전체 확률의 법칙

1. 개요

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'''전체 확률의 법칙'''(law of total probability) 또는 '''전확률 정리'''는 조건부 확률과 관계된 법칙이다. 조건부 확률로부터 조건이 붙지 않은 확률을 계산할 때 쓸 수 있다. 또한 베이즈 정리 공식의 일부에 전확률 정리 공식이 들어간다.
사상(집합) A는 사상 B의 부분 사상이고, 사상 B가 사상 B₁, B₂, ..., B_k로 나눌 수 있을 때 전확률 공식이 성립한다.

P(B) $$ $$ = P(B \cap A) $$ $$ = P(B \cap A_1) + P(B∩A_2)$$ $$ = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$$

2. 정리 유도

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조건 1. B는 상호 배타적임. ($$ B_i \cap B_j = 0 (i \neq j)$$)
조건 2. B의 합집합은 전체 표본공간임. ($$B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega $$)

$$\begin{aligned}P(A)&= P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) +\cdots\\&= \sum_{i=1}^n P(A \cap B_i)\\&= P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots \\&= \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\end{aligned}$$

3. 관련 문서

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• 조건부 확률
• 곱셈 공식
• 베이즈 정리