행동치
1. 개요
크기가 같은 두 행렬 $$A$$와 $$B$$가 서로 행동치(row equivalent)라는 것은 $$A$$의 모든 행을 $$B$$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로 $$B$$의 모든 행을 $$A$$의 행의 선형결합으로 나타낼수 있다는것이다. 이름에서부터 알수있다시피, 행동치는 동치관계이며, 행동치인 행렬은 행공간(row space), 영공간(null space), 계수(rank)가 같다.[1] 또한 두 연립방정식의 첨가행렬이 행동치일 경우 해집합이 같다.
2. 선형결합
체 $$F$$와 그 위의 벡터공간 $$V$$에 대하여, $$v_{1},\cdots,v_{n}\in V$$가 주어져 있을 때, 임의의 스칼라 $$c_{1},\cdots,c_{n}\in F$$에 대하여
$$c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}$$
를 $$v_{1},\cdots,v_{n}\in V$$의 선형결합이라 한다.3. 행 동치
$$m\times n $$ 행렬 $$A$$와 $$B$$가 행동치라는 것은, $$A$$의 각 행을 $$B$$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로 $$B$$의 각 행도 $$A$$의 선형결합으로 나타낼수 있다는것이다.
3.1. 동치 관계
동치 관계 $$\sim$$란 다음의 세 성질을 만족하는 관계이다.
- (반사)$$A\sim A$$
- (대칭)$$A\sim B$$이면 $$B\sim A$$
- (추이)$$A\sim B$$이고 $$B\sim C$$이면 $$A\sim C$$
$$A_{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{m} b_{ij}B_{j}$$
$$B_{j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m} c_{jk}C_{k}$$
라고 적을 수 있다. 따라서, $$B_{j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m} c_{jk}C_{k}$$
$$A_{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{m} b_{ij}B_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{m} \displaystyle\sum_{k=1}^{m} b_{ij}c_{jk}C_{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m} \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{m} b_{ij}c_{jk}\right)C_{k}$$
가 성립하여, $$A$$의 각 행이 $$C$$의 행의 선형결합으로 나타내어진다. 반대의 경우도 같은 방법으로 보일 수 있다.3.2. 기본행연산과 행동치
행렬 $$A$$와 기본행연산을 한번적용한 행렬 $$EA$$를 생각하자. $$A_{i}$$를 $$A_{i}$$의 $$i$$행이라고 할 때, 기본행연산을 한번 했을때 바뀌는 행은 다음과 같다.
- 한 행에 0 이 아닌 상수배 $$(EA)_{i}=cA_{i}$$
- 한 행에 다른 행의 상수배를 더해줌 $$(EA)_{i}=A_{i}+cA_{j}$$
- 한 행과 다른행을 교환함. $$(EA)_{i}=A_{j}, (EA)_{j}=A_{i}$$
3.3. 행동치와 기약행사다리꼴
임의의 행렬 $$A$$에 대해 가우스-조르당 소거법을 이용하여 행동치인 기약행사다리꼴을 찾을 수 있다. 그런 기약행사다리꼴을 $$R_{A}$$라고 하자. 그러면, 유한개의 기본행렬 $$E_{1},\cdots,E_{n}$$에 대하여
$$ R_{A}=E_{1}\cdots E_{n} A$$
라고 표현할 수 있다. 마찬가지로, $$B$$의 경우도, $$ R_{B}=E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{n} B$$
를 만족하는 기본행렬 $$E^{\prime}_{1},\cdots, E^{\prime}_{n}$$이 존재한다. 여기서, $$R_{A}$$와 $$R_{B}$$가 같다면, $$E_{1}\cdots E_{n} A=E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{n} B$$
$$A=E_{n}^{-1}\cdots E_{1}^{-1}E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{n} B$$
가 되므로, $$A$$와 $$B$$가 행동치임을 알 수있다. 행동치는 동치관계이므로, $$R_{A}$$와 $$R_{B}$$가 다르다면, $$A$$와 $$B$$도 행동치가 아님을 알수있다.[2] 즉, 어떤 두 행렬이 행동치일 필요충분조건은 각자의 행동치인 기약행사다리꼴이 서로 같다는것이다. 즉, 기약행사다리꼴이란, 행동치인 행렬 중에서 대표가 되는 행렬 정도로 이해할수 있다.$$A=E_{n}^{-1}\cdots E_{1}^{-1}E^{\prime}_{1}\cdots E^{\prime}_{n} B$$
4. 행동치와 행공간
행공간이란 $$m\times n$$행렬 $$A$$의 행벡터가 생성하는 $$F^{m}$$의 부분공간을 뜻한다. 즉, $$A$$의 행공간의 임의의 벡터는, $$A$$의 각 행의 선형결합으로 표현된다. 그런데, $$A$$와 $$B$$가 행동치라면, $$B$$의 모든 행이 $$A$$의 행의 선형결합이므로, $$B$$의 행공간의 임의의 원소는 $$A$$의 행의 선형결합으로 표현된다. 마찬가지로, $$A$$의 행공간의 임의의 원소도 $$B$$의 행의 선형결합으로 표현된다. 즉, 행동치인 두 행렬 $$A$$와 $$B$$는 행공간이 서로 같다. 역으로, 크기가 같은 두 행렬이 행공간이 같다면, 행동치라는것은 꽤나 자명한 명제이다.
