유수

1. 개요

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유수(Residue[1])란 복소해석학에서 통용되는 수학적 용어이다.

2. 설명

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2.1. 고립 특이점

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$$z = z_0$$가 함수 $$w = f(z)$$의 고립특이점이면 $$0< \mid z - z_0 \mid< R$$인 모든 $$z$$에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여 $$f(z) =\displaystyle \sum^{\infty}_{n = -\infty}a_n(z - z_0)^n$$, $$0< \mid z - z_0 \mid< R$$와 같이 나타낼 수 있고, 곡선 $$C$$가 $$z_0$$의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수 $$a_n$$은 $$a_n =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{\left(z - z_0\right)^{n + 1}}dz$$이다.
특히 $$a_n$$에서 $$n = -1$$일 때 계수 $$b_1 = a_{-1} =\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C}f(z)dz$$를 고립특이점 $$z = z_0$$에서 $$f(z)$$의 '''유수'''라 하고 이것을 보통 '''$$b_1 = Res[f, z_0]$$'''와 같이 표시한다. 만약 $$z = z_0$$가 $$f(z)$$의 없앨 수 있는 특이점이면 $$Res[f, z_0] = 0$$이다. 그런데 $$z_0$$이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.

2.2. 무한대

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3. 유수 정리

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함수 $$f(z)$$가 단일 닫힌곡선 $$C$$의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 $$ z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n$$을 제외하고 $$C$$의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 $$ z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n$$에서 유수가 $$Res[f(z), z_k]$$이면 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k]$$

증명

각 특이점 $$z_1, z_2, z_3, \centerdot\centerdot\centerdot, z_n$$을 중심으로 하고, $$C$$의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각 $$C_1, C_2, \centerdot\centerdot\centerdot, C_n$$을 나타내고, 각 원의 방향을 $$C$$와 같은 방향으로 하면 코시의 적분공식에 의하여 $$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = \int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz + \centerdot\centerdot\centerdot + \int_{C_n}f(z)dz$$이다. 여기서 $$z = z_k, k = 1, 2, \centerdot\centerdot\centerdot, n$$에 대한 유수의 정의를 적용하면 $$Res[f(z), z_k] = \displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{C_k}f(z)dz$$이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다. $$\displaystyle \int_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k]$$

무한대에서는 $$\displaystyle \sum^{n}_{k = 1}Res[f(z), z_k] + Res(f(z), \infty)$$로 간략하게 표현할 수 있다.

[1] '레지듀(...)'다.