곱셈 공식

 


1. 개요
2. 공식
2.1. 인수분해 공식
3. 집합과 확률에서 곱셈 공식
4. 관련 문서


1. 개요

다항식을 전개할 때 자주 나오는 꼴, 즉 기본적인 꼴을 정리한 것이다. 이를테면 $$ \left(a+b\right)\left(a-b\right) $$ 는 $$ \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 $$ 와 같이 분배법칙을 써서 전개한 다음 교환법칙, 결합법칙 등을 써서 간단히 할 수 있다. 이때 전개한 결과 '''$$ \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 $$'''은 자주 나오는 꼴[1]이므로 공식처럼 기억하고 있으면 많은 도움이 된다. 이렇게 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있다. 곱셈 공식은 일종의 항등식임은 물론이다.
반대로 전개한 것을 도로 묶는 것을 인수분해라고 한다. 곱셈 공식과 인수분해를 적절히 사용하면 곱셈이 한결 쉬워진다. 당장 64×56과 602 - 42 의 계산식이 그 예.
형돈이와 대준이가 이를 주제로 <중2 수학은 이걸로 끝났다>라는 노래를 내놓았다. 뮤직비디오에 연습 문제가 나온다. 수준 때문에 이차식이 되는 것만 나온다. 근데 교육과정이 바뀌어서 '중3 수학은 이걸로 끝났다'로 제목을 바꿔야 할지도?
페이커도 곱셈공식의 중요성을 알고 있다. #
또한, 곱셈공식은 기하학적으로 접근했을 때 정말 간단하고 오랫동안 외울 수 있다. 왜냐면, 2차 완전제곱은 기본적으로 정사각형과 직사각형의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 구체적으로, 이차 완전제곱인 '''$$ \left(a+b\right)^2 = a^2+2ab+b^2 $$''' 은 아래 움짤처럼 나타낼 수 있다.
[image]
이 움짤에 대한 설명
세제곱은 아래 움짤처럼 부피의 합으로 로 볼 수 있을 것이다.
[image] 이 움짤에 대한 설명

2. 공식

다음은 대표적인 곱셈 공식이다.
$$ \left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ \left(a-b\right)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
$$ \left(a+b\right)\left(a-b\right) = a^2 - b^2 $$
$$ \left(x+a\right)\left(x+b\right) = x^2 + \left(a+b\right)x + ab $$
$$ \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) = acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd $$
$$ x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (x-y)^2 + 2xy $$
$$ (x-y)^2 = (x+y)^2-4xy $$
$$ (x+y)^2 = (x-y)^2+4xy $$
$$ \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2-2 $$
$$ \displaystyle x^2+\frac{1}{x^2} = (x -\frac{1}{x})^2+2 $$
여기까지가 중학교 과정이다. 2015 개정 교육과정 기준으로 중학교 3학년 1학기 과정에 나온다.[2] 2009 개정 교육과정에서는 2학년 1학기 과정에서 이 공식들을 배웠으나, 이번에 인수분해와 함께 연계시키기 위해서 3학년으로 올린 듯.[3]
이 아래부터는 고등 수학 (상)에서 배우게 된다.
$$ \left(x+a\right)\left(x+b\right)\left(x+c\right) = x^3 + \left(a+b+c\right)x^2 + \left(ab+bc+ca\right)x + abc $$
$$ \left(a+b+c\right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc + 2ca $$
$$ \left(a+b\right)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, \left(a-b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$
$$ \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^3 + b^3, \left(a-b\right)\left(a^2 + ab + b^2\right) = a^3 - b^3 $$
$$ \left(a+b+c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc $$[4][5]
$$\frac{1}{2}\left(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)=a^3+b^3+c^3-3abc$$ [6]
$$ \left(a^2 + ab + b^2\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = a^4 + a^2b^2 + b^4 $$
[7]
의외의 사실이지만 초등학교 수학에서 $$-1$$제곱에 대한 곱셈 공식을 가장 먼저 배운다. 눈썰미가 좋은 사람이라면 이것의 정체가 '''통분'''임을 알았을 것이다.
$$(a \pm b)^{-1} = \pm (a \pm b)(ab)^{-1} = \pm \dfrac{a \pm b}{ab}$$

2.1. 인수분해 공식

곱셈 공식의 좌변과 우변을 바꾼 것이다.
예시는 다음과 같다.
$$a^2 + 2ab + b^2 = \left(a+b\right)^2$$
$$ a^2 - 2ab + b^2 = \left(a-b\right)^2$$
$$a^2 - b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)$$
$$x^2 + \left(a+b\right)x + ab = \left(x+a\right)\left(x+b\right)$$
$$ acx^2 + \left(ad+bc\right)x + bd = \left(ax+b\right)\left(cx+d\right) $$
고등학교 과정의 인수분해 공식 또한 비슷하게 할 수 있다.

3. 집합과 확률에서 곱셈 공식

[image]
$$ P(A|B) = \frac{P(B \cap A)}{P(B)} $$
$$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) = P(B \cap A) = P(B|A)P(A) $$
A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)
[image]
정의) $$A_1, A_2$$는 $$A$$의 파티션(서로 상호 배타적이고 합하면 $$A$$가 나오는 집합)이다.
$$ P(B) $$
$$ = P(B \cap A) $$
$$ = P(B \cap A_1) + P(B∩A_2)$$
$$ = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$$
$$ P(A_1|B) $$
$$\displaystyle = \frac{P(B \cap A_1)}{P(B)}$$
$$\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}$$
$$\displaystyle = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)}$$

4. 관련 문서



[1] 특히 복소수의 절댓값, 복소 벡터의 내적을 구할 때 필수적이다.[2] 2018학년도 중학교 신입생부터 적용[3] 그 대신 피타고라스 정리가 2학년으로 내려왔다. 다만 무리수를 배우지 않았다는 점을 들어 자연수 범위에서의 피타고라스 수만을 다룬다. 이렇게 한 이유는 중2 나이대에 피타고라스 정리를 배우는 다른 나라들과 달리 무리수와 묶어서 중3 나이대에 배워 국제적으로 학력을 비교 평가할 때 문제가 된다는 이유에서이다.[4] $$-3abc$$를 이항시켜서 외워도 좋다.[5] 이게 중요한 것이, $$a+b+c=0$$이라면 $$3abc=a^3+b^3+c^3$$이 된다.[6] 위의 식에서 변형한 모습이다. 이 형태의 곱셈공식은 주로 $$a^3+b^3+c^3-3abc=0$$이라는 조건과 함께 나와서 $$a=b=c$$를 알아내는데 쓰인다.[7] 어차피 고등수학 참고서에서 중학교때 공식을 한번 더 언급해준다.

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