벡터
vector
1. 정의
'벡터 공간'(vector space)[1]의 원소.
대중적인 정의는 (고등학교 수학 혹은 물리학에서의) '''크기와 방향을 가진 물리량'''을 가리키지만, 이는 유클리드 기하적 벡터만을 가리키는 좁은 정의다.[2] 수학에서 벡터 공간의 종류는 이보다 다양하므로 물리적 직관만을 함부로 적용하기 어려운데, $$n$$개의 변량의 선형결합[3]으로 이루어진 벡터 공간을 기본으로 해서 함수들로 이루어진 벡터공간도 존재하고,[4] 벡터 공간으로 이루어진 벡터 공간도 존재한다.[5] 벡터공간의 수학적인 정의는 아래와 같으며, 이 벡터공간의 원소를 벡터라 한다.
'''다시 말해''' '어떤 상수들의 집합'과 '벡터공간으로 정의할 집합'이 있는데 '어떤 상수들' 간에 덧셈과 곱셈이 잘 정의되고, 이들에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며,(다만 0에 대한 역원은 제외) '벡터공간으로 정의할 집합' 내에서 덧셈이 잘 정의되고, 이에 대해 결합법칙과 교환법칙이 성립하고, 항등원과 역원이 있으며, '''상수들과의''' 곱셈이 잘 정의되고, 이에 대해 분배법칙과 결합법칙이 성립하면 모조리 벡터 공간이 된다. 더 쉽게 줄이면, '''수집합과 관계가 잘 정의되어 있는 집합. 그 집합의 원소가 벡터다.'''
여담으로 위 정의를 잘 들여다 보면 체 $$ F $$ 그 자체도 벡터의 정의를 만족함을 알 수 있다. $$ \left( F,+\right) $$는 가환군이고, 체에서 정의된 곱셈$$ \left( F,\times\right) $$도 스칼라 배로 보는 것이 가능하기 때문이다. 그런 의미에서 체 $$ F $$는 스칼라 $$ F $$ 위에 정의된 벡터공간이라는, 물리학적으로 생각하면 말이 안 되는 문장도 성립한다.
심지어 "한 체를 다른 체 위에서의 벡터공간이라고 보자"라는 말도 가능하다. 예컨대, "실수(real numbers)로 이루어진 집합 $$V$$를 유리수체 위의 벡터공간이라고 보자."라는 선언이 가능하다. 이 경우 $$V$$는 무한차원임을 보일 수 있다.[8]
여담으로 벡터라는 용어를 수학계에 도입한 것은 사원수를 만든 것으로 유명한 윌리엄 로원 해밀턴인데 그가 쓰던 벡터는 현대어로 치면 허수부와 같다. 그리고 실수부를 뜻하는 말로 쓰던게 바로 스칼라. 사원수 곱셈에서 유도된 3차원 벡터의 내적과 외적은 이런 역사를 보여주는 것이다.
