차분(연산자)
1. (사전지식) 내림 차례곱
양의 정수 n에 대해
$$\displaystyle x^{\underline{n}} = \prod_{k=0}^{n-1} (x-k)$$
이라 정의한다.
2. 개요
이산적인 세계(정수)에서의 미분으로 우리가 알고 있는 미분과는 조금씩 다르다. 일단 차분을 설명하기 위해서는 이산적일 때의 다항식을 설명해야 하는데, 이산적일 때의 다항식은 $$x^1 = x$$, $$x^2 = x(x-1)$$, ..., $$x^n = x(x-1)\cdots(x-(n-1))$$와 같이 내림 차례곱을 통해 정의한다. 여기서 차분을 시키면 우리가 알고 있는 미분 공식과 같이 나오고, 나온 다항식은 위에서처럼 내림 차례곱을 해야 한다. 예를들어 $$x^3$$를 차분시키게 되면 우리가 알고 있는 미분 공식대로 $$3x^2$$가 나오고 이는 $$3x^2 = 3x(x-1)$$가 된다. 이것을 일반화시키면 $$x^n$$를 차분하면 $$nx^{n-1} = nx(x-1)(x-2)\cdots(x-(n-2))$$가 된다.
이뿐만 아니라, 상술했듯이 연속적인 세계를 설명하는 연산이 미분, 이산적인 세계를 설명하는 연산이 차분이라면 미분의 역연산인 적분도 이산적인 세계에 대응될 거라 생각할 수 있을 텐데, 그것은 다름아닌 시그마이다. 이것은 어찌보면 당연한게, 고등학교 미적분 과목을 이수했다면 알겠지만 그 유명한 구분구적법이 다음과 같이 나타내진다.
$$\displaystyle \lim_{x→∞}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
여기서 좌변은 이산적인 세계의 시그마이고, (구분구적법이 애초에 구간을 이산적으로 쪼개는 것이므로), 좌변이 연속적인 세계의 정적분이다.
이렇게 직관적으로 이해하는 것도 좋지만, 앞에서 보았던 내림 차례곱을 써서 대표적인 미분과 차분의 관계식을 유도해 보자.
먼저, 미분에서의 지수함수 $$e^x$$ 는 차분에서 어떻게 변환되는지를 알아보려고 한다.
$$f(x)=e^x$$ 라고 하면
$$f'(x)=e^x$$ 이므로 차분을 사용해도 같은 결과[1] 가 나와야 하므로 이에 대응하는 함수를 E(x)라 하자. 이 E(x)를 x에 대한 닫힌 식으로 표현하는 것이 목표이다.
앞에서 한 미분의 결과에 의해 $$\Delta E(x) = E(x)$$ 가 성립한다. 차분의 정의(내림 차례곱) 에 의해 좌변을
$$E(x+1)-E(x)=E(x)$$ 이므로 $$E(x+1)=2E(x)$$ 라는 점화식 이 나온다.
이것은 간단한 일계 미분방정식으로 풀어도 되고, 점화식으로 풀어도 되지만 그냥 직관적으로 $$E(x)=2^x$$ 임을 알 수 있다. 왜 이런 결과가 나오는지는 후술하고, 이제 적분-시그마의 관계로 넘어가 보자. 이 둘의 관계는 훨씬 눈에 잘 보일 것이다.
이번에는 예로 적분에서의 로그함수 $$\ln x$$ 는 어떻게 표현되는지 알아보자. 이번에는 f(x)=ln x로 정의한다. [2]
$$\displaystyle f'(x)=1/x$$ 에서 이에 대응되는 함수 L(x)는 $$\displaystyle \Delta L(x) = x^{\underline{-1}}$$ 의 차분방정식을 만족한다.
다시 한 번 내림 차례곱의 정의를 생각해 보면, 양의 정수 n에 대해 $$\displaystyle \bar{x}= (x-0)(x-1)(x-2) ... (x-(n-1))$$로 내림 차례곱을 정의했었는데, 이것을 지수의 확장 비슷하게 '양의 정수 n' 이란 조건을 '임의의 정수 n' 으로 바꿔보자. [3] 그렇다면 다음과 같이 논의를 확장할 수 있다.
$$\bar{x^3} = (x-0)(x-1)(x-2)$$
$$\bar{x^2} = (x-0)(x-1)$$
$$\bar{x^1} = (x-0)$$
이 방식대로 0 이하 지수를 정의하면
$$\displaystyle x^{\underline{0}} = 1$$
$$\displaystyle x^{\underline{-1}} = 1/(x+1)$$
$$\displaystyle {x^{\underline{-2}}} = 1/(x+1)(x+2)$$
와 같은 식으로 정의할 수 있다.
따라서 $$\displaystyle \Delta L(x) = 1/(x+1$$ 이고, 차분 연산자의 정의에 의해 $$\displaystyle L(x+1)-L(x) = 1/(x+1)$$이 성립한다.
이것은 그 유명한 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때에 나오는 무한급수의 점화식과 완전히 일치한다.
즉, $$\displaystyle L(x)=1/x$$ 임이 도출된다.
잘 따라왔다면 알겠지만 적분과 시그마는 계산 과정만 다를 뿐 결과는 완전히 똑같다. 이는 구분구적법의 관점에서 한쪽(적분)은 미적분의 기본정리를 이용해서 연속적으로 계산한 것이고, 다른 한쪽(시그마)는 구분구적법에 의거해 하나하나씩 이산적으로 쌓고, 그 값에 리미트를 취함으로서 결론적으로 같은 값을 내는 것이라 볼 수 있다.
지금까지 유도한 것들은 무엇을 의미하는가? 라고 묻는다면, 이것은 미분과 차분의, '''연속적인 관점에서의 자연로그와 이산적인 관점에서의 조화수가 대응'''함을 입증하는 아주 좋은 예시이다. 물론 단 하나의 예시만으로는 증명이 될 수 없지만, 위 내용들을 다 이해했다면 한번 임의의 함수를 써 보며 실험해 보자.
위 내용들이 잘 이해가 안 된다면 유키 히로시의 수학 걸 6장, 8장을 찹조할 것.