복소해석학

Complex Analysis

1. 개요

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복소수 위에서의 함수의 미적분과 관련된 성질을 다루는 수학의 한 분야. 형식적으로는 해석학의 하위분야라고 볼 수도 있겠지만, 다변수 해석학과는 상당히 다른 독자적인 내용으로 인해 별도의 분야로 취급받는다.
복소해석학의 주 대상인 '''복소함수'''(function of complex variable)는 정의역과 치역이 모두 복소수인 함수이고, 이 복소함수의 미분은 마치 실함수처럼 $$h \rightarrow 0$$일 때의 $$(f(z+h)-f(z))/h$$ 의 극한으로 정의한다. 물론 사용된 연산들은 모두 복소수의 연산이고, h가 복소수 범위 내에서의 극한이기 때문에 생각보다는 미분이 까다롭다. 예를 들어서 $$z$$에 대한 다항식들은 여전히 복소미분 가능하지만, $$ f(z) = \bar{z} $$ 라는 함수는 0점에서 $$ \lim f(\epsilon)/\epsilon $$ 과 $$ \lim f(\epsilon i)/(\epsilon i) $$ 의 극한이 1과 -1로 서로 다르므로 복소미분이 불가능하다.
복소함수가 주어진 점 근방에서 미분가능하면 그 점에서 '''정칙'''(holomorphic) 또는 '''해석적'''(complex analytic)이라 부른다. 고작 미분가능한 함수한테 저런 고급스러운 이름을 붙여주는 것은 실해석학을 공부하다 처음 온 사람들에게는 도저히 이해가 되지 않을 것이다. 하지만 여기서는 '''정칙함수는 몇 번이고 미분가능하며 테일러 급수전개도 항상 가능한''' 최상급의 성질을 가진다는 반전이 있다. 이외에도 정칙함수는 경계값에 따라 내부값이 유일하게 결정된다던지[2], 제한적으로 '인수분해'가 가능하다던지 등등의 신비한 성질들을 갖고 있다. 실해석학에서 끝없이 반례를 들고나와 불신을 안겨주었던 실함수와는 다르게, 심지어는 다항식에 비벼볼 정도로 좋은 성질을 가진 복소 정칙함수는 힐링을 주는 느낌마저 든다. 이런 정칙함수의 특성으로 인해 복소해석학은 단순한 2변수 해석학과 차별화되는 길을 걷게 된다.[3]
정칙함수의 정체성 중 다른 하나는 (축소가능한) 닫힌 경로에서 복소선적분을 하면 0이 된다는 성질이고, 반대로 닫힌 경로에서 선적분이 0이면 정칙함수가 된다. 이는 복소평면 위에서 경로를 자유자재로 움직이며 원하는 적분값을 얻어내는 것에 쓰인다. 이 활용법이 복소함수의 좋은 성질과 결합되어, 복소해석학은 많은 곳에서 '''(1) 실수함수의 구멍을 메꾸어 주어 어려운 계산을 가능하게 하는 역할'''을 맡게 된다. 예를 들어서 $$ \sin(z) =\displaystyle{ z \prod_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2})} $$ 등의 함수식을 증명한다든지, $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$$ 같은 이상적분을 유수 하나로 퉁치고 넘어간다던지 등등, 실수만 갖고는 하기 힘든 많은 일을 할 수가 있다.[4]
한편 기하학의 관점에서 보면 복소해석함수는 각을 보존하는 등각 사상(conformal mapping)으로서의 의미와 동치이다. 덕분에 복소해석학은 '''(2) 2차원 곡면의 기하학적 구조를 설명하는 역할'''을 맡을 수 있다. 등각사상을 정칙함수로 해석하여 복소해석학은 리만 사상 정리(Riemann mapping theorem) 등 많은 결과를 내고 결국에는 모든 2차원 곡면의 기하학적 구조를 구면기하, 평면기하, 쌍곡기하 세 가지로 분류하기에 이르렀다(uniformization theorem). 이는 나중에 일반화되어 푸앵카레 추측과 Thurston의 기하화 추측(geometrization conjecture)까지 이어지는 유서깊은 문제가 된다. 현실적으로 uniformization은 편미분방정식을 풀 때 주어진 공간을 등각사상으로 쉽게 변형해서 거기서 미분방정식을 푸는 식으로 활용된다.
이러한 이유로 복소해석학은 그 자체로 일반화되어 수많은 분야를 낳기도 하고, 실해석학, 푸리에 해석, 해석적 정수론 등의 분야에 활용되어 왔다.
정칙함수의 복소변수가 둘 이상인 경우를 생각하는 다변수 복소함수론(several complex variables)도 있다. 다만 2차원 이상에서는 그 유명한 리만 사상 정리가 성립되지 않는다. 사실 2차원 이상에서는 서로 쌍정칙 하지 않는 유계영역들이 무수히 많이 존재하게된다. 이 원인을 연구하기 위해 많은 학자(알포스)들이 미분기하학을 이용하게 되는데, 이는 나중에 복소(해석)기하라는 학문으로 발전하게 된다.

