자기장 세기/정자기학의 경계치 문제/관련 예제
1. 예제 1
| '''[문제]''' - 투자율 $$\mu_{1}$$으로 차있고, $$\mu_{2}$$의 자화 물질로 둘러싸인 매우 긴 반지름 $$\rho_{0}$$의 원기둥에 축을 따라 전류 $$I$$가 흐르고 있다. 원기둥 내·외부의 자기장 분포를 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하여 구하시오.(단, 자화 물질은 선형적이고, 등방적이다.) |
[풀이 보기] - -
축을 $$z$$축으로 설정하자. 이 상황에서 자기 벡터 퍼텐셜은 $$\hat{\mathbf{z}}$$ 성분만 존재하여야 한다. 또한 이 상황에서 대칭성을 이루지 않고 있는 것은 $$\rho$$이므로 자기 벡터 퍼텐셜은 $$\rho$$에만 의존할 것이다. 따라서 다음을 만족한다.내부에는 자유 전류 밀도
$$ \displaystyle \nabla^{2}A_{z}(\rho)=-\mu \,[\mathbf{J}_{f}]_{z} $$가 존재하므로 원기둥 내·외부의 자기 벡터 퍼텐셜의 $$z$$축 성분을 각각 $$A_{z1}$$, $$A_{z2}$$라 하면, 다음의 두 방정식이 나온다.
$$ \displaystyle \mathbf{J}_{f}=\frac{I}{\pi \rho_{0}^{2}} \hat{\mathbf{z}}$$이상에서
$$ \displaystyle \nabla^{2}A_{z1}(\rho)=-\mu_{1}\frac{I}{\pi \rho_{0}^{2}} \qquad \nabla^{2}A_{z2}(\rho)=0 $$가 되고, 결국 위 방정식 해는 아래와 같음을 얻는다.
$$ \displaystyle \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\frac{\partial A_{z1}}{\partial \rho} \right)=-\mu_{1}\frac{I}{\pi \rho_{0}^{2}} \qquad \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left( \rho\frac{\partial A_{z2}}{\partial \rho} \right)=0 $$이때, $$A \sim C$$는 상수이고, $$A_{z2}$$의 상수 항을 0으로 놓음으로써 문제를 간단히하였다. 이때, $$\rho \rightarrow 0$$일 때, 퍼텐셜은 무한할 수 없으므로 $$A=0$$이 되고, 자기장은 $$\mathbf{B}_{i}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}_{i}$$임을 이용하면,
$$ \displaystyle A_{z1}=-\frac{\mu_{1} I}{4\pi \rho_{0}^{2}} \rho^{2}+A\ln{\rho}+C $$
$$ \displaystyle A_{z2}=B\ln{\rho} $$계속해서 $$\mathbf{B}_{i}=\mu_{i}\mathbf{H}_{i}$$임을 이용하면,
$$ \displaystyle \mathbf{B}_{1}=\frac{\mu_{1} I}{2\pi } \frac{\rho}{\rho_{0}^{2}} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{B}_{2}=-\frac{B}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$이때, 원기둥 외부에 대해 앙페르 법칙을 적용하면,
$$ \displaystyle \mathbf{H}_{1}=\frac{ I}{2\pi } \frac{\rho}{\rho_{0}^{2}} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{H}_{2}=-\frac{B}{\mu_{2} \rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$이상에서 원기둥 내·외부의 자기장 분포는
$$ \displaystyle \int \mathbf{H_{2}} \cdot d \mathbf{l}=I_{f} \,\, \rightarrow \,\, -\frac{B}{\mu_{2}} \cdot 2 \pi=I \,\, \rightarrow \,\, B=- \frac{I \mu_{2}}{2 \pi} $$로 결정된다.
$$ \displaystyle \mathbf{B}_{1}=\frac{\mu_{1} I}{2\pi } \frac{\rho}{\rho_{0}^{2}} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$
$$ \displaystyle \mathbf{B}_{2}=\frac{\mu_{2}}{2 \pi} \frac{I}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$
경계면($$\rho=\rho_{0}$$)을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속이어야 함을 이용하면 벡터 퍼텐셜은 다음이 돼야함을 쉽게 알 수 있다.'''[추가 문제]'''
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위 문제에서 자기 벡터 퍼텐셜의 분포를 구하시오.
$$ \displaystyle \mathbf{A_{1}}=\left[ -\frac{\mu_{1} I}{4\pi \rho_{0}^{2}} \rho^{2}-\frac{I \mu_{2}}{2 \pi}\ln{\rho_{0}}+\frac{\mu_{1}I}{4\pi} \right] \hat{\mathbf{z}}\qquad(\rho<\rho_{0}) $$
$$ \displaystyle \mathbf{A_{2}} = \left[- \frac{I \mu_{2}}{2 \pi}\ln{\rho} \right] \hat{\mathbf{z}}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \,\,\,\,\, (\rho>\rho_{0}) $$
2. 예제 2
| '''[문제]''' - 그림과 같이 투자율 $$\mu_{1}$$인 반지름 $$R$$인 자화 물질로 이루어진 구가 투자율 $$\mu_{2}$$인 자화 물질에 둘러싸여있다. 구 외부에서 $$\mathbf{H}=H_{0}\hat{\mathbf{z}}$$를 가했을 때, 구의 내·외부의 자기장 분포를 구하시오.(단, 자화 물질은 선형적이고 등방적이다.) |
[풀이 보기] - -
우리가 구하는 영역은 모두 선형 물질로 이루어져 있고, 자유 전류가 없다. 따라서을 만족한다. 이 상황은 $$\phi$$에 대한 대칭성만 존재하므로 자기 스칼라 퍼텐셜은 $$r$$, $$\theta$$에만 의존한다. 따라서 위의 라플라스 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.