1.1. 표기법
일반적으로 표기 기호로는 이탤릭이 아닌 정체의 볼드체를 사용하여 $$\mathbf{v}$$로 많이 쓴다. 화살표를 사용하여 $$ \vec{a} $$[9]라 쓰기도 하는데, 앞서 나온 것과 같이 방향이 존재하지 않을 수 있는 벡터를 다루는 고급 이론으로 갈수록 이런 기호를 보기 힘들다. 미적분학에서는 타전공 학생들이 같이 듣는 경우가 많으니만큼 신경써서 화살표를 빼먹지 않고 써주는 친절한(?) 교수자라도, 선형대수학 첫 학기, 그 중에서도 특히 벡터 공간을 다루는 챕터에서부터는 화살표를 노골적으로 생략하기 시작한다. 물론 이렇게 생략하는건 책 쓰거나 가르치는 교수들이나 익숙한 법. 교수나 채점하는 조교들은 학생들이 어떻게 쓰든 알아봐야 하기에 어지간한 표기법에는 이골이 나 있지만, 미적분과 선형대수를 처음 배우는 학생들은 이 벡터 기호를 필기하는데 익숙해지지 않아서 짜증나는 일을 많이 겪는다. 벡터를 스칼라랑 구분하고자 화살표나 꺾쇠[^], 물결[~], 밑점, 밑줄[10], 윗줄[11], 라틴 문자 겹쳐쓰기, 인쇄체로 쓰기[예], 벡터에 컴퓨터용 사인펜 사용하기[12] 등 기기묘묘한 노테이션을 끌어와 버텨보려 해도 본격적으로 벡터공간을 다루기도 전에 다변수 미적분학에서부터 편미분, 선적분 기호를 쓰다보면 어느새 유체이탈 필기체가 등장하기 일쑤. 이런 데에 쓰라고 이른바 칠판 볼드체라 하는 수학계의 암묵의 룰이 있기야 하지만, 정작 교과서들도 벡터와 벡터성분의 볼드체 처리를 자주 혼동하여 독자들의 머릿속을 어지럽히기도 하고, Strang저 선형대수학이나 Friedberg저 선형대수학처럼 오랜 역사와 전통을 자랑하는 일부 명저나 옛날 책들 중에는 독자들을 위한 최소한의 배려라 할 수 있는 이런 볼드체 처리마저 안 해놓는 사례도 적지 않다. 이런 표기법에 구애받지 않고 아무렇게나 찍찍 쓰는 무신경한 수준이 되려면 수학과 학부과정에서 미분기하학을 배우는 시점은 되어야 한다. 미분기하학 첫 학기부터 두뇌를 핑핑 돌리는 벡터장의 소용돌이를 경험하면, 죽이 되든 밥이 되든 다들 해탈해 있다.[13] 또한 손글씨로 써봤자 일반 글씨와 구분이 될리 만무한 이탤릭체나 오리지널 볼드체와 달리 보통 세로줄만 두 번 긋는 방식으로 쓰는 특성상 그나마 구분이 가능한 칠판체는 벡터보다도 사실 IN([math(\mathbb N)]), IR([math(\mathbb R)]) 처럼 수 체계 표시에서 더 흔하게 쓰이기 때문에 또 다른 혼동을 초래할 수도 있으며[14], 심지어 벡터 공간 그 자체를 뜻하는 칠판체 기호($$\mathbb V$$)가 따로 있다.
양자역학에서는 홑화살괄호를 사용해 ]로 표기한다. 다만 양자역학 밖에서는 쓰임이 없다시피하다.
1.2. 항등원
덧셈에 대한 항등원이 존재한다. 이를 영벡터라고 하며 0을 볼드체로 하여 $$\mathbf{0}$$로 표기한다.
곱셈에 대한 항등원은 일반적으로 존재하지 않는다. 애초에 두 벡터의 곱셈 연산자가 일반적으로 정의되지 않는다. 스칼라배(scalar multiplication)는 벡터간의 연산이 아니고, 내적과 외적(tensor product)은 결과값이 벡터인 연산자가 아니며, 외적(cross product)은 3차원 벡터공간에서만 정의된다. 더군다나 외적(cross product)의 항등원은 존재하지 않는다. 이는 다음을 통해 보일 수 있다.
외적의 항등원 $$\mathbf{e}$$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 항등원의 정의에 의해 $$\mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{e}$$가 성립하여야 한다. 한편 외적의 성질에 의해 $$\mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{0}$$이다. 즉 $$\mathbf{e} = \mathbf{e}\times\mathbf{e} = \mathbf{0}$$이므로, 외적의 항등원이 존재한다면 $$\mathbf{0}$$이어야 한다. 그러나 이는 모순임을 알 수 있다. $$\mathbf{0}$$이 아닌 임의의 벡터 $$\mathbf{u}$$을 잡았을 때, $$\mathbf{u}\times\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{u}$$이기 때문이다.