2. 주제와 사고방식

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2.1. 복소해석함수의 성질

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• 코시-리만 방정식 : 복소평면의 열린집합상에서 정의된 연속함수가 해석적이기 위한 필요충분조건을 나타낸다. 또한 복소함수의 특징상 일부 영역에서 해석적이라면 일부 특이점을 제외한 복소평면 전체에서 해석적이 되기 때문에, 이 방정식을 이용하면 해석적이지 않은 특이점을 찾아내는 것도 가능하다.
• 루셰의 정리 : 복소평면 위에서 정의된 두 해석함수 $$f, g$$가 존재할 때, 특정 영역 내부에서 한 함수의 절대값이 항상 다른 함수보다 크다면, (즉 $$\left|f\right|>\left|g\right|$$) $$f$$와 $$f+g$$의 영점의 개수는 중복을 허가할 때 항상 같다. 라는 정리. 대수학의 기본정리의 풀이법중 하나다.
• 리우빌의 정리 : 복소평면 위에서 정의된 연속함수 $$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$$가 복소평면 전체에서 유계라면 이 함수는 상수함수가 된다.[5] 복소해석학에서 가장 아름다운 정리라고 불리며, 대수학의 기본정리를 증명하는 핵심 키가 된다. 조금 특이하게도 대수학의 기본정리는 대수학에 속하는 정리지만 대수학의 기술만으로 증명 가능한 초등적 증명이 불가능하며[6], 그 중에 가장 쉬운 증명방법이 바로 복소해석학의 기술인 리우빌의 정리를 이용하는 것이다.
• 피카르의 소정리 : 리우빌의 정리보다 강력한 정리. 복소평면 위에서 정의된 미분 가능함수 $$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}-\{A\}$$에서 $$f\left(z\right)=c, c\in\mathbb{C}$$가 서로 다른 c에 대해 근을 가진다고 하면,(즉 상수함수가 아니면) 치역에 속하지 않는 복소평면상의 점의 집합 $$\{A\}$$는 공집합이거나 원소가 하나뿐인 점집합이라는 정리다. 리우빌의 정리는 어디까지나 복소평면에서 유계인 상수함수만을 따지지만, 이 피카르의 정리는 복소평면상에서 유계가 아닌 전해석함수까지 모조리 포괄하는 강력한 조건. 여담으로 $$\{A\}$$는 본질적 특이점이며, 즉 본질적 특이점은 많아봐야 하나 뿐이라는 소리.[7]

2.2. 선적분과 유수(residue)[8]

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복소평면상의 두 복소수 $$z_{0}$$와 $$z_{1}$$를 잇는 경로는 무한히 많다. 벡터장의 적분을 경험해봤다면 알겠지만, 평면상에서의 선적분은 시작점과 끝점만이 아니라, 그 선택한 경로에 따라서도 적분값이 바뀌게 된다. 하지만 복소평면상에서 정의된 해석적 복소함수에는 한가지 중요한 성질이 존재하는데, 해석적 영역 내부에서는 경로를 어떻게 잡아도 $$z_{0}\to z_{1}$$의 선적분은 경로에 무관하게 시작점과 끝점에 의해서만 적분값이 결정된다. 벡터장의 '''보존적 벡터장'''과 비슷한 케이스.
이 성질을 결정하는 것은 적분경로가 모두 해석적인 영역일 때, 혹은 내부에 고립특이점[9]을 1개 이하로 지니고 있을 때인데, 이 특이점을 결정하는 것은 로랑 급수 전개로서 계산되는 '''유수'''다. 제거 가능한 특이점[10]이라면 유수는 0이기에 무시할 수 있다.
그렇다면, 위에서 언급한 $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$를 유수를 이용하지 않는 방법과 이용하는 방법으로 풀어보자. 계산상 생략한 부분(특히 유수를 사용하지 않는 부분에서의 부분적분법의 반복적용 부분)도 어느정도 존재하지만, 난이도상으로는 유수를 사용하는 쪽이 조금 더 쉽다.

