카탈랑 상수
1. 개요
Catalan's constant
카탈랑 상수는 외젠 샤를 카탈랑(Eugène Charles Catalan)에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다. 아래와 같은 식으로 정의된다.
$$\displaystyle G = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -1 \right)^n}{\left(2n+1\right)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \cdots $$
카탈랑 상수는 디리클레 베타 함수 $$\displaystyle \beta \left( s \right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left( -1 \right)^n}{ \left( 2n+1 \right)^s}$$ 에서 $$s=2$$인 경우이다. 참고로, 디리클레 베타 함수는 리만 제타 함수와 관련이 있고, 결국 리만 가설로 연결된다.
2. 값
카탈랑 상수의 값은 다음과 같다.
$$G = 0.915965594177219015054603514932384110774 \cdots \cdots$$
카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 육천억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.