1.3. 단위벡터
크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 하며 정의는 다음과 같다. $$\mathrm{sgn}$$는 부호 함수를 뜻한다.
$$\hat{\mathbf{a}} = \mathrm{sgn}\,\mathbf{a} = \dfrac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}$$ (단, $$\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$$)
[1] 벡터에 대해 정의된 각종 연산법칙(벡터 간의 덧셈과 스칼라배)이 정의되는 공간.[2] 사실 물리학적으론 여기서 반사에 대해 변위처럼 변환된다라는 조건이 필요하다. 그렇지 않으면 유사벡터(pseudovector)라 부른다. 중국에서는 이를 반영한 '''향량(向量)'''이라고 옮겼다.[3] 이 $$n$$의 크기에 따라 $$n$$차원 벡터 공간이라고 한다.[4] 그래도 양자역학 등 물리에서 쓰이기는 한다. 통신, 신호처리에서도 신호공간이라는 걸 사용해서 함수를 벡터 취급 하는데, 벡터를 투영해서 신호에 들어있는 잡음을 제거하고, 두 벡터 사이의 거리를 측정해서 신호가 얼마나 닮았는지 측정하는 등 열심히 써먹는다.[5] 이런 경우 함수가 곧 벡터가 되고 벡터공간이 곧 벡터가 된다. 물리학은 그나마 현실세계의 끈을 부여잡고 있기 때문에 어느 정도 직관이 통하지만, 그런 게 없는 수학에서는 상식이란 게 전혀 통하지 않는다. 확장 개념으로 텐서가 존재한다.[6] 아주 간단히 말해 사칙연산이 상식대로 성립하는 것.[7] $$u, v \in V \Rightarrow u + v \in V$$[8] Friedberg et al. ''Linear Algebra'', Section 1.7, Exercise 3. 물리학적 직관을 뛰어넘는 수학적 자유로움을 보여주는 아름다운 문제다. 문제에 제시된 힌트를 사용하면 증명이 어렵지 않으니 관심 있는 위키러는 찾아서 풀어보자.[9] 특히 유클리드 공간상의 벡터라면 100% 이 표기를 쓴다.[^] 일명 hat. 벡터에다 해당 벡터의 norm의 역수를 곱함으로써 방향은 같되 크기를 1로 맞춰버린 단위벡터를 표시하는데 쓰이곤 한다.[~] 틸드(tilde)[10] 밑점과 밑줄은 유튜브 등지에 올라있는 초심자들을 위한 강의에서 흔히 보이는 표기법이지만, 선적분을 배우다보면 헷갈리고 귀찮아진다.[11] 무게중심이나 평균값 등의 계산에서 자주 볼 수 있는 기호이나, 그래도 벡터 표기에서 쓰이는 경우는 드물다. 게다가 복소벡터는 윗줄이 켤레복소수를 뜻하기 때문에 혼동이 생긴다.[예] x를 예로 들면 일반 미지수로 쓸 땐 필기체로 쓰던 문자를 벡터로 쓸 때는 인쇄체처럼 쓰는 식. 그러나 이 경우 벡터곱 기호와 헷갈리는 치명적인 문제가 발생한다. [12] 굵게 쓰는건 쉬워지지만 사용하는 필기도구가 두 개로 늘어나다 보니 귀찮아지는 동시에 필기구를 헷갈리는 사태가 생긴다.[13] 미적분학에서는 $$\mathbf{i}$$, $$\mathbf{j}$$, $$\mathbf{k}$$로 써주던 3차원 표준기저벡터도 선형대수학, 미분기하학에서는 그냥 $$\mathbf{e_1}$$, $$\mathbf{e_2}$$, $$\mathbf{e_3}$$, ...로 쓰는 경향이 있다. 