조화수(수학)
1. 정의
'''조화수(harmonic numbers)''' $$\boldsymbol{H_n}$$은 자연수 $$n$$에 대하여 다음과 같이 조화수열의 합으로 정의되는 수이다.
$$\displaystyle H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\sum_{k=1}^n\frac1k $$
$$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k=1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty $$
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac a{1+a(k-1)d}$$
'''는 항상 발산한다.'''이 조화급수를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n = \zeta(1) = \lim_{n \to \infty} \ln n + \gamma $$[1]
[1] 참고로 $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \ln n$$은 무한대로 발산한다. 오일러-마스케로니 상수의 정의에 의의를 두는 식인 셈.
조화수를 아래와 같이 무한급수로도 표현할 수 있다. 급수를 전개해보면 위의 유한합꼴 정의와 같아짐을 볼 수 있다.
$$\displaystyle H_n = \sum_{k=1}^{\infty} \!\left( \frac1k - \frac1{k+n} \right) $$
$$\displaystyle H_x=\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,\mathrm{d}t $$
2. 성질
2.1. 점화 관계
조화수는 다음과 같은 점화식 관계를 만족한다. $$x$$가 자연수 $$n$$일 때에는 아래의 점화 관계를 직관적으로 이해할 수 있다.
$$\displaystyle H_{x+1}=H_x+\frac1{x+1} $$
2.2. 반사 공식
조화수에는 다음과 같이 반사 공식이 존재한다.
$$\displaystyle H_{1-x}-H_x=\pi\cot(\pi x)-\frac1x+\frac1{1-x} $$
3. 적분
정적분식 정의를 사용하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int_0^1 H_x \,\mathrm{d}x &= \iint_{(0,\,1)^2} \frac{1-t^x}{1-t} \,\mathrm{d}t \,\mathrm{d}x = \gamma \\
\int_0^n H_x \,\mathrm{d}x &= n\gamma + \ln(n!)
\end{aligned})][2][3]
4. 일반화
조화수를 일반화한 버전으로, '일반화된 조화수'(Generalized harmonic numbers)를 생각할 수 있다. 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle H_n^{(m)}=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m} $$
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} H_n^{(m)} = \zeta(m) $$
5. 생성함수
조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다. 증명은 생성함수 문서의 해당 부분에서 볼 수 있다.
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_nx^n=-\frac{\ln{(1-x)}}{1-x} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}H_n\frac{x^n}{n!}&=-e^x\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k\frac{(-x)^k}{k!} \\&=e^x[\mathrm{Ei}(x)+\gamma+\ln x] \end{aligned} $$
일반화된 조화수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}H_n^{(m)}x^n=\frac{\mathrm{Li}_m(x)}{1-x} $$
6. 알려진 값
실수 범위에서 몇 가지 알려진 조화수의 값은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
H_{1/2}&=2-2\ln{2} \\
&\approx0.6137056389 \\
H_{1/3}&=3-\frac{\pi}{2\sqrt3}-\frac32\ln3 \\
&\approx0.4451818849 \\
H_{1/4}&=4-\frac{\pi}2-3\ln2 \\
&\approx0.3497621315 \\
H_{1/5}&=5-\frac{\pi}{10}\sqrt{25+10\sqrt5}+\frac12\ln2-\frac54\ln5 \\
&\qquad \qquad+\frac{-1+\sqrt5}4\ln{(-1+\sqrt5)}-\frac{1+\sqrt5}4\ln{(1+\sqrt5)} \\
&\approx0.2881757683 \\
H_{1/6}&=6-\frac{\sqrt3}2\pi-2\ln2-\frac32\ln3 \\
&\approx0.2450881595
\end{aligned})]