유수를 이용하지 않는, 순수한 실해석학 방법만으로의 풀이

다음 함수를 정의하자. $$I(s, x)=\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-sx}\sin x}{x} dx$$. (단, $$s\geq 0$$). $$s \to \infty$$일때의 $$I(s, x)$$의 극한값은 당연히 0이 된다. 반대로 $$s=0$$일 때. 즉 $$I(0, x)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$$임도 알 수 있다. 이제, 이 $$I(s, x)$$를 $$s$$에 대해 편미분해보자. $$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}I(s, x)=-\int_{0}^{\infty} e^{-sx}\sin x dx$$가 된다. 부분적분법을 반복 적용하면, 이 피적분함수의 원시함수는 $$\displaystyle \frac{e^{-sx}\left(s \sin x+\cos x\right)}{s^2+1}+C$$의 꼴을 갖게 된다. 즉, $$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}I(s, x)=\int_{0}^{\infty} e^{-sx}\sin x dx=-\frac{1}{1+s^2}$$로 정리할 수 있게 된다.[11] 그런데 이 피적분함수의 원시함수는 어디선가 많이 본 꼴이다. 미분적분학의 정형화된 미분공식을 보면 알겠지만…… $$\displaystyle \int \frac{1}{1+s^2}ds=\arctan s+C$$라는 것은 자명하다. 즉, $$I(s,x)=C-\arctan s$$이다. 그런데 앞에서, $$\displaystyle \lim_{s \to \infty}I(s,x)=0$$이라는 것이 자명함을 보였다. 그러므로, $$0=C-\displaystyle \lim_{s\to \infty} \arctan s$$이며, 정리하면 $$C=\displaystyle \frac{\pi}{2}$$가 된다. 따라서 $$I(s,x)=\displaystyle \frac{\pi}{2}-\arctan s$$이며, 필요로 하는 적분값은 $$s=0$$일 때의 값이므로 $$I(0,x)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\pi}{2}$$ 또한, 이 함수는 우함수이므로 $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx=\pi$$가 된다.

먼저 기본적인 복소함수의 적분의 성질을 몇가지 되새겨보자.

(1) $$f(z)=g(z)+ih(z)$$라고 하자. 그렇다면 동일한 $$\mathfrak{C}$$에 대하여, $$\displaystyle \int_{\mathfrak{C}}f(z) dz=\int_{\mathfrak{C}}g(z)dz+i\int_{\mathfrak{C}}h(z)dz$$가 된다.

(2) $$\mathfrak{C}=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{n}\mathfrak{C}_k$$라고 하면, $$\displaystyle \int_{\mathfrak{C}}f(z) dz=\sum_{k=1}^{n}\int_{\mathfrak{C}_k}f(z) dz$$

조르당 보조정리(Jordan's lemma)

다음 조건을 만족하는 함수에 대하여 성립하는 보조정리.

(1) 함수 $$f(z)$$가 $$\left|z\right|=R_0$$라는 원의 외측의 상반평면[12]

의 모든 점에서 해석적이다.

(2) $$C_R$$라는 경로를 다음과 같이 정의하자. $$z=Re^{i\theta}, \text{단} 0\leq\theta\leq\pi, R>R_0$$

(3) $$C_R$$의 모든 점 $$z$$에서 $$C_R$$이 경로상에서 유계이며[13]

, 그 최대값을 $$M_R, \displaystyle\lim_{R\to\infty}M_R=0$$이 성립한다.

이 때, 모든 양의 상수 $$a$$에 대하여, 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)e^{iaz}dz=0$$

