0과 1 사이의 수
1. 개요
'''the real numbers greater than 0 and less than 1'''
$$x \in \mathbb{R}, 0<x<1$$로 정의되며 구간으로 표시하면 $$(0,1)$$로 나타내어진다.이 수를 특칭할 만한 용어는 아직까지 없다. 참고로 진분수(proper fraction)는 무리수를 포함하고 있지 않기 때문에 충분 조건에 지나지 않으며[1] 그 자체가 이 용어를 대변하기엔 좁은 개념이다. '확률값' 역시 0과 1을 포함($$x \in \mathbb{R}, 0 \le x \le 1$$)하고 있으므로 이 용어를 대변할 수 없으며, 말그대로 확률값으로 해석될 때가 아니고선 오히려 혼란을 줄 여지가 있다. 단위구간(unit interval)은 보통 0과 1을 포함하여 그 사이의 수로 이루어진 닫힌 구간이므로, '열린 단위구간(open unit interval)'을 이용하여 지칭할 수 있다.
사실 해당 용어가 없는 이유는 굳이 이름 붙일 필요가 없기 때문이다. 가령 "0과 1 사이의 임의의 수 $$x$$에 대해 명제 $$P(x)$$가 성립한다"는 명제는 다음과 같이 적을 것이다.
- 임의의 $$x\in(0, 1)$$에 대해 $$P(x)$$가 성립한다.
- $$P(x)$$ holds for an arbitrary $$x\in(0, 1)$$.
1.1. 성질
0과 1 사이의 수 $$\psi$$의 성질은 다음과 같다.
- $$\lfloor \psi \rfloor = 0$$
- $$\{\psi\} = \psi - \lfloor \psi \rfloor = \psi$$
- $$\lceil \psi \rceil = 1$$
- $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0$$
- $$\displaystyle \lim_{n \to -\infty} \psi^n = \infty$$
- $$\bold{1}_{\mathbb{N}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{Z}}(\psi) = 0, \bold{1}_{\mathbb{R}}(\psi) = 1$$[2]
- $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \psi \uparrow \uparrow n= -\frac{W(-\ln \psi)}{\ln \psi}$$[3]인 경우에만 수렴한다.]
2. 이용
지수함수, 로그함수에서 '밑'의 정의역으로 쓰인다. 지수함수에서는 밑이 '1보다 큰 수'인가, '0보다 크고 1보다 작은 수'인가, 0보다 작은가[4]에 따라 그래프의 개형이 달라지기 때문이다. 다만 이 두 함수는 밑이 1보다 큰 경우에도 정의될 수 있다. 지수함수의 경우 1인 경우는 y=1과 똑같고, 로그함수는 로그의 정의상 밑이 1이 될 수 없다.
비표준 해석학에서는 '무한소'라고 불리는, '''0에 가장 가까우면서도 0보다는 큰''' 가상의 수를 정의해서 사용한다.
3. 목록
0과 1 사이의 수의 개수는 무한하며 이 중 따로 이름이 붙여진 것들을 서술한다. 구체적인 값은 소수점 7번째 자리에서 반올림한다.[출처]
- 2학년의 꿈 상수 $$I_1$$(약 0.783431) - $$\displaystyle \int_0^1 x^x dx$$의 값이다.
- 가우스 상수 $$G$$(약 0.834627) - $$\dfrac{\Beta(1/4, 1/2)}{2\pi}$$의 값이다. $$\Beta$$는 베타 함수이다.
- 가우스-쿠즈민-비어징 상수(약 0.303663)
- 골롬-딕맨 상수(약 0.624330)
- 곰페르츠 상수(약 0.596347) - $$-e \, \mathrm{Ei}(-1)$$의 값이다. $$\mathrm{Ei}$$는 지수 적분 함수.
- 라플라스 극한(약 0.662743)
- 란다우 상수(약 0.543209)
- 란다우-라마누잔 상수(약 0.764224)
- 뤼로스 상수(약 0.788531)
- 리우빌 상수(약 0.110001) - 무한급수 $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!}$$로 생성되는 수이다. 리우빌의 정리로 알려진 리우빌이 초월수를 고안하면서 만들어낸 수이다.
