횔더 부등식

 

1. 개요
2. 증명
3. 활용
3.1. 민코프스키 부등식
3.2. 쌍대관계
3.3. Lp 노름끼리의 비교


1. 개요

수학자 오토 루트비히 횔더(Otto Ludwig Hölder)의 이름을 딴 절대부등식으로, 그 진술은 다음과 같다.
보통 이게 나오는 해석학에서는 2의 형태가 보통이지만, 수학경시대회를 하는 중고등학생에게는 1의 형태가 더 친숙할 수 있을 것이다. 측도에 대해 익숙하지 않다면 $$dx$$에 대한 일반적 적분으로 생각해도 무관하다. 편의성을 위해 모든 적분에서 측도 $$\mu$$ (혹은 $$dx$$) 표기를 생략하였다.
'''횔더 부등식'''(Hölder's inequality)
양수 $$p, q$$가 $$1/p+1/q=1$$을 만족할 때, 다음이 성립한다.
1. (이산적인 경우) 양수 $$a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$$에 대해
$$ \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^p \right)^{1/p} \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^q \right)^{1/q} \ge \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)$$
2. (일반적 측도공간에서) 두 가측인(measurable) 양함수 $$ f \in L^p(\mu), g \in L^q(\mu)$$에 대해 $$ f g \in L^1(\mu)$$이고, 다음이 성립한다.
$$ \left( \int f^p \right)^{1/p} \left( \int g^q \right)^{1/q} \ge \int f g $$
위 부등식의 조건 $$1/p+1/q=1$$을 만족하는 양수 $$(p,q)$$를 '''횔더 켤레'''(Hölder conjugate)라 부른다. 이 문서의 $$(p,q)$$는 항상 횔더 켤레로 가정한다. 간혹 $$(p,q)=(1,\infty)$$를 횔더 켤레로 취급하는 경우도 있지만 이 문서에선 양수 경우만을 생각한다.
이 부등식의 주인공인 $$L^p$$-노름은
$$ \|f\|_p = \left( \int |f|^p \right)^{1/p} $$
로 정의되고, $$L^p$$-공간 $$L^p(\mu)$$은 이 값이 유한한 함수들의 집합으로 정의된다. 횔더 부등식을 $$L^p$$ 노름을 이용해 서술하면 다음과 같다.
$$ \|f \|_p \|g \|_q \ge \|f g \|_1 $$
해석학에서의 횔더 부등식은 "$$L^p$$ 노름과 공간에 의미를 부여하는 부등식"으로 간주된다. 우선 저 $$L^p$$ 노름이 잘 정의된 노름인지 증명하는 민코우스키 부등식(Minkowski's inequality) 부터 횔더 부등식이 필요하다. 그 다음으로 살펴볼 수 있는 의미는 $$L^p$$ 공간과 $$L^q$$ 공간 사이에 자연스러운 쌍대관계가 있다는 것이다. 더욱 나아가서는 횔더 켤레가 아닌 지수들에 대해서도 $$L^p$$ 노름 사이를 비교할 수 있으며, 편미분방정식을 하드코어하게 파다 보면 수많은 $$L^p$$ 노름들이 튀어나오는 만큼 상징적인 의미 뿐만이 아니라 실전에서도 자주 쓰인다.
코시-슈바르츠 부등식이 이 부등식에서 $$p=q=2$$인 특수한 경우이고, 이 부등식의 실제 활용도도 어찌 보면 코시-슈바르츠랑 유사한 면이 있다. 다만 코시-슈바르츠 부등식은 $$p=q$$, 즉 자기 자신이 쌍대공간이 되는(즉 힐베르트 공간이 되는) 더욱 축복받은 조건을 준다는 차이가 있다.
경시대회를 준비하는 학생들은 여기까지 가기보다는 부등식 문제를 증명할 때 지수가 2가 아닌 경우 합의 최적화 등으로 많이 써먹을 것이다.