유수를 사용한 복소해석학적 방법의 풀이

이제 $$\displaystyle f(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iax}}{x}$$라는 함수를 정의하자. 그런데, 오일러의 공식에 의하여 $$e^{{iax}}=\cos ax+i\sin ax$$이므로 이를 넣고 정리해보자. $$\displaystyle f(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iax}}{x}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos ax}{x}+i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin ax}{x}$$ 즉, 우리가 구할 $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$라는 값은 $$f(x)$$의 허수성분이 된다. 이제, 이 함수를 조금 변형해보자. $$I(x,r)$$이라는 이변수 함수를 정의해보자. $$\displaystyle I(x,r)=\int_{-r}^{r}\frac{e^{iax}}{x}$$라고 두면, $$f(x)=\displaystyle \lim_{r\to\infty}I(x,r)$$이라는 점을 알 수 있다. 또한, 유수를 알기 위하여 $$\displaystyle \frac{e^{iax}}{x}$$를 $$z_0=0$$에 대해서 로랑급수로 전개하자. $$\displaystyle \frac{e^{iax}}{x}=\frac{1}{x}\frac{1}{0!}+\frac{ia}{1!}+\frac{a^2 i^2x}{2!}+\frac{a^3i^3z^2}{3!}+\frac{a^4z^3}{4!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(iax\right)^{n-1}}{n!}=0x^{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(ai\right)^{n}x^n}{n!}+\frac{1}{x}$$가 되므로, $$\displaystyle \frac{e^{iax}}{x}$$의 $$z_0=0$$에 대한 유수는 1. 즉 $$z_0=0$$은 단순 극(simple pole)이다. 이제 이 함수를 계산하기 위하여, 경로 $$\mathfrak{C}$$를 다음과 같이 정의하자. $$\mathfrak{C}=\mathfrak{C}_1\cup\mathfrak{C}_2\cup\mathfrak{C}_{\epsilon}\cup\mathfrak{C}_{R}$$이라는 상반평면에 위치한 4개의 경로의 합으로 둔다. 이때, $$\mathfrak{C}_1=\left[-r, -\epsilon\right]$$, $$\mathfrak{C}_2=\left[\epsilon, r\right]$$인 실수구간이며, $$\mathfrak{C}_\epsilon$$은 원점을 중심으로 반지름 $$\epsilon$$인 시계방향의 반원이며, $$\mathfrak{C}_{R}$$은 반지름이 $$r$$인 반시계방향의 반원이다. 그런데, 코시-구르사 정리에 의하여 단순폐곡선 내부에서 항상 해석적인 함수를 폐곡선을 따라 적분한 $$\displaystyle \int_\mathfrak{C}\frac{e^{iax}}{x}dx=0$$임은 자명하므로, $$\displaystyle \int_\mathfrak{C} \frac{e^{iax}}{x}dx=\int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_2}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_R}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}\frac{e^{iax}}{x}dx=0$$이고, $$\displaystyle\frac{e^{iax}}{x}$$를 실수축을 따라 전개한 허수부인 $$\displaystyle \frac{\sin ax}{x}$$는 우함수이므로 다음 성질이 성립한다. $$\displaystyle \int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx=\int_{\mathfrak{C}_2}\frac{e^{iax}}{x}dx$$ 또한, 조르당 보조 정리(Jordan's lemma)에 의하여 $$r\to\infty$$일 때 $$\displaystyle \int_{\mathfrak{C}_{R}}\frac{e^{iax}}{x}dx=0$$이 된다. 즉, $$\displaystyle \int_\mathfrak{C}\frac{e^{iax}}{x}dx=2\int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}\frac{e^{iax}}{x}dx$$가 된다. 또한 상반평면에서 극점을 우회하는 시계방향의 반원 $$\mathfrak{C}_{\epsilon}$$에 대한 선적분 $$\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}f(z)dz$$은 해당 극점에 대한 유수가 $$B_0$$일 때, $$\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}f(z)dz=-B_0\pi i$$가 된다. 주어진 함수에서 원점에 대한 유수가 1이므로, $$\displaystyle \int_\mathfrak{C}\frac{e^{iax}}{x}dx=0=2\int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}\frac{e^{iax}}{x}dx$$에서 $$\displaystyle 0=\lim_{\left(\epsilon,r\right)\to\left(0,\infty\right)}\{2\int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx+\int_{\mathfrak{C}_\epsilon}\frac{e^{iax}}{x}dx\}=\lim_{\epsilon\to 0, r\to\infty}\{2\int_{\mathfrak{C}_1}\frac{e^{iax}}{x}dx-\pi i\}$$이므로, $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{iax}}{x}dx=i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin ax}{x}dx=i\pi$$. 즉, $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\pi$$가 된다.

참고로 유수가 중요한 이유는 로랑급수 전개시 함수를 $$z-z_0$$에 대한 다항식으로 전개하게 되는데, 이를 치환적분해보면 다음과 같은 일이 벌어진다.
$$f\left(z\right)=\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{-2}c_{n}\left(z-z_0\right)^{-n}+c_{-1}\left(z-z_0\right)^{-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\left(z-z_0\right)^{n}}$$로 둘 때,
$$\displaystyle{\oint_{C} f\left(z\right)dz=\oint_{C}\sum_{n=-\infty}^{-2}c_{n}\left(z-z_0\right)^{-n}dz+c_{-1}\oint_{C}\left(z-z_0\right)^{-1}dz+\oint_{C}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\left(z-z_0\right)^{n}dz}$$라고 정리할 수 있는데 $$C$$를 $$z_0$$를 중심으로 하는 반경 $$r$$의 양의 방향의 닫힌 폐곡선이라고 하자.
즉, $$C:=\left|z-z_0\right|=r$$이라고 할 수 있고, 경로 $$C$$상의 점 $$z$$는 $$z_0+re^{i\theta}$$(단, $$0\leq \theta<2\pi$$)라고 둘 수 있다.
이제 치환적분을 해 보자.
$$z=z_0+re^{i\theta}$$이므로, $$\displaystyle{dz=ire^{i\theta}d\theta}=i\left(z-z_0\right)d\theta$$가 되는데, 이는 $$f\left(z\right)$$의 모든 항의 차수를 1차씩 올리는 결과가 된다.
이 경우, -2차항 이하의 차수는 -1차항 이하의 차수가 되면서 단순폐곡선 $$C$$를 따라 적분하는게 되며, 상수항 이상의 차수는 1차항 이상의 차수가 되며 역시 단순폐곡선 $$C$$를 따라 적분하게 된다. 이러면 이 항은 전부 0이 되어 사라지게 된다.[14]
그런데, -1차항은 상수항으로 올라가게 되면서 '''남게 된다'''[15]. 상수항은 단순폐곡선으로 적분시 $$2\pi i$$를 곱하게 되므로, 함수의 복소적분값은 $$2\pi i$$에 유수를 곱한 값과 같게 되는 것이다.

