앙페르 법칙

1. 개요

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'''Ampère's law'''
앙드레 앙페르(André-Marie Ampère;1775~1836)가 발견한 앙페르 법칙은 특정 경로의 자기장과 경로 내부의 알짜 전류의 관계에 대한 법칙이다.

2. 초기 이론

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앙페르 법칙은 다음과 같이 수학적으로 나타난다.

$$ \displaystyle \oint_{C} \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\int_{S}\, \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=\mu_{0}I_{\textrm{enc}} $$

각각의 의미는 다음과 같다. $$C$$는 임의의 폐곡선, $$S$$는 그 폐곡선을 둘러싸는 임의의 곡면이다. 또한, $$\mathbf{B}$$는 자기장, $$d \mathbf{l}$$는 곡선의 미소 변위 벡터, $$d \mathbf{a}$$는 곡면의 미소 벡터 넓이를 나타내는 벡터이고, $$\mathbf{J}$$는 전류밀도, $$\mu_{0}$$는 진공에서의 투자율, $$I_{\textrm{enc}}$$는 잡은 폐곡선 $$C$$ 안을 통과하는 전류이다.
즉, 어떤 폐곡선과 수평한 방향의 $$\mathbf{B}$$의 성분은 그 폐곡면 안을 통과하는 전류에 비례한다는 것을 나타내는 수식이며, 쉽게 설명하면, '''전류가 자기장을 형성한다'''라는 것이다. 또한,

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\int\, \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} $$

의 좌변에 스토크스 정리를 쓰면,

$$ \displaystyle \int \, (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a}=\int\, \mu_{0}\mathbf{J} \cdot d \mathbf{a} $$

이므로 앙페르 법칙의 미분 형태의 표현 식을 얻는다.

$$ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}= \mu_{0}\mathbf{J} $$

2.1. 물질에서의 앙페르 법칙

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$$ \displaystyle \int \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l}=I_{f} \qquad \qquad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f} $$

2.2. 관련 예제

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2.2.1. 무한 원통

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축이 $$z$$위에 놓여있고, 반지름이 $$R$$인 원통에 균일하고, $$+\hat{\mathbf{z}}$$방향의 정상 전류 $$I$$가 흐르는 도체를 고려해보자. 원통 좌표계에서 생각했을 때, 자기장은 $$\hat{\boldsymbol{\rho}},\,\hat{\boldsymbol{\phi}},\,\hat{\mathbf{z}}$$방향으로 존재한다. 현재 문제에서는 $$\phi,\,z$$에 대한 대칭성이 있으므로 자기장은 $$\rho$$에만 의존할 것이다. 즉, 구하는 자기장은 아래의 꼴로 주어진다.

$$ \displaystyle \mathbf{B}(\rho)=B_{\rho}(\rho)\hat{\boldsymbol{\rho}}+B_{\phi}(\rho)\hat{\boldsymbol{\phi}}+B_{z}(\rho)\hat{\mathbf{z}} $$

우선 위 그림의 (가)처럼 반지름이 $$\rho$$이고, 높이가 $$L$$인 원기둥인 폐곡면을 잡는다. 자기에 관한 가우스 법칙에 따르면, 폐곡면 표면을 지나가는 총 선속(Flux)은 [math(0)]이 돼야하고, 자기장이 $$\rho$$에만 의존하므로 윗면과 아랫면의 선속은 서로 상쇄된다. 따라서

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=B_{\rho}(\rho)\cdot 2\pi RL=0 \,\rightarrow \,B_{\rho}(\rho)=0 $$

이상에서 구하는 자기장의 $$\hat{\boldsymbol{\rho}}$$ 성분은 없는 것을 알 수 있다.
또한, (나)처럼 직사각형의 폐곡선을 잡자. 폐곡선 안을 지나가는 전류는 없으므로

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=0 $$

을 만족해야하고, 자기장은 $$\rho$$에만 의존 하므로 위의 선적분 결과는

$$ \displaystyle \left[B_{z}(\rho_{1})-B_{z}(\rho_{2}) \right] \cdot L=0 \,\rightarrow \,B_{z}(\rho_{1})=B_{z}(\rho_{2}) $$

이상에서 구하는 자기장의 $$\hat{\mathbf{z}}$$성분은 상수가 되어야 하나, 전류가 자기장을 만든다는 논의를 하고 있기 때문에 그 상수를 [math(0)]으로 놓는 것이 합당하다. 따라서 $$\hat{\mathbf{z}}$$성분 또한 없다.

