영 부등식

1. 개요

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$$1/p+1/q=1$$일때, $$ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$가 성립한다.(등호는 $$a^p = b^q$$일때만 성립)
횔더 부등식을 증명할 때 이용된다.

2. 증명

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젠센 부등식이 사용되니 참조.

$$\ln(\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})$$에서 자연로그함수는 오목함수이니 젠센 부등식을 이용하면 $$1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q)$$보다 큼을 알 수 있다.

로그법칙에 의해 $$1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) = \ln{a}+\ln{b}$$이다. 즉,

$$1/p\ln(a^p)+1/q\ln(b^q) \geq \ln{a}+\ln{b}$$이다.

$$\therefore ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$