2.2.1. 고립 특이점에서의 유수(Residue) 계산법

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바로 위 문단에서, 복소평면상의 닫힌 궤적 적분시 유수만이 직접적으로 영향을 준다고 설명했다.
보통 유수를 계산할 때는 로랑 급수 전개를 통해서 $$\left(z-z_0\right)^{-1}$$의 계수가 바로 유수라고 설명하지만, 문제는 고립 특이점에서 로랑 급수 전개가 생각보다 바로 떠오르지 않는 경우가 흔하다는 점이다. 이 경우는 다음 성질을 이용해서 계산하게 된다.

$$z_0$$가 함수 $$f$$의 고립 특이점일 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

(a) $$z_0$$는 함수 $$f$$에서 계수 $$m$$을 지니는 극점이다.

(b) $$f(z)$$를 $$z=z_0$$에서 0이 아닌 값을 가지는 해석함수 $$\phi\left(z\right)$$를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

　　$$f(z)=\displaystyle{\frac{\phi(z)}{\left(z-z_0\right)^m}}$$ (단 $$m=1, 2, \cdots$$)

즉, $$\left(z-z_0\right)^m f(z)\neq 0$$이 되는 최소의 정수 $$m$$이 존재할 때, $$\phi(z)=\left(z-z_0\right)^m f(z)$$라고 표기한다.

이 성질이 성립함을 확인했을 경우, 즉 극점에 한해서 다음과 같이 유수 $$Res\left(f, z_0\right)$$를 계산할 수 있다.

$$Res\left(f, z_0\right)=\phi\left(z_0\right)$$($$m=1$$일 때)

$$Res\left(f, z_0\right)=\displaystyle{\frac{\phi^{(m-1)}\left(z_0\right)}{\left(m-1\right)!}}$$($$m$$이 2 이상의 정수일 때)

2.3. 등각 사상

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어떤 복소함수가 존재한다고 했을 때, 이 함수가 등각사상이라는 말은 복소평면상의 두 복소곡선이 한 점 $$\alpha$$에서 만날 때, 이 두 곡선을 정의역이라 두면, 치역으로 나오는 두 복소곡선의 내각이 정의역 곡선이 이루는 내각과 동일하다는 것을 의미한다.
단, 중요한 점은 $$f'\left(\alpha\right)\neq 0$$이어야 한다는 점인데, $$f'\left(\alpha\right)=0$$이라면 이 점에서의 내각을 구하는 것은 무의미해지며, 실함수에서 $$f''\left(\alpha\right)=0$$인 점을 변곡점이라고 명명했던 것처럼 이 점을 변곡점이라고 칭한다. $$f\left(z\right)=z^2$$를 예시로 들면, 이 함수는 $$f'\left(z\right)=2z$$이므로 $$z=0$$에서 $$f'\left(z\right)=0$$이 된다. 이 때, 실수축과 허수축을 정의역이라 둘 경우, 이 두 정의역 집합은 함수 $$f$$를 거쳐서 다음과 같은 치역집합으로 변경된다.
[math(\mathcal{C}_{1}=\left(-\infty,\infty\right)=\mathbb{R}, \mathcal{C}_{2}=\left(-i\infty, i\infty\right)=i\mathbb{R} \to f\left(\mathcal{C}_{1}\right)=[0, \infty), f\left(\mathcal{C}_{2}\right)=\left(-\infty, 0\right)\cup\{0\})][* 즉, 둘 다 실수축의 양 옆에서 접근했다가 되튕기는 양상을 보이며, 이 두 치역집합은 서로 직교하지 않고 같은 직선상에 늘어서게 된다. 이 외에도 여러가지 예시를 들 수 있으며, [math(f'\left(\alpha\right)=0)]인 점에서는 일반적으로 내각이 보존되지 않는 예외 사상이 발생한다. 그렇기 때문에 방향이 갑자기 바뀔 수 있다고 해서 변곡점이라고 붙는 것.][* TeX 문법과 위키 문법의 충돌로 인해서, 각주에서 (a,b\] 형태의 구간을 수식 표현 가장 오른쪽에 둘 경우 각주가 중간에 강제로 잘리는 일이 발생하기 때문에 [math(\left(-\infty, 0\right)\cup\{0\})]라고 표기했다.]

증명

영역 $$\mathcal{A}$$에서 $$\mathcal{B}$$로 연관시키는 $$\forall z\in\mathcal{A}, z\to w\left(\forall w\in\mathcal{B}\right)$$로 정의되는 해석적 함수 $$f$$가 있다고 가정하자.

(단 $$z=x+iy, w=u+iv$$).