시각화가 가능한 3차원만 다루는게 아니니까 어쩔 수 없는 부분이지만, 이게 초심자의 입장에서는 사실상 화살표도 칠판체도 절대 쓰지 말라는 무언의 압박으로 느껴진다. 그리고 본격적으로 벡터장을 돌릴수록 초심자들은 필기체를 손에 익힐 여유조차 없이 허둥지둥 교수자의 판서, 교과서의 표기를 받아쓰기 급급해진다. Thomas Banchoff저서처럼 벡터마다 일일이 화살표를 써준 미분기하 교과서도 드물게 있기야 있지만 이들은 어디까지나 예외적인 사례. [14] 예외적으로 $$\mathbb E$$는 기댓값을 나타내는데 쓰인다. 또한 일부 교수자나 책에 따라서는 미분기하학에서 유클리드 공간을 나타내는 기호 E를 $$\mathbb E^2$$, $$\mathbb E^3$$ 등으로 칠판체화하여 쓰기도 한다. 또한 수 체계를 나타내는 기호들 중 $$\mathbb N$$은 볼드체 손글씨를 칠판체로 쓰는 사람들의 입장에서는 곡선론에서 지겹도록 쓸 문자이기 때문에 괜히 혼동을 초래하는 수가 있다. 물론 미분기하학에서 자연수 기호를 쓸 일은 많지는 않지만 그래도 이를 방지하기 위해 자연수를 $$\mathbb Z$$+로 쓸 것을 고집하기도 한다.
2. 연산
2.1. 덧셈
대응되는 스칼라 값끼리 더해서 새로운 벡터를 만들 수 있다. 교과서에서 흔히 두 벡터 중 하나를 평행이동시켜 평행사변형을 그려서 설명하는 것이 이 과정이다.
$$ \mathbf{ a } + \mathbf{ b } = \left( a_{ 1 } + b_{ 1 },\ a_{ 2 } + b_{ 2 },\ a_{ 3 } + b_{ 3 } \right) $$
2.2. 상수배(= 실수배)
일반적인 곱셈. 그냥 각 항에 스칼라를 곱해주면 된다. 그래서 설명대로 흔히 scalar multiplication 이라고 부른다. 실수배인 벡터끼리는 서로 평행하다.
$$ k \mathbf{ a } = \left( ka_{ 1 }, ka_{ 2 }, ka_{ 3 } \right) $$
이 중 $$k=-1$$인 경우를 $$\bold a$$의 역벡터(inverse vector)라고 하며, 벡터의 덧셈에 대한 역원이 된다.
2.3. 스칼라곱
$$ \mathbf{ a } \cdot \mathbf{ b } = \lVert\mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta = \det {\bold a}^{\ast}{\bold b} = \overline{a_{ 1 }}b_{ 1 } + \overline{a_{ 2 }}b_{ 2 } + \overline{a_{ 3 }}b_{ 3 } $$
dot product, 도트곱, 점곱
다른 말로 내적이라고 불리며, 두 벡터를 연산했을 때, 결과가 스칼라이다. 학부 수준에서의 내용은 내적 문서 참조. $$\langle\mathbf{a},\mathbf{b} \rangle$$ 로 표기하기도 한다.
벡터 $$\bold a$$의 성분에 켤레가 취해져 있는데, 내적이 성립하기 위해서는 두 벡터 중 하나의 허수부 부호가 반대가 되어야 하기 때문이다.[15][16]
2.4. 벡터곱
cross product, 크로스곱, 가위곱
달리 외적[17]이라고 불리며, 연산결과가 벡터[18]다. 연산 과정에서 뺄셈이 들어가므로 교환법칙은 성립하지 않으며, 굳이 자리를 바꾸고 싶으면 벡터 하나의 부호를 바꿔야 한다. 종종 오른손 손가락 3개로 벡터 간 외적 계산 결과를 이해시키곤 한다.
