자유전자 모델
1. 개요
격자 구조 내부의 원자가 전자(valence electron)들은 페르미-디랙 통계를 따르는데, 이 전자들 간의 상호작용과 원자핵의 퍼텐셜을 무시하는 것이 자유전자 모델이다. 결국 고체 내의 전자가 페르미 기체로 근사하는 모델. 금속을 설명할 때 많이 사용된다.
대학교 때 양자역학 시간에 수소원자의 전자궤도에 대해 배우다보면 알겠지만, 원자핵이 두개 이상, 즉 수소 분자 모델만 되어도 전자-전자, 원자핵-전자, 원자핵-원자핵 등 상호작용에 대해 고려하다보니 설명이 그리 만만치 않다는 것을 느낄 것이다. 그렇다보니 분자를 넘어서는 금속 결정 같은 거대한 구조에서는 고려해야 할 상호작용의 개수가 정말 무시무시하게 많아 도저히 정확히 풀어낼 수 없다. 그래서 '우리 그냥 심플하게 상호작용 같은 거 고민하지말고, 원자핵이나 다른 전자와 상호작용하지 않는 자유전자들로 기술하자!'라는 아이디어가 바로 자유전자 모델이다.
이 모델에서는 각 격자점에 고정된 원자핵이 존재하고 원자핵 주변에 자유 기체와 비슷한, 상호작용하지 않는 전자들이 자유롭게 퍼져있는 상황을 가정한다. 자유 전자들이 물체의 전도율이나 열용량을 결정하게 된다.
허나 이러한 기술은 전제조건에서 설명한 것처럼, 원자핵과 전자간의 상호작용의 크기가 작아야 잘 맞아 들어간다. 이러한 가정에 잘 맞는 게 바로 금속, 특히 알칼리 금속 계열의 금속 원소들이 가정한 모델과 가장 잘 맞았기 때문에, 주로 금속의 물성을 설명하는데 쓰인다.
2. 불일치 사실의 발견
자유 입자의 열용량은 $${3 \over 2}k_B$$에 자유입자의 개수를 곱한 값이다. 헌데, 실제로 전자가 열용량에 영향을 미치는 정도는 위 값보다 압도적으로 작다는 것이 문제였다. 이렇게 되면 자유 전자 모델로는 전혀 열용량을 설명할 수 없다는 문제가 생기게 된다!
이는 당시에 전자 궤도와 파울리 배타 원리와 같은 페르미온의 특성이 알려져있지 않다보니 생긴 일이었다. 이러한 문제는 양자역학과 통계역학의 발전을 통해 해결되는데, 전자는 페르미-디락 분포를 따른다는 결과를 얻게 된 것이다. 이를 통해 원자 내부에 있는 전자들이 '전부' 에너지를 받아 들뜨는 것이 아니라 페르미 준위에서 특정 에너지의 범위 안에 있는 일부 전자들만이 자유전자가 된다는 사실을 알게 된 것이다.
이러한 수정을 통해 열전도율이나 홀 효과, 비저항값 등을 더욱 자세하게 설명할 수 있게 되었다.