영역 $$\mathcal{A}$$상에서 $$\alpha$$에서 만나는 임의의 두 경로 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$를 정의하자.(단 $$f'\left(\alpha\right)\neq 0$$)

영역 $$\mathcal{A}$$에서 $$f$$가 해석적이므로, $$f$$는 영역 $$\mathcal{A}$$에서 연속적이며 미분가능하다.

$$f$$가 해석적이며 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2} \in \mathcal{A}$$이므로, $$f$$를 통한 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$의 $$\mathcal{B}$$위의 상인 곡선 $$\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}$$가 존재함은 자명하다.

그러면 각각의 곡선이 실수축 $$x$$과 이루는 내각을 각각 $$\boldsymbol{\psi}_{1}, \boldsymbol{\psi}_{2}$$라고 할 수 있다.

경로 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$상에 각각 점을 하나씩 잡아서 $$z_{1}, z_{2}$$라고 정의하자.

그렇다면 두 곡선의 내각은 $$\displaystyle{\lim_{z_{1}, z_{2}\to\alpha}\angle{z_{2}\alpha z_{1}}}=\boldsymbol{\psi}_{2}-\boldsymbol{\psi}_{1}=\boldsymbol{\psi}$$가 된다.

그런데 $$z_{1}-\alpha=r_{1}e^{i\theta_{1}}, z_{2}-\alpha=r_{2}e^{i\theta_{2}}$$라고 둘 수도 있다.

복소평면에서도 일반 평면상의 극한이 그대로 적용되므로, $$r\to 0$$으로 두면 $$z_{1}, z_{2}\to\alpha$$임은 명백하다.

또한, $$\theta_{1}\to\boldsymbol{\psi}_{1}, \theta_{2}\to\boldsymbol{\psi}_{2}$$임도 명백하다.

이제 $$f\left(\alpha\right)=\beta$$라고 두자.

$$\alpha\in\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$이므로 $$\beta\in\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}$$다.

그러므로 $$f\left(z_{1}\right)=w_{1}, f\left(z_{2}\right)=w_{2}$$라고 한 뒤, 위의 방식대로 다시 정리하자.

$$w_{1}-\beta=R_{1}e^{i\phi_{1}}, w_{2}-\beta=R_{2}e^{i\phi_{2}}$$이며, $$\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}$$가 이루는 각은 $$\displaystyle{\lim_{w_{1}, w_{2}\to\beta}\angle{w_{2}\beta w_{1}}}$$가 된다.

가정에서 $$f'\left(\alpha\right)\neq 0$$이라고 했으므로, $$f'\left(\alpha\right)=\rho e^{i\lambda}$$라고 정의할 수 있다.

$$f'\left(\alpha\right)=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{w_{1}-\beta}{z_{1}-\alpha}}$$인데, 위에서 $$w_{1}-\beta=R_{1}e^{i\phi_{1}}, z_{1}-\alpha=r_{1}e^{i\theta_{1}}$$라고 했으므로 대입하자.

$$f'\left(\alpha\right)=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{w_{1}-\beta}{z_{1}-\alpha}}=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to \alpha}\frac{R_{1}e^{i\phi_{1}}}{r_{1}e^{i\theta_{1}}}}=\displaystyle{\lim_{z_{1}\to\alpha}\frac{R_{1}}{r_{1}}e^{i\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)}}=\rho e^{i\lambda}$$

즉 $$\rho=\displaystyle{\frac{R_{1}}{r_{1}}}, \lim_{z_{1}\to\alpha}\lambda=\lim_{z_{1}\to\alpha}\left(\phi_{1}-\theta_{1}\right)=\lim_{w_{1}\to\beta}\lambda$$가 되어, $$\lambda+\boldsymbol{\psi}_{1}=\phi_{1}$$이 된다.

역시 마찬가지로 $$\lambda+\boldsymbol{\psi}_{2}=\phi_{2}$$가 된다.

$$\displaystyle{\lim_{w_{1}, w_{2}\to\beta}\angle{w_{2}\beta w_{1}}}$$는 $$\phi_{2}-\phi_{1}$$이므로, 각각을 위에서 구한 값으로 치환하면

$$\phi_{2}-\phi_{1}=\left(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{2}\right)-\left(\lambda+\boldsymbol{\psi}_{1}\right)=\boldsymbol{\psi}_{2}-\boldsymbol{\psi}_{1}=\boldsymbol{\psi}$$가 된다.

즉 $$f$$가 주어진 영역 내에서 해석적이라면 이 함수는 정의역의 두 곡선이 이루는 각을 그대로 치역에서도 보존하는 등각사상이 된다.

비슷한 것으로 등편각 사상이라는게 존재하는데, 이쪽은 내각의 부호가 바뀐다.
그런데 위의 증명은 결국 함수를 계속해서 극좌표화 해야 하는 단점이 존재한다. 단순하게 미분의 성질만으로 증명하려면 아래의 방식을 사용하는 편이 빠르다.

