Mean Value Theorem
[1] 줄이면 MVT. 영미권에선 MVT라 하면 보통은 알아듣는다.
1. 개요
미분 가능한 함수에 관한 정리로,
라이프니츠가 최초로 고안해냈고 이후의 학자들에 의해 여러 바리에이션과 마개조를 거친 이론들이 꽃을 피우게 된다. 한국에선 고등학교
수학 II를 배울 때 기본적인 평균변화율의 개념을 처음 접하게 된다.
2. 상세
고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.
함수 $$ f\left(x\right) $$가 닫힌 구간 $$ \left[a, b\right] $$에서 연속이고 열린 구간 $$ \left(a, b\right) $$에서 미분가능하면 $$ \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) $$인 $$c$$가 적어도 하나 존재한다.
기하학적으로 해석하면 두 점 $$A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right)$$를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간 $$\left(a, b\right)$$ 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 $$f\left(a\right) = f\left(b\right)$$이면
롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는
롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.
이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화된다. 즉, $$ F'\left(x\right) = f\left(x\right) $$일 때 미분하여 $$ f\left(x\right) $$가 되는 함수는 $$ F\left(x\right)+C$$ 꼴'''뿐이다'''.
미분을 배워보면 알겠지만
미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
증명
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점 $$\left(a,f(a)\right) $$와 점 $$\left(b,f(b)\right) $$를 지나는 직선의 방정식을 $$y=l(x)$$라고 하자.
$$F(x)=f(x)-l(x) $$라 두면, 이 함수는 $$ \left[a,b\right]$$에서 연속이고 $$\left(a,b\right) $$에서 미분가능하며, $$F(a)=0, F(b)=0 $$이므로 롤의 정리에 의하여 $$F'(c)=f'(c)-l'(c)=0 $$인 $$c \in \left(a,b\right) $$가 존재한다.
$$l'(c)=m= \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$이므로 $$ f'(c)=\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$이다.
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평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 $$y = f(x)$$ 위의 두 점 $$ (a, f(a))$$와 $$(b, f(b))$$를 지나는 선분과 곡선 $$y = f(x)$$ 위에 어떤 점이 존재하여 그 점에서의 접선이 평행하다는 것을 뜻한다.
[image]앞의 평균값 정리에서 $$b-a = h$$라 하면 $$c-a < b-a$$이므로 $$0<\displaystyle {c-a \over h}<1$$이 된다. 여기서 $$ \theta =\displaystyle {c-a \over h}$$로 놓으면 평균값 정리는
$$f(a+h) = f(a) + hf'(a + \theta h)$$, $$0< \theta < 1$$
와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함수값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.
3. 코시의 평균값 정리
고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.
함수 $$ f\left(x\right) $$와 $$ g\left(x\right) $$가 닫힌 구간 $$ \left[a, b\right] $$에서 연속이고 열린 구간 $$ \left(a, b\right) $$에서 미분가능하면 $$ f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] $$인 $$c$$가 $$ \left(a, b\right) $$내에 적어도 하나 존재한다.
여기서 $$g\left(x\right) = x $$라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.
증명
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$$F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} $$라 정의하자. 그럼 $$F$$는 닫힌구간 $$\left[a, b\right]$$에서 연속이고 열린구간 $$\left(a, b\right)$$에서 미분가능하다.
또한, $$ F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right)$$이므로 롤의 정리에 의해 $$F'\left(c\right) = 0 $$를 만족하는 $$c\in \left(a, b\right)$$가 존재한다.
그러면 $$F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}$$이므로, $$ f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}$$
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4. 활용
4.1. 함수의 증감
여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.
함수 $$f$$가 $$\left(a, b\right)$$에서 미분가능하고 모든 $$x\in(a,b)$$에 대해 $$f'\left(x\right) > 0 $$이면, $$f$$는 그 구간에서 증가한다.
증명
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열린 구간 $$\left(a,b\right)$$ 안에서 임의의 실수 $$x_1, x_2$$를 $$x_1<x_2$$가 되게 잡는다. 그럼 $$f$$는 $$\left[x_1, x_2\right]$$에서 연속이고 $$\left(x_1, x_2\right)$$에서 미분가능하다.