- 마이셀-메르텐스 상수(약 0.261497)
- 번스타인 상수(약 0.280169)
- 브룬 상수#s-2 $$B_4$$(약 0.870588)
- 블로흐 상수(약 0.471861)
- 스틸체스 상수 중 일부
- 오일러-마스케로니 상수 $$\gamma_0$$(약 0.577216)
- $$\gamma_3$$(약 0.002054)
- $$\gamma_4$$(약 0.002325)
- $$\gamma_5$$(약 0.000793)
- $$\gamma_{10}$$(약 0.000205)
- 쌍둥이 소수 상수(약 0.660162) - 이름처럼 쌍둥이 소수에 관련된 수이다. 발견자의 이름을 따서 하디-리틀우드 상수라고도 한다.
- 알라디-그린스테드 상수(약 0.809394)
- 엠브리-트레페텐 상수(약 0.70258)
- 오메가 상수(약 0.567143) - 방정식 $$xe^x - 1 = 0$$의 유일한 실근이다. 람베르트 W 함수에 1을 대입하면 얻을 수 있다.
- 챔퍼나운 상수(약 0.123457) - 소수점 아래의 배열이 자연수를 쭉 이어 적은 형태이다.
- 카앵 상수(약 0.643411)
- 카탈랑 상수(약 0.915966)
- 코플랜드-에르되시 상수(약 0.235711) - 소수점 아래의 배열이 소수만으로 이루어져 있다.
- 해프너-사낙크-맥컬리 상수(약 0.353236)
이외에도 이름은 없지만 $$i^i$$(약 0.207880)[7]로 두고 계산할 때가 많다.] 같은 특수한 꼴로 유도되는 수가 존재한다.
4. 관련 문서
[1] 즉, 진분수면 0과 1사이에 포함되나 그 역은 성립하지 않는다.[2] $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}(\psi), \bold{1}_{\mathbb{I}}(\psi)$$의 값은 해당 수의 유리수 여부에 따라 다르다. 가령 $$\dfrac{1}{2}$$는 유리수이므로 $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$$이지만, 오메가 상수 $$\Omega$$는 무리수이므로 $$\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(\Omega\right) = 0, \bold{1}_{\mathbb{I}}\left(\Omega\right) = 1$$이다. 다만 오일러-마스케로니 상수 같은 경우 유리수/무리수 여부가 아직 밝혀지지 않았으므로 현 시점에서는 '부정'이다.[3] $$\uparrow \uparrow$$는 4차 연산자, $$W$$는 람베르트 W 함수이다. 이 함수는 실수 범위에서 0과 1 사이의 수를 비롯해서 [math(\left(1, \sqrt[e]{e}\;\!\right])[4] 이 경우 복소평면에서만 나타낼 수 있다.[출처] https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_constant#Simple_representatives_of_sets_of_numbers를 참고함.[5] 위 항목의 수를 보면 알겠지만 아예 초월수로 인정을 받았거나, 무리수임이 확실시되는 수들이다. 다만 오일러-마스케로니 상수, 브룬 상수, 카탈랑 상수는 유리수인지 무리수인지 알려져 있지 않다.[6] 위 목록 중 무한급수와 관계 없어 보이는 녀석들이 몇 있지만 챔퍼나운 상수, 코플랜드-에르되시 상수는 무한급수 점화식을 세울 수 있으며, 이상적분으로 정의된 2학년의 꿈 상수도 이리저리 풀다 보면 무한급수($$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n \ln^n x}{n!}$$)가 튀어나온다. 그리고 오메가 상수를 정의하는 람베르트 W 함수가 무한급수($$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)} x^n$$)로 정의된다.[7] $$i^i = e^{-\left( \frac{\pi}2 + 2k\pi \right)}$$($$k \in \mathbb{Z}$$)에서 $$k=0$$으로 지정했을 경우. 보통 [math(\theta \in (-\pi,\pi])