5. 두 연립방정식의 동치
미지수 n-tuple $$x$$에 대한 연립방정식 $$L$$을
$$\begin{aligned}f_{1}(x)&=y_{1}\\f_{2}(x)&=y_{2}\\ \cdots \\f_{m}(x)&=y_{m} \end{aligned}$$
라고 할 때, $$l : c_{1}f_{1}(x)+\cdots+c_{m}f_{m}(x)=c_{1}y_{1}+\cdots+c_{m}y_{m}$$꼴의 방정식을 연립방정식 $$L$$의 선형결합이라고 한다. $$x_{0}$$이 $$L$$의 해 일 경우, $$x_{0}$$을 $$l$$에 대입하면 식을 만족한다. 따라서 연립방정식 $$L_{2}$$를 구성하는 모든 개별 방정식이 연립방정식 $$L_{1}$$의 선형결합이라면, $$L_{1}$$의 모든 해는 $$L_{2}$$의 해가 됨을 알수있다. 반대로, $$L_{1}$$을 구성하는 모든 개별방정식도 $$L_{2}$$의 선형결합이라면, $$L_{2}$$의 모든 해가 $$L_{1}$$의 해가되어, 두 연립방정식의 해가 같다고 이야기할 수 있다. 이렇듯, 두 연립방정식이 각각 상대의 개별방정식의 선형결합으로 나타내어지는 경우를 연립방정식의 동치라고 한다.5.1. 계수행렬, 첨가행렬과 행동치
일차연립방정식을 계수행렬(coefficient matrix)과 첨가행렬(augmented matrix)로 바꾼다면, 방정식에 대한 이야기를 선형대수학의 언어로 풀 수 있다.
5.1.1. 제차 연립일차방정식의 경우
일차연립방정식의 상수항이 0인경우 제차 연립방정식(homogeneous system of linear equations)이라고 한다. 이 경우에는, 첨가행렬의 마지막 열은 0이므로, 계수행렬만 생각하여도 충분하다. 계수행렬의 각 행이 의미하는것은 연립방정식을 구성하는 개별방정식이므로, 두 $$m\times n$$행렬 $$A,B$$에 대하여 $$L_{1}:AX=O$$와 $$L_{2}:BX=O$$가 연립방정식으로써 동치라면, $$A$$의 각 행은 $$B$$의 행의 선형결합으로 나타낼 수 있고, 반대로, $$B$$의 각 행도 $$A$$의 선형결합으로 나타낼 수 있을것이다. 즉, $$A$$와 $$B$$가 행렬로써 행동치라는것이다. 반대로, $$A$$와 $$B$$가 행동치라면, 연립방정식 $$L_{1}:AX=O$$와 $$L_{2}:BX=O$$는 연립방정식으로써 동치가 된다. 즉, 계수행렬이 행동치인 경우 해공간[3]이 같다는 것이다. 반대로, 크기가 같은 두행렬 $$A,B$$에 대해 두 연립방정식 $$L_{1}:AX=O$$와 $$L_{2}:BX=O$$의 해공간이 같다면, 두 행렬은 행동치라고 할 수 있을까? 직관적으로 참인것 같아 보이는[4] 이 명제를 증명하기 위해서는 쌍대공간[5]에 대한 이해가 필요하다.[6] 연립방정식의 해공간이 주어져 있다면, $$F^{n}$$의 부분공간이므로, 기저 $$\{b_{1},\cdots,b_{r}\}$$이 존재하고, 기저확장정리에 의해, $$\mathcal{B}=\{b_{1},\cdots,b_{r},b_{r+1},\cdots,b_{n}\}$$이 $$F^{n}$$의 기저가 되는 $$\{b_{r+1},\cdots,b_{n}\}$$을 찾을 수 있다. 그 후 쌍대기저$$ \mathcal{B}^{*}=\{L_{i}|L_{i}(b_{j})=\delta_{i,j}\}$$[7]를 구할 수 있고, 계수행렬의 행공간과
$$<[L_{r+1}],\cdots,[L_{n}]>$$ [8]
이 같아야 함을 알수있다. 행공간이 같으면 행동치이므로, 해공간이 같은 두 연립방정식의 계수행렬은 크기가 같다면 행동치이다.5.1.2. 비제차 연립일차방정식의 경우
6. 선형변환 Y=AX와 행동치
[1] 하지만 열공간(column space)은 일반적으로 같지 않다.[2] 서로 다른 기약행사다리꼴은 행동치가 아니다. 이는 수학적 귀납법으로 보일 수 있다.[3] 제차 연립일차방정식의 해집합은 부분공간이 된다.[4] 물론 행의 갯수가 해공간의 차원보다 크거나 같아야 의미있는 명제가 된다. 행의 갯수가 해공간의 차원보다 작다면, 행렬이 존재하지 않아서, 허무하게 참(vacuous truth)이다.[5] 연립방정식의 개별방정식의 좌변을 함수(즉, 선형변환)로 이해할 경우, 선형범함수(linear functional)가 되며, 방정식의 근은 각 선형범함수의 영공간(Null space)의 교집합이 된다.[6] 내적을 이용하여, 해공간의 직교여공간이 계수행렬의 행공간이 됨을 보여도 된다. 물론 내적이 정의되었다면, 정규직교기저에대한 쌍대기저를 내적으로 정의할수 있으니, 그 말이 그 말이긴 하다.[7] δ는 크로네커 델타이다.[8] < >는 생성(span)을 의미하고, \[ \]는 선형변환의 표준기저에대한 행렬 표현(matrix representation)을 뜻한다.