질점의 운동역학
1. 질점의 속도
이 문서의 내용을 이해하기 위해서는 벡터에 대한 기본적인 지식이 필요하다. 벡터 문서 참조.
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어떤 시각 $$ t $$에 입자가 A점으로부터 출발하여
시각 $$ t+\Delta\ t $$에 B점에 도달하는 정보를 담은 그림이다.
먼저 목적은 '''입자의 속도를 구하는 것'''이다.
입자의 위치벡터 $$ \mathbf r $$은 원점으로부터의 거리 $$ r $$ 와 단위벡터 $$ u_r $$를 갖는다.
$$\displaystyle \mathbf{r}=r\mathbf{u}_r$$
'''벡터는 특별히 볼드체로 표기하였음을 명심하자! $$ \bf r $$은 벡터이고 $$ r $$ 은 스칼라이다.)'''
극좌표를 사용하면 모든 단위벡터는 다음과 같이 표현 가능하다.
$$ \displaystyle \mathbf{u}_r( \theta ) = \cos \theta \, \hat{\mathbf{ i }}+ \sin \theta \, \hat{\mathbf j} $$
벡터 $$\mathbf{r}(t)$$와 $$\mathbf{r}(t+\Delta t)$$를 나타내면
$$\displaystyle \mathbf{r}(t)=r \cos \theta \, \hat{\mathbf i} + r \sin \theta \, \hat{\mathbf j} $$
$$ \displaystyle \mathbf{r} (t+\Delta t) =\\ (r+\Delta r) \cos( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{i }}+ (r+\Delta r) \sin( \theta + \Delta \theta) \hat{\mathbf{j }}$$
이제 입자의 속도를 구해보자.
$$\displaystyle \mathbf{v} = \frac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} $$ 에서
매우 짧은 시간 간격 $$\Delta\ t \approx 0$$에 대하여
매우 짧은 각의 변화 $$\Delta\ \theta\approx 0$$ 으로 취급할 수 있고,
삼각함수의 성질
$$ \displaystyle \sin( \theta + \Delta \theta ) =\sin\theta \cos\Delta\theta + \cos\theta \sin\Delta\theta $$
$$ \displaystyle \cos( \theta + \Delta \theta ) =\cos\theta \cos\Delta\theta - \sin\theta \sin\Delta\theta $$
을 이용하여
$$ {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\mathbf{r}(t+ \Delta\ t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} $$를 $$ \bf \hat i , \, \hat j $$ 성분끼리 정리하면
$$ \bf \hat i $$성분 :
$$\bf \hat j $$성분 :
여기서 $$ \sin \Delta\theta \approx \Delta\theta , \cos \Delta\theta \approx 1 $$를 이용하여 다시 간단히 하면
$$ \bf \hat i $$성분 :
$$ \bf \hat j $$성분 :
매우 짧은 시간 간격 $$\Delta\ t \approx 0$$에 대하여
매우 짧은 거리 변화 $$\Delta\ r \approx 0$$일 것이므로
$$ \bf \hat i $$성분 :
$$ \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} (\dfrac{\Delta r \cos \theta}{\Delta t} - \dfrac{r \sin \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) $$
$$ \bf \hat j $$성분 :
$$ {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} (\dfrac{\Delta r \sin \theta}{\Delta t} + \dfrac{r \cos \theta\Delta\theta}{\Delta t} ) $$
$$ {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}} \dfrac{\Delta \mathrm r}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} $$를 반지름 방향 속도 $$ \bf \dot{r} = v$$ 라 정의하고
$$ \displaystyle \lim_{\Delta t\to 0} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$$를 각속도 $$ \dot \theta = \omega $$ 라 정의하면
$$ \mathbf {v} = \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ \mathbf{r} (t+ \Delta t) - \mathbf{r} (t)}{\Delta t} = \\ ( \dot{r} \cos \theta - r \omega \sin \theta ) \hat{\mathbf i} + ( \dot{r} \sin \theta + r \omega \cos \theta ) \mathbf{ \hat {j}}$$ 를 얻으며,
만약 각속도 벡터 $$ \vec{\omega} = \omega \mathbf{k} $$ 를 정의하면
최종적으로 식 $$ \bf v = \dot{r} u_\mathit{r} + \omega \times r $$가 성립한다. [1]
2. 방향벡터의 도함수
식1 의 $$ v $$ $$ = $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + \omega \times $$ $$ r $$ 를 잘 보자,
이는 $$ r $$ $$ = $$ $$ r $$ $$ u_r $$의 양변을 시간에 대해 미분한 것과 같다.
미분 해 보면,$$ \dot{r} $$ $$ = $$ $$ v $$ $$ = $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + $$ $$ r $$ $$ \dot{u}_r$$
이는 목차 1에서 구한 $$ v $$ $$ = $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + \omega \times $$ $$ r $$와 같아야 하므로 다음이 성립한다.
$$ r $$ $$ \dot{u}_r = \omega \times $$ $$ r $$
양 변을 $$ r $$ 로 나누어 더 간단히 정리하면
$$ \dot{u}_r = \omega \times u_r $$ [2]
3. 질점의 가속도
정의에 따라 식 1을 $$ v $$ $$ = $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + \omega \times $$ $$ r $$ 를 시간에 대해 미분하기만 하면
$$ \dot{v} $$ $$ = $$ $$ a $$ $$ = $$ $$ \ddot{r} $$ $$ u_r + $$ $$ \dot{r} $$ $$ \dot{u_r} + $$ $$ \dot{\omega} \times $$ $$ r $$ $$ + $$ $$ \omega \times $$ $$ \dot{r} $$ 여기서 식 1과 2에 의해
$$ \dot{r} $$ $$ = $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + \omega \times $$ $$ r $$ 와
$$ \dot{u_r} = \omega \times u_r $$ 가 성립하므로
$$ a $$ $$ = $$ $$ \ddot{r} $$ $$ u_r + $$ $$ \dot{r} $$ $$ \omega \times u_r + $$ $$ \dot{\omega} \times $$ $$ r $$ $$ + $$ $$ \omega \times $$ $$ {( } $$ $$ \dot{r} $$ $$ u_r + \omega \times $$ $$ r $$ $$ {)} $$ 괄호 항을 전개하여 정리하면 최종적으로
$$ a $$ $$ = $$ $$ \ddot{r} $$ $$ u_r + 2$$ $$ \dot{r} $$ $$ \omega \times u_r + $$ $$ \dot{\omega} \times $$ $$ r $$ $$ + $$ $$ \omega \times {( } $$ $$ \omega \times $$ $$ r $$ $$ {)} $$ [3]
식 3의 $$ 2 $$ $$ \dot{r} $$ $$ \omega \times u_r $$ 을 '''코리올리 가속도'''라고 하며, 자세한 건 전향력 문서 참조.