이번엔 위 그림과 같이 반지름 $$\rho\,(\rho>R)$$인 원을 폐곡선으로 잡자. 여기에 통과하는 전류는 $$I_{\textrm{enc}}=I$$이므로 앙페르 법칙을 적용하면,

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=B_{\phi}(\rho) \cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}I $$

따라서

$$ \displaystyle B_{\phi}(\rho) =\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \,\rightarrow \, \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}}\,\,(\rho>R) $$

가 된다. 이번엔, $$\rho\,(\rho<R)$$인 원을 폐곡선으로 잡자. 원통형 도선에 균일한 전류가 흐르므로 전류밀도는 $$I/(\pi R^2)$$이므로 폐곡선 안을 통과하는 전류는

$$ \displaystyle I_{\textrm{enc}}=\left ( \frac{I}{\pi R^2} \right ) \left ( \pi \rho^{2} \right )=\frac{\rho^{2}}{R^{2}}I $$

이다. 따라서 앙페르 법칙을 적용하면,

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}=B_{\phi}(\rho) \cdot 2 \pi \rho=\mu_{0}\left ( \frac{\rho^{2}}{R^{2}}I \right ) $$

이상에서

$$ \displaystyle B_{\phi}(\rho) =\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \,\rightarrow \, \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \hat{\boldsymbol{\phi}}\,\,(\rho<R) $$

가 된다. 이상의 결과를 정리하면,

$$ \displaystyle \mathbf{B}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mu_{0}I}{2\pi R^2}\rho \hat{\boldsymbol{\phi}} & \quad (\rho<R)\\ \\ \displaystyle \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{\rho} \hat{\boldsymbol{\phi}}& \quad (\rho>R)\end{array}\right. $$

임을 알 수 있다. 특히나, $$\rho>R$$인 경우는 비오-사바르 법칙을 이용하여 구했던 무한 도선이 만드는 자기장의 결과와 같은 것을 알 수 있다.

2.2.2. 무한 평면

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위 그림과 같이 $$xy$$평면에 놓여있는 아주 넓고, 얇은 전도성 도체판에 표면 전류 밀도 $$\mathbf{K}=K\hat{\mathbf{y}}$$로 전류가 흐를 때, 자기장을 구해보자. 위 문제에선 $$x,\,y$$에 대한 대칭성 때문에 자기장은 $$z$$에만 의존하므로 다음과 같이 주어진다.

$$ \displaystyle \mathbf{B}(z)=B_{x}(z)\hat{\mathbf{x}}+B_{y}(z)\hat{\mathbf{y}}+B_{z}(z)\hat{\mathbf{z}} $$

또, 장의 대칭성 때문에

$$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle B_{x}(z)=-B_{x}(-z)\\ B_{y}(z)=B_{y}(-z) \\ \displaystyle B_{z}(z)=-B_{z}(-z)\end{array}\right. $$

다음과 같이 윗면과 아랫면의 면적이 $$S$$, 높이가 $$2z$$인 원기둥을 폐곡면으로 잡자.

이때, 자기장이 $$z$$에만 의존하므로 원기둥의 옆면을 통과하는 선속은 없다.[1] 폐곡면에 대한 총 선속은 [math(0)]이 되어야 하므로

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{a}=\left[B_{z}(z)-B_{z}(-z) \right]\cdot S=0 \,\rightarrow \,B_{z}(z)=B_{z}(-z) $$

[1] 이 부분이 이해가 안되는 위키러는 적당한 벡터를 두어 직접 옆면에 대해 면적분을 해보아라.

가 된다. 그런데 위에서 $$B_{z}(z)=-B_{z}(-z)$$ 또한 만족해야 하는데, 이 두 조건을 동시에 만족하기 위해선

$$ \displaystyle B_{z}(z)=0 $$

즉, 구하는 자기장의 $$z$$성분은 없다는 것을 알 수 있다. 이번엔 앙페르 법칙을 이용하기 위해, 다음과 같이 가로와 세로 길이가 각각 $$a,\,2z$$인 직사각형을 폐곡선을 잡는다.

우선 ①과 같이 폐곡선 안에 전류가 들어오지 않게끔 $$\mathbf{K}$$와 평행한 방향으로 잡은 경우를 생각해보자. 구하는 자기장은 $$z$$에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또한, 폐곡선안으로 유입되는 전류가 없으므로

$$ \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\left[B_{y}(z)-B_{y}(-z) \right]\cdot a=0 \,\rightarrow \,B_{y}(z)=B_{y}(-z) $$