$$ \displaystyle \nabla^{2} \Phi_{m}=0 $$$$P_{n}(\cos{\theta})$$는 르장드르 다항식이다. 외부 장에 의한 자기 스칼라 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \Phi_{m}=\sum_{n=0}^{\infty}\, [A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-(n+1)}] \,P_{n}(\cos{\theta}) $$로 놓을 수 있고, 퍼텐셜 특성 상 상수는 무시할 수 있으므로 상수는 제외하였다. $$r \rightarrow \infty$$가 되면, 외부 장의 효과만 남을 것으로 기대되고, $$r \rightarrow 0$$일 때, 퍼텐셜은 무한할 수 없음을 이용하자. 또한, 외부 장의 퍼텐셜이 $$\cos{\theta}$$ 항이 있기 때문에 퍼텐셜에 기여하는 항은 $$\cos{\theta}$$ 항으로만 주어진다.[1]
$$ \displaystyle \Phi_{m}=-\int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{r}=-H_{0}r\cos{\theta} $$이것은 라플라스 방정식을 많이 풀어보면, 충분히 예상할 수 있으며, 그렇지 못한 사람은 경계 조건을 이용하여, 계수를 맞춰보면 된다.$$A$$, $$B$$는 상수이며, 첨자는 내·외부 구분을 위해 붙였다. 이때, 퍼텐셜의 경계 조건 중 퍼텐셜은 경계를 가로지를 때, 연속이어야 함을 이용하자. 즉,
$$ \displaystyle \Phi_{1}=Ar\cos{\theta} \qquad \qquad \qquad \quad \,\,\,\,\, (r<R)$$
$$ \displaystyle \Phi_{2}=-H_{0}r\cos{\theta}+\frac{B}{r^{2}}\cos{\theta} \qquad (r>R)$$이고, 이것의 결과는
$$ \displaystyle \Phi_{1}(R, \, \theta)=\Phi_{2}(R, \, \theta) $$이 되고, 다음으로는 장의 경계 조건에서 경계면을 가로지르는 자기장의 수직 성분은 연속임을 이용하자. 즉,
$$ \displaystyle A=-H_{0}+\frac{B}{R^{3}} $$이고, 자기 스칼라 퍼텐셜과 자기장과의 관계 $$\mathbf{B}_{i}=-\mu_{i} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{i}$$임을 이용하면,
$$ \displaystyle \mathbf{B_{1}} \cdot \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{B_{2}} \cdot \hat{\mathbf{r}} $$따라서
$$ \displaystyle -\mu_{1} \left. \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial r} \right|_{r=R} =-\mu_{2} \left. \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial r} \right|_{r=R} $$경계 조건을 이용해서 나온 식을 연립하면,
$$ \displaystyle -\mu_{1}A=\mu_{2} \left( H_{0}+\frac{2B}{R^{3}} \right) $$이므로 최종적으로 퍼텐셜의 분포는 아래와 같이 나온다.
$$ \displaystyle A=-\frac{3 \mu_{2} H_{0}}{\mu_{1}+2\mu_{2}} \qquad \qquad B=\frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{\mu_{1}+2\mu_{2}}R^{3}H_{0} $$따라서 자기 스칼라 퍼텐셜과 자기장과의 관계 $$\mathbf{B}_{i}=-\mu_{i} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{i}$$임을 이용하면,
$$ \displaystyle \Phi_{1}=-\frac{3 \mu_{2} H_{0}}{\mu_{1}+2\mu_{2}}r\cos{\theta} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \,\, (r<R)$$
$$ \displaystyle \Phi_{2}=-H_{0}r\cos{\theta}+\frac{\mu_{1}-\mu_{2}}{\mu_{1}+2\mu_{2}}R^{3}H_{0} \frac{\cos{\theta}}{r^{2}} \qquad (r>R)$$으로 구해진다.
$$ \displaystyle \mathbf{B_{1}}=\frac{3 \mu_{1} \mu_{2}}{\mu_{1}+2\mu_{2}} \mathbf{H} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \,\, (r<R) $$
$$ \displaystyle \mathbf{B_{2}}= \mu_{2} \mathbf{H}+\frac{\mu_{2}(\mu_{1}-\mu_{2})}{\mu_{1}+2\mu_{2}} \frac{H_{0}R^{3}}{r^{3}}(2\hat{\mathbf{r}}\cos{\theta} +\hat{\boldsymbol{\theta}}\sin{\theta}) \qquad (r>R) $$
[각주]
[각주]