2. 증명

'''영 부등식'''(Young's inequality)
음이 아닌 실수 $$a,b$$에 대해 $$\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \ge ab $$가 성립한다. 등호는 $$a^p = b^q$$일 때 성립한다.
를 이용한다.
만약 $$ \|f\|_p = \|g\|_q = 1$$이라면 이 보조정리로 다음과 같이 증명할 수 있다.
$$ \int f g \le \int \frac{f^p}{p} + \int \frac{g^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1 $$
일반적인 경우에는 $$f$$와 $$g$$의 상수배를 생각한다. $$f_1 = f / \|f \|_p$$, $$g_1 = g / \|g\|_q$$로 잡으면 $$ \|f_1\|_p = \|g_1\|_q=1$$이므로 위의 경우를 적용할 수 있고, $$L^p$$ 노름은 상수배를 보존하므로 증명된다. $$\|f\|_p=0$$인 경우는 $$f=0$$(물론 측도론적인 의미에서)밖에 없으므로 양변이 모두 [math(0)]이어서 성립.
이산적인 경우 증명은 적분을 합으로 바꿔서 똑같이 하면 된다.

3. 활용


3.1. 민코프스키 부등식

'''민코프스키 부등식'''(Minkowski's inequality)
함수 $$f,g \in L^p$$에 대해 $$ f+g \in L^p$$이고, 부등식 $$ \|f +g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$$ 이 성립한다.
딱 보면 알겠지만 $$L^p$$ 노름에 대한 삼각부등식이다. 즉 $$L^p$$ 노름이 잘 정의된 노름이 되도록 하는 부등식이기 때문에, 이 부등식이 없으면 $$L^p$$ 공간을 자연스럽게 생각하기도 힘들다.
증명은 다음과 같다. 다음 등식
$$ (f+g)^p = (f+g)(f+g)^{p-1} = f(f+g)^{p-1} + g(f+g)^{p-1}$$
에서 횔더부등식을 다음처럼 적용한다.
$$ \int f (f+g)^{p-1} \le \|f\|_p \|(f+g)^{p-1} \|_q $$
한편 횔더 켤레의 동치조건인 $$pq=p+q, p/q=p-1$$을 활용하면 다음을 알 수 있다.
$$ \|(f+g)^{p-1} \|_q = ( \int (f+g)^{q(p-1)} )^{1/q} =( \int (f+g)^p )^{1/q} = \|f+g\|^{p/q} $$
정리하면 다음 결과가 나오고, 양변을 약분하면 증명된다.
$$ \|f+g\|_p^p \le (\|f\|_p + \|g\|_p ) \|f+g\|^{p-1} $$

3.2. 쌍대관계

횔더 켤레 $$(p,q)$$에 대해서 $$L^p$$ 공간의 쌍대 공간은 $$L^q$$로 자연스럽게 주어진다. 이를 엄밀히 서술하면 다음과 같다.
'''리츠 쌍대성'''(Riesz duality)
$$L^p$$ 공간에서 실수로 가는 연속 선형함수, (즉 continuous functional) $$ l : L^p(\mu) \rightarrow \mathbb{R} $$은, 함수 $$g \in L^q$$에 대해 $$ l(f) = \int f g $$로 유일한 방식으로 나타낼 수 있다.
즉 $$(L^p)^{*} \simeq L^q $$가 성립한다. $$p,q$$를 서로 바꾸면 $$(L^q)^{*} \simeq L^p$$이므로, $$((L^p)^{*})^{*} \simeq L^p $$가 성립하는 반사적(reflexive) 공간임도 확인할 수 있다. 물론 이는 $$1<p<\infty$$ 한정으로, $$L^1$$은 reflexive가 아니다.

3.3. Lp 노름끼리의 비교

확률공간의 경우 (즉 전체 측도가 1인 경우) 횔더 부등식을 이용하면 $$L^p$$-노름이 $$p$$에 대한 단조증가라는 사실을 보일 수 있다. 멱평균 부등식 혹은 평균부등식이라는 이름으로 부르기도 하지만 정식 명칭은 아니다. 증명은 항목 참조. 즉 확률공간의 경우 $$L^p$$ 공간 사이에는 자연스러운 포함관계가 성립된다.
한편 횔더 부등식을 활용하면 $$ \log \| f \|_p$$는 $$1/p$$에 대한 볼록함수라는 사실을 증명할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
$$\| f\|_{(\lambda p_1^{-1} + (1-\lambda) p_2^{-1})^{-1}} \le \| f\|_{p_1}^{\lambda} \|f\|_{p_2}^{1-\lambda} $$
즉 확률공간이 아니더라도 $$p_1, p_2$$ 노름만 주어져도 지수가 그 사이일 때 비교를 할 수 있다. 이것을 작용소 버전으로 다룬 리츠 보간 정리(Riesz interpolation theorem) 등등의 결과처럼, 서로 다른 $$L^p$$ 노름을 비교할 때 횔더 부등식이 실전에서 쓰이곤 한다.

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