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a} = \mathbf{n}\lVert \mathbf{a}\rVert\lVert\mathbf{b}\rVert\sin\theta = ( a_2 b_3 - a_3 b_2 , a_3 b_1 - a_1 b_3 , a_1 b_2 - a_2 b_1 ) $$
여담으로, 성분 개수에 구애받지 않는 스칼라곱과는 달리 성분이 3개인 3차원 벡터에서 깔끔하게 계산이 되므로[19] 보통 3차원 벡터에서 많이 쓰인다. 3차원에서 벡터곱을 통해 나온 결과벡터 $$\mathbf{n}$$는 곱하기된 벡터 $$\mathbf{a}$$, $$\mathbf{b}$$ 모두에 수직이다. 이걸 사용하는 가장 대표적인 개념이 역학에서의 토크(회전력)과 전자기학에서의 자기력.[20][21]
또한 벡터곱의 특성상 동일한 벡터끼리의 연산결과로 영벡터가 나온다.
$$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} $$
2.5. 텐서곱
(기호 ⊗, outer product/kronecker product/tensor product)
연산결과가 텐서이며, 두 벡터 간의 행렬곱셈이다. 행렬곱셈의 특성상 당연히 이것도 교환법칙을 씹어먹는다. 만약 두 벡터 간의 순서가 바뀌면 원래 텐서의 전치행렬이 된다. 주의할 점은, '''앞쪽 항의 행렬을 켤레를 취하고 시계 방향으로 90도 돌려서''' 계산해야 한다는 것이다.[22] 물론 텐서 개념이 등장한 뒤에야 다루거나, 텐서의 수학적이고 엄밀한 정의에서 나오거나, 많이 추상화된 대수학에서 쓰이는 개념이다. 물리에선 양자역학에서 2자유도 이상을 다룰 때 본격적으로 등장하는 개념.
$$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \overline{a_1} \\ \overline{a_2} \\ \overline{a_3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline{a_1} b_1 & \overline{a_1} b_2 & \overline{a_1} b_3\\ \overline{a_2} b_1 & \overline{a_2} b_2 & \overline{a_2} b_3 \\ \overline{a_3} b_1 & \overline{a_3} b_2 & \overline{a_3} b_3 \end{bmatrix}$$
한편, 텐서곱의 주대각합은 내적이 된다.
$$\mathrm{tr}(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$$
3. 여담
자연계 과목을 선택한 고등학생들을 괴롭히는 수학 중 하나지만, 배운 후에는 유용한 개념. 힘들게 풀었던 기하문제들을 단숨에 풀 수 있다. 내적 역시 두 선이 이루는 각을 구할 때 사용하면 너무도 편하다.
특히 (고교 교육 과정 밖이지만) 외적을 배우면 벡터 문제가 아닌 공간도형이나 기하 문제 등에서 유용하게 쓸 수 있다. 예를 들어 평면 위에서 세 점이 주어져 있을 때, 삼각형의 면적을 구하는 문제는 '''외적을 계산할 줄 안다면''' 한 모서리를 기준으로 두 변을 벡터로 만들어 외적을 한 후 크기에다가 1/2만 곱해주면 끝난다. 흔히 말하는 신발끈 공식이 사실 외적이다.[23] 해당 식을 다시 정리하면 행렬식의 절댓값이 튀어나온다. 정확하게는 두 벡터의 외적을 해서 절댓값을 씌우면 두 벡터로 이루어진 평행사변형을 밑면으로 하고 높이 1인 평행육면체의 부피가 된다. 높이가 1이므로 평행육면체의 부피와 평행사변형의 넓이가 같다. 이 외에도 한 평면에 존재하는 두 벡터를 던져주고 그 평면의 법선벡터를 빠르게 구하거나 3차원에서 한 점으로부터 직선까지의 거리를 구할 수도 있다. 두 꼬인 직선 사이의 거리도 구하는 방법이 있다.