따라서 평균값의 정리에 의해 $$\displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$를 만족하는 $$x_0$$가 $$\left(x_1, x_2\right)$$내에 적어도 하나 존재한다. 또한 $$x_2-x_1 > 0, f'\left(x_0\right) > 0$$이므로 $$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) > 0 $$이다. 즉, $$f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right)$$가 성립한다. $$x_1, x_2$$는 구간 안의 임의의 값이므로 $$f$$는 구간 내에서 증가한다.
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비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.
함수 $$f$$가 $$\left(a, b\right)$$에서 미분가능하고모든$$x\in(a,b)$$에 대해 $$f'\left(x\right) < 0 $$이면, $$f$$는 그 구간에서 감소한다.
해당 문서 참고
4.3. 미분가능성
어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.
실수 $$a$$를 포함하는 열린구간 $$I$$에서 정의된 함수 $$f$$가 있을 때, $$f$$가 $$a$$에서 연속이고 $$I-\left\{a\right\}$$에서 미분가능하며, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L$$이면($$L$$은 실수) $$f$$는 $$a$$에서 미분가능하고 $$f'\left(a\right)=L$$이다.
증명
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\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L$$이므로 임의의 양수 $$\varepsilon$$에 대하여 양수 $$\delta \left(\varepsilon\right)$$가 존재하여 $$0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right)$$인 임의의 $$x \in I$$에 대해 $$\left|f'\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$$이다.
한편 평균값 정리에 의하여 임의의 $$x\in I-\left\{a\right\}$$에 대해 $$\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right)$$인 $$c$$가 $$a$$와 $$x$$사이에 존재한다. 즉, $$0<\left|c-a\right|<\left|x-a\right|$$이다.
그러면 $$x \in I$$이고 $$0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right)$$일 때 $$\displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon$$이 성립하므로 $$\displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L$$이다. 따라서 $$f$$는 $$a$$에서 미분가능하고 $$f'\left(a\right)=L$$이다.
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참고로 $$\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=\pm\infty$$이면 $$f$$가 $$a$$에서 미분가능하지 않고, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)$$가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.
[2] 사실 이 명제는 로피탈의 정리의 특수한 경우로도 볼 수 있다.
4.4. 적분의 평균값 정리
대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다.
함수 $$f$$가 실수상에 속하는 폐구간$$[a, b]$$에서 연속함수 이면, $$\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c)$$를 만족하는 $$c\in(a, b)$$가 존재한다.
증명
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$$f$$가 $$[a, b]$$에서 연속이므로 최대, 최소값의 정리에 의하여 $$M = \sup\{f(x)|x\in[a, b]\}$$, $$m = \inf \{f(x)|x\in[a, b]\}$$가 존재한다. 따라서 모든 $$x\in[a, b]$$에 대하여 $$m\le f(x)\le M$$이므로 적분의 대소 비교 성질에 의하여 $$m(b - a)\le \displaystyle \int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x\le M(b - a)$$이다. 그러므로 다음이 성립한다.
$$ m\le \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x \le M$$
$$f$$는 $$[a, b]$$에서 연속이므로, 중간값의 정리에 의하여 $$\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c)$$를 만족하는 $$c\in(a, b)$$가 존재한다.
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4.5. 가우스의 평균값 정리
Gauss's Mean Value Theorem
복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
함수 $$f$$가 닫힌 원 $$\left|z-z_{0}\right|\leq r$$에서 해석적(Analytic)이라고 하면, $$f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta$$이다.
증명
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코시 적분 공식 $$f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\mathcal{C}}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z}$$에서, $$\mathcal{C}:z_{0}+re^{i\theta}$$라고 하자.
즉, $$f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\left|z-z_{0}\right|=r}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z}$$인데, $$z-z_{0}=z_{0}+re^{i\theta}-z_{0}=re^{i\theta}$$이므로, $$\mathrm{d}z=ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta$$가 되고, $$f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{0}^{2\pi}\displaystyle{\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta}$$가 된다.
정리하면 $$f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta$$가 성립한다.
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적분 평균값 정리에서 $$a=0, b=2\pi, x=z_{0}+re^{i\theta}, c=z_{0}$$라고 둘 경우의 경우와 일치한다. $$x$$를 $$\mathbb{C}$$상에서 범위 $$X:\left|z_{0}-y\right|\leq r$$의 경계선으로 보면, $$c=z_{0}\to c\in X$$이기 때문.
5. 관련 문서