_{\alpha}})_{\alpha}\mapsto \left(s|_{U_{\alpha}\times_{X}U_{\beta}}-s_{\beta}|_{U_{\alpha}\times_{X}U_{\beta}}\right)_{\alpha,\beta}$$다.
이렇게 정의한다면 자동으로 cohomology도 정의할 수 있게 된다. 어차피 저 covering들은 모두 하나하나가 scheme이니까 그 site에 대한 topos를 $$ \mathrm{Sh}(X_{\tau})$$라고 하면 ($$\tau$$는 site라고 하자.) 이는 abelian category가 되고, enough injective다. 어쨌든 big Zariski topos의 full subcategory니까. 따라서 global section functor의 derived functor를 생각할 수 있고, 비슷하게 Cech cohomology도 정의할 수 있다. 이 때, 위의 정리와 derived functor-Cech spectral sequence로 다음을 알 수 있다. (또는 개인적인 생각이지만 Hartshorne의 3.4단원의 main theorem 증명이랑 똑같이 해도 될 것 같다.)
Zariski topology보단 finer하고 fppf topology보단 coarser한 site $$X_{\tau}$$에 대해서
:$$H^i_{Zar}(X,\mathscr{F})=H^i_{\tau}(X,\mathscr{F})$$
다. 여기에서 $$\mathscr{F}$$는 X 위에서 quasi-coherent sheaf다. 이것의 증명의 개요는 먼저 first cohomology에 대해서 증명한 다음에 spectral sequence로 cohomology의 degree를 늘리는 수학적 귀납법을 쓰면 된다.
여기에서 quasi-coherent sheaf는 functor of points로 자연스럽게 $$\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}}_{X}\longrightarrow \mathrm{Ab}$$로 extend할 수 있고, fpqc topology에서 sheaf가 된다는 정리가 있다. (증명은 cohomology의 같음을 증명할 때와 비슷하다.)
아, fppf란 저저기 fpqc topology의 정의에서 faithfully flat and quasi-compact를 quasi-finite,flat and of finite presentation으로 조건을 바꾸면 된다. 이는 직관적으로 기하학적으로 잘 맞게 U가 X 위의 그냥 finite field extension이란 직관을 가지고 있다. 이렇게 바꾸는 이유는, fpqc는 너무 커서 sheafification이 없을 수도 있기 때문에.
fpqc topology란 "기하학으로써 당연히 가져야 하는 소양"에 가깝다. 기하학이라면 당연히 잘 붙어야 하며, 교집합이 잘 되어야 하고, 어쨌든 우리가 잘 아는 여러가지 set-theoric한 것들이 잘 되어야 할 것이다. fpqc란 바로 그런 조건을 말한다.
이제 unramified morphism을 설명하자, 두 local ring 사이 morphism $$f:A\to B$$에 대해서 이것이 unramified란 것은 maximal ideal을 maximal ideal로 옮기고, 이걸로 induce되는
$$A/\mathfrak{m}_{A}\to B/\mathfrak{m}_B$$
가 finite separable extension이라는 것이다. scheme으로 옮겨서 $$f:Y\to X$$가 unramified라는 것은 각각에 대한 local ring들의 morphism이 모두 unramified라는 것이다.
이것에 대해선 유용한 criterion이 있는데, 바로 relative differential인 $$\Omega^1_{Y/X}$$가 0이라는 것이다!! 이것은 프렐라이에도 있는 characteristic 0일 때 모든 field extension이 separable이라는 것의 증명을 그대로 따라한다. 그리고 이것으로 $$f:Y\to X$$가 unramified라는 것은 다음과 같은 diagonal
$$Y\to Y\times_{X}Y$$
가 open immersion이라는 것하고 동치임도 쉽게 알 수 있다.
unramified morphism은 보면 알겠지만, "separable extension"을 뜻한다. 바로 Galois extension에서 필요한 그것이다!! normal extension도 있어야 할 것 같지만, 우리에겐 이것만 필요하다. 왜냐하면 separably closed field를 생각하듯 생각할 거니까
이제 $$f:Y\to X$$가 etale이란 것을 flat이고 unramified인 걸로 정의하자. 그리고 $$f_{\alpha}:U_{\alpha}\to X$$가 etale covering이란 것은 각각 합집합이 X고 각각이 모두 etale일 때를 뜻한다. 그렇다면 우린 etale cohomology를 정의할 수 있다.