대학 과정의 수학, 물리학, 공학[24]에서 자주 이용되는 선형대수학이 벡터를 다루는 과목이나, 그때의 벡터는 기하학적인 것이 아니라 위에서 말했듯이 좀 더 일반화된 것이다. 당장 학부 수준의 물리학이나 미분방정식에서부터 함수를 벡터로 다루는 법을 배우게 된다. 이는 편미분방정식과 푸리에 해석에서 매우 중요한 역할을 하니 이공계열 대학생들이라면 확실히 익혀두자. 특히 물리학의 경우 양자역학이란 게 힐베르트 공간에서 함수를 벡터 취급해서 이러저러한 걸 하는 방식으로 이뤄져있기 때문에 일반화된 벡터라는 개념을 확실히 몸에 익혀놓아야 된다.
대학교 미적분학이나 그 이상의 과정에서는 벡터를 미분하거나 적분하는 일도 많이 있다. 이를 다변수 해석학, 간단히 벡터 해석학이라 한다.
이과생들만의 가장 자주 보게 되는 용어라고도 한다. 다만 일본에서는 문과도 벡터를 배운다. 한국에서도 대학에 가면 벡터를 해야 하는 문과 전공이 몇 개 있다.
[15] 내적의 공리 중 하나가 자기 내적 시 반드시 음이 아닌 실수가 되어야 하는 것인데, $$z \neq 0$$인 임의의 복소수에 곱해서 0보다 큰 실수가 나오는 수는 그 복소수의 켤레 $$\overline z$$ 뿐이다.[16] 수학에서는 상황에 따라 적당한 벡터를 택일하고, 물리학에서는 관례상 왼쪽의 벡터에 켤레를 취한다. 실벡터일 경우 허수부가 없으므로 편의상 켤레를 생략하기도 한다.[17] 텐서곱도 외적이라고 하기 때문에 주의가 필요하다[18] 물리학에서는 문제가 있는데, 제대로 된 벡터 둘을 외적하면 유사벡터(pseudovector)가 나온다. 차이점은 유사벡터는 반사시키면 변위와 다르게 변환된다. 예를 들어 원점에 대칭시키면 변위는 부호가 바뀌지만 유사벡터는 그대로이다.[19] 이 경우 결과값도 3차원 벡터가 나온다. 서로 다른 n개에서 2개를 뽑는 경우를 생각해보면 n이 3일때만 3가지가 나온다.[20] 플레밍의 왼손법칙에서, F, B, I의 방향이 모두 수직인 걸 알 수 있다. 실제로 $$\vec F = \int _R I {\rm d}\vec l × \vec B$$로 정의된다.[21] 내적과 외적이라는 이름은 사원수군에서 왔다. 실수부가 0인 두 사원수를 곱해서 실수부와 허수부를 각각 구해 보면, 실수부의 모양은 내적과 거의 비슷하고, 허수부의 모양은 외적과 거의 비슷하다. 이에 대해 내적과 외적이라는 이름이 각각 붙었는데, 그것이 벡터의 경우로도 전파되어 지금까지 내려 온 것. 어째 먼저 발전했던 사원수 자체는 지금 별로 쓰이지 않고 그와 관련된 명칭들만이 의미가 조금 달라진 채 지금 많이 쓰이는 모양이다. 참고로 팔원수를 이용하면 7차원의 외적을 만들 수는 있다. 4차원 우주에서 별 도움이 안돼서 그렇지...[22] 반대로 뒤쪽 벡터를 90도로 돌리고 계산하는 것은 위에 나온 스칼라곱이다.[23] 삼각형 세 꼭짓점의 위치벡터를 $$\vec a, \vec b, \vec c$$라 하면 $$S=\frac 12 \left\| \vec a × \vec b + \vec b × \vec c + \vec c × \vec a \right\|$$가 성립한다. 이 식을 평면좌표 형태로 정리한 것이 신발끈 공식이다.[24] 공업수학에서 더 자세하게 배울 가능성이 크다. 다만 공수가 원래 이것저것 다 섞은 것임을 감안하면...