가 된다. 그런데 이것은 아까 대칭성에서 도출됐던 조건이다. 따라서 구하는 자기장의 $$y$$성분은 상수가 되어야함을 알 수 있다. 그러나, 위 문단에서도 논의했듯, 전류가 자기장을 만드것을 논의하고 있으므로 그 상수를 0으로 놓는 것이 합당하다. 따라서

$$ \displaystyle B_{y}(z)=0 $$

즉, 구하는 자기장의 $$y$$성분은 없다는 것을 알 수 있다.
다음으로, ②와 같이 폐곡선 안에 전류가 유입되게 폐곡선을 잡는다. 이때, 방향은 $$\mathbf{K}$$와 직교하는 방향이다. 마찬가지로 구하는 자기장은 $$z$$에만 의존하므로 세로 부분에 대한 적분은 상쇄된다. 또, 폐곡선 안에 유입되는 전류는

$$ \displaystyle I_{\text{enc}}=Ka $$

이므로, 앙페르 법칙을 적용하면,

$$ \displaystyle \displaystyle \oint \, \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\left[B_{x}(z)-B_{x}(-z) \right]\cdot a=\mu_{0}Ka \,\rightarrow \,B_{x}(z)-B_{x}(-z)=\mu_{0}K $$

그런데 위에서 대칭성에 의해 $$B_{x}(z)=-B_{x}(-z)$$ 또한 만족해야 함을 도출했으므로 두 식을 연립함으로써 다음을 얻는다.

$$ \displaystyle B_{x}(z)=\frac{\mu_{0}K}{2} $$

좀 더 자세히 쓰면,

$$ \displaystyle \mathbf{B}=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\mu_{0}K}{2}\hat{\mathbf{x}}&\qquad(z>0)\\ \\ \displaystyle -\frac{\mu_{0}K}{2}\hat{\mathbf{x}}&\qquad(z<0)\end{array}\right. $$

로 쓸 수 있고, 이것은

$$ \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{2}(\mathbf{K} \times \hat{\mathbf{n}}) $$

로도 쓸 수 있다. $$\hat{\mathbf{n}}$$은 각 영역에서 도체판 표면의 법선 벡터이다.
여담으로 이 결과는 비오-사바르 법칙으로도 도출해낼 수 있다. 맨 위 그림에서 미소 길이 $$dx$$에 흐르는 미소 전류 $$dI=K\,dx$$는 무한 직선 도선에 전류가 흐르는 것과 같이 취급할 수 있음을 이용하면 된다.

3. 맥스웰의 수정

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거시적인 전자기장의 방정식은 아래의 네 가지로 나타낼 수 있다. 식에 대한 자세한 설명은 맥스웰 방정식을 참고하는 것을 권한다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}&= \rho_{f} \\ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=0 \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}&= \mathbf{J}_{f} \end{aligned} $$

맥스웰이 수정을 거치기 전 까지 당대의 사람들은 거시적인 전자기장의 모습은 위와 같은 네 식으로 표현할 수 있다고 믿었다. 그러나, 맥스웰은 마지막 식인 앙페르 법칙에 모순이 있다는 것을 아래와 같이 발견하게 된다.
마지막 식에 발산 연산을 하면, 좌변의 경우 회전을 취하고, 발산을 취했으므로 0이 돼야 한다. 즉,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H})=0 $$

그런데 우변의 경우엔 연속 방정식에 의해

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=-\frac{\partial \rho_{f}}{\partial t} $$

를 만족한다. 그런데 $$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=0$$을 만족하는 경우는 정상 전류(Steady current)일 때만 가능하고, 일반적으로는 정상 전류가 아닌 경우가 많다. 즉, 일반적으로는

$$\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f} \neq 0$$

이다. 즉, 벡터해석학적(수학적)으로 접근했을 때와 전자기학적으로 접근했을 때, 등식이 성립되지 않는 것이다. 이때, 맥스웰은 가우스 법칙인 맨 위의 식을 활용하여 이 식을 수정하게 되는데,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=-\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{D}) $$

발산 연산과 시간 미분은 독립적이므로 아래와 같이 처리하면,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{f}=\boldsymbol{\nabla} \cdot \left( -\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \right) \rightarrow \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} \right)=0 $$

을 만족하게 되고, 이상에서 아래와 같이 앙페르 법칙을 수정하게 되면, 벡터해석학적으로도, 전자기학적으로도 모순이 없는 식으로 다시 나오게 된다.

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{H}= \mathbf{J}_{f}+\frac{\partial \mathbf{D} }{\partial t} $$

이렇게 수정된 식을 '''앙페르-맥스웰 법칙'''이라 하기도 한다. 이것을 기초로 하여, 맥스웰은 전자기 진동 방정식을 유도하였고, 전자기파의 존재를 수학적으로 증명하기에 이른다.
또한, 추가된 항은 변위 전류와 관계있으며, 자세한 내용은 전자기파 문서를 참조하라.

4. 관련 문서

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• 물리학 관련 정보
• 자기장
• 맥스웰 방정식