한 가지 etale cohomology의 예를 들어보자. $$\mathrm{Spec}\,A\to \mathrm{Spec}\,K$$가 etale morphism일 때, A는 finite separable extension of K의 finite direct product여야 한다. 이를 생각하면 $$ \mathrm{Spec}\,K$$ 위의 sheaf는 K 위의 vector space고 etale이란 말이 붙으면 여기에다가 Galois action이 더 있어야 하니 Galois cohomology의 정의를 그대로 따라하면
$$H^i_{et}(\mathrm{Spec}\,K,V)=H^i(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),V)$$
가 된다.
또 한 가지 예를 들면, fpqc topology 할 때 얻은 걸로 바로
$$H^1_{et}(X,\mathcal{O}_X)=H^1_{Zar}(X,\mathcal{O}_X)=\mathrm{Pic}(X)$$
를 얻을 수 있다. 이를 Hilbert theorem 90이라고 한다.
4.1. 계산
etale cohomology는 본질적으로 Galois cohomology를 fpqc topology로 붙힌 것이고, 따라서 Galois cohomology를 먼저 계산해야 etale cohomology를 계산할 수 있다.
first cohomology는 여러가지 직관이 있는데, 그 중에서 가장 쉽게 만들 수 있는 직관이 어떤 group으로 act되는 class를 분류할 때 그 class들의 automorphism들의 group이 모두 똑같으면 first cohomology를 쓸 수 있다는 것이다. (이는 본질적으로 Cech nerve에서 온다.) 예를 들면 Skolem-Noether theorem에 의하면 K가 field면
$$\mathrm{Aut}_{K-\mathrm{algebra}}(M_{d}(K))=\mathrm{PGL}_{d}(K)$$
고, A가 (unital, associative) K-algebra일 때 이것이 finite simple K-algebra일 필충은
$$ A\otimes_{K}K^{\mathrm{sep}}=M_{d}(K^{\mathrm{sep}})$$
인 것이다. finite simple K-algebra 사이 similarity를 적당한 m,n이 있어서
$$M_{m}(A_1)=M_{n}(A_2)$$
인 것으로 생각하자. 그렇다면 group law를 tensor product로 한 K의 finite simple K-algebra들의 group인 Brauer group $$\mathrm{Br}(K)$$를 생각할 수 있고, 덤으로 다음과 같은 isomorphism
$$Br(K)\longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})$$
를 얻을 수 있다. 그리고
$$0\to (K^{\mathrm{sep}})^*\longrightarrow \mathrm{GL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\longrightarrow\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\to 0$$
이라는 exact sequece를 생각하고 long exact cohomology sequence를 쓰면
$$Br(K)\longrightarrow H^2(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),(K^{\mathrm{sep}})^*)$$
란 isomorphism을 얻을 수 있다.
비슷하게, X가 quasi-projective일 때, 다음을 얻을 수 있다.
$$ Br(X)\longrightarrow H^2_{\mathrm{\acute e t}}(X,\mathcal{O}_X)$$
Brauer group은 Azuyama algebra라는 것으로 정의하며, 대충 비슷비슷하게 정의한다. 그렇다면 이것은 isomorphism이 된다.
이제 Tsen's theorem을 설명할 텐데, 먼저 다음을 정의하자.
field K가 $$C_r$$이라는 것은 모든 n과 $$0<d^r<n$$에 대해서 $$f\in k[x_1,\cdots,x_n]$$가 homogenous degree d일 때 적당한 $$(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in K^n$$가 있어서 $$f(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=0$$인 것이다.
먼저 K가 algebraically closed field일 때는 이것이 $$C_1$$라는 것이 그냥 weak nullstallensatz다. 그리고 이것보다 더 강력한 정리가 성립하는데, 바로 Tsen's theorem이라는 것이다.
algebraically closed field k 위의 (integral, separated, dim. 1인) curve의 function field (그냥 generic point에서 local ring)는 $$C_1$$다.