매끄러운 곡선 $$\mathcal{C}_{1}$$가 다음 식으로 정의된다고 하자.

$$z=z\left(t\right), \left(a\leq t \leq b\right)$$

또한 함수 $$f\left(z\right)$$를 $$\mathcal{C}_{1}$$상의 모든 점 $$z$$에서 정의된다고 하자.

그러면 다음 식은 변환 $$w=f\left(z\right)$$에 의한 $$\mathcal{C}_{1}$$의 상 $$\Gamma_{1}$$에 대한 매개변수 표현식이 된다.

$$w=f\left(z\left(t\right)\right), \left(a\leq t \leq b\right)$$

곡선 $$\mathcal{C}_{1}$$는 해석적인 점 $$z_{0}=z\left(t_{0}\right), \left(a<t_{0}<b\right)$$를 지나고, $$f'\left(z_{0}\right)\neq 0$$이라고 하자.

미분의 연쇄법칙에 의하여, 다음 식이 얻어진다.

$$w'\left(t_{0}\right)=f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)z'\left(t_{0}\right)$$

그런데 편각의 성질을 고려하면, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

$$\arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right)$$

마찬가지로 매끄러운 곡선 $$\mathcal{C}_{2}$$을 $$\mathbf{z}=\mathbf{z}\left(l\right), \left(c\leq l \leq d\right)$$이라고 정의하자.

그리고 $$\mathcal{C}_{2}$$도 역시 $$\mathcal{C}_{2}$$상의 모든 점 $$\mathbf{z}$$에서 $$f$$가 정의된다고 하자. 그러면 $$\mathbf{w}=f\left(\mathbf{z}\right)$$에 의한 $$\mathcal{C}_{2}$$의 상 $$\Gamma_{2}$$ 매개변수 표현식 역시 다음과 같이 된다.

$$\mathbf{w}=f\left(\mathbf{z}\left(l\right)\right), \left(c\leq l \leq d\right)$$

$$\mathcal{C}_{2}$$도 해석적인 점 $$z_{0}=\mathbf{z}\left(l_{0}\right), \left(c<l_{0}<d\right)$$을 지난다고 한 뒤,마찬가지의 전개를 통하면

$$\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(\mathbf{z}\left(l_{0}\right)\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)$$이 성립함도 자명하다.

그런데, $$z\left(t_{0}\right)=\mathbf{z}\left(l_{0}\right)=z_{0}$$라는걸 고려하자.

그렇다면 위의 두 식

$$\begin{cases} \arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z\left(t_{0}\right)\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right)\\\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(\mathbf{z}\left(l_{0}\right)\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)\end{cases}$$

은 다음과 같이 바뀐다.

$$\begin{cases} \arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg z'\left(t_{0}\right)\\\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)\end{cases}$$

곡선 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$가 $$\alpha$$에서 이루는 끼인각은 $$\arg \mathbf{z}'\left(t_{0}\right)-\arg z'\left(l_{0}\right)$$임은 자명하다.

그런데 이 두 곡선의 상인 $$\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$$가 이루는 각은 마찬가지 사고방식으로 $$\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)-\arg w'\left(t_{0}\right)$$임이 자명한데, 바로 위의 식의 관계를 대입해보자.

$$\arg \mathbf{w}'\left(l_{0}\right)-\arg w'\left(t_{0}\right)=\arg f'\left(z_{0}\right)+ \arg \mathbf{z}'\left(l_{0}\right)-\arg f'\left(z_{0}\right)- \arg z'\left(t_{0}\right)=\arg \mathbf{z}'\left(t_{0}\right)-\arg z'\left(l_{0}\right)$$가 된다.

즉, 두 곡선 $$\mathcal{C}_{1}, \mathcal{C}_{2}$$가 이루는 내각은 두 곡선이 $$f$$에 대한 상인 두 곡선 $$\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$$가 이루는 내각과 같다.($$\mathbf{Q.E.D.}$$)

단, 주의해야 할 점은, 등각사상은 어디까지나 '''일변수 복소함수'''에서만 성립한다. '''다변수 복소함수'''에서는 뫼비우스 변환을 제외하면 일반적으로 성립하지 않는 성질이다.

2.4. 다가 함수, 리만 곡면, 모노드로미

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2.5. 모듈러 형식 등등의 응용

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3. 교과서

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• Brown&Churchil, 복소함수론과 그 응용, 경문사, 2019

난이도가 높지 않아서 입문하기에 좋은 교재이다. 보통 처칠이라고 불린다. 해당 저서의 번역자가 꽤 악명높음[16]에도 번역서가 의외로 좋은 평가를 받는다. 한국어판은 보통 허민이라고 불린다.

• Lars Ahlfors, Complex Analysis

텍스트와 증명이 섞여있다. 위상수학적으로 접근하기 때문에 전개의 호흡이 길다.

• Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2)

프린스턴 대학교에서 대학원 수준 해석학 강의에 쓰는 책으로 1권이 푸리에 해석, 2권이 복소해석, 3권이 실해석, 4권이 함수해석+α를 담고 있다. 3장까지는 학부생들이 봐도 무방할 정도로 설명이 친절하지만, 대학원생을 대상으로 쓴 교재인만큼 연습문제의 난이도가 어렵고 4장부터는 1권에서 다룬 푸리에 해석의 내용을 증명없이 사용하여 이론을 전개하기 때문에 매우 어려운 교재이다.

응용에 중점을 둔다면 공업수학이나 수리물리학 교과서들이 참고할 만 하다.

[1] 사전적인 해석으로는 남는(Residue) 수라는 말이다. 자세한건 후술

[2] 이와 반대로 내부값이 같은 두 정칙 함수를 이용해서 경계나 그 외부에서 한 함수의 값을 다른 함수의 값으로 정의하는 것이 이른바 해석적 연속(Analytic continuation)으로 이를 이용하면 모든 자연수의 합이 -1/12라던가 하는 재미있는 결과를 얻을 수 있다.

[3] 반대로 실해석학에서의 해석함수는 지정된 정의역에서 테일러 급수가 '''항상 수렴하는''' 함수를 의미하며, 미분 가능 함수보다 범위가 좁다. 즉, 미분 가능한 함수라고 항상 해석함수인 것은 아니며, 반대로 해석함수가 아니라고 미분 불가능하다고 말할 수 없는 것. 이런 의미에서 복소함수의 해석함수는 보다 성질이 좋기 때문에 정칙 함수라는 별도의 명칭을 붙이기도 한다.

[4] 이런 종류의 계산은 과학/공학 계산과정에서 에서 흔히 나타나며 특히 양자역학, 양자장 이론에서 주구장창 쓰이기 때문에 공학자나 물리학자들이 복소해석학을 익혀두는 경우가 많다.

[5] 즉, 특이점이 존재하지 않는 해석적 전해석함수는 상수함수가 된다. 라는 의미.

[6] 어디선가 반드시 논리상의 헛점이 생긴다. 이 헛점을 보완하기 위해서는 반드시 수학의 다른 영역을 사용해야 한다.

[7] 그 외의 특이점은 전부 제거 가능한 특이점이거나 극점이 된다.

[8] 사전적인 해석으로는 '''남는(Residue) 수'''라는 말이다. 자세한건 후술

[9] '''그 점'''부분만 제외한 다른 영역에서 해석적일 경우를 의미

[10] 점 $$k$$가 제거 가능한 특이점이라면, $$\displaystyle{\lim_{z\to k}}{\left(z-k\right)f\left(z\right)}=0$$인 것을 의미

[11] $$\displaystyle F(x)=\frac{e^{-sx}\left(s \sin x+\cos x\right)}{s^2+1}+C$$라고 두면, $$\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}I(s, x)=\int_{0}^{\infty} e^{-sx}\sin x dx=\lim_{x \to \infty} \left[F(x)-F(0)\right]$$이므로, 적분상수가 사라져서 $$\displaystyle \left.\frac{e^{-sx}\left(s \sin x+\cos x\right)}{s^2+1}\right|^{x=\infty}_{x=0}=\frac{e^{-\infty}\left(s\sin\infty+\cos\infty\right)}{1+s^2}-\frac{e^{-0}\left(s \sin 0+\cos 0\right)}{1+s^2}=\frac{0\times\left(s\cdots\right)}{1+s^2}-\frac{1\times\left(s\times 0+1\right)}{1+s^2}=-\frac{1}{1+s^2}$$.

[12] $$z=(x,y)=x+iy$$일 때, $$y\geq 0$$인 복소평면

[13] 경로상이라고 명시한 이유는 리우빌의 정리의 자명한 결과다. 경로 내부의 영역에서 유계라면 리우빌의 정리에 의해 상수함수밖에 될 수 없기 때문.

[14] $$n\in \mathbb{Z}/\{-1\}$$일 때, $$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(c_{n}e^{\left(n+1\right)i\theta}\right)d\theta=c_{n}\int_{0}^{2\pi}e^{\left(n+1\right)i\theta}d\theta}=\left.\frac{c_{n}}{\left(n+1\right)i}e^{\left(n+1\right)i\theta}\right|^{\theta=2\pi}_{\theta=0}=\frac{c_{n}}{\left(n+1\right)i}\left(e^{2n\pi i}-e^{0}\right)=\frac{c_{n}}{\left(n+1\right)i}\cdot0=0$$이 되기 때문.

[15] 그렇기 때문에 Residue(잔여물), 유수(留數). 남는 수. 라고 표현한다.

[16] Rudin의 PMA와 Strang의 선형대수학 교재의 이상한 번역으로 악명이 높다.