호드릭-프레스콧 필터
1. 개요
Hodrick–Prescott filter. 혹은 Hodrick–Prescott decomposition으로 불리기도 한다.
거시경제학에서 사용되는 통계적 기법의 한 종류로, 실물경기변동이론과 관련되어 많이 쓰인다.
2. 상세
어떠한 시계열이($$y_t$$) 있을 때 그 시계열을 추세($$\tau_t$$)와 추세 주변의 변동($$c_t$$) 그리고 오차항($$e_t$$)으로 분리하는 필터링 기법이다. 즉 $$y_t = \tau_t + c_t + e_t$$이라 가정하고, 어떤 $$\lambda$$값이 있을 때, 아래의 식을 만족하는 $$\tau$$값을 구하면 그것이 추세가 된다.
$$\min_{\tau}\left(\sum_{t = 1}^T {(y_t - \tau _t )^2 } + \lambda \sum_{t = 2}^{T - 1} {[(\tau _{t+1} - \tau _t) - (\tau _t - \tau _{t - 1} )]^2 }\right).\,$$
계산시 미래의 값이 들어가므로, 미래의 값이 바뀌면 과거의 값도 바뀌고 과거의 값이 바뀌면 미래의 값도 바뀐다. 따라서 실시간으로 계산할 경우에는 문제가 생길 여지가 있다. DSGE 모델 계산시에는 이를 참고하는 것이 좋다. One-side 버젼의 H-P 필터도 존재하므로 참고. (즉 미래 값을 쓰지 않는 버전)
일반적으로 월별, 분기별, 년도별 데이터 사용시의 각각의 람다값은 $$ \lambda = 14400$$, $$ \lambda = 1600$$, $$ \lambda = 1000$$을 쓰는데, 처음 저런 숫자들이 나온 이유는 그저 '그래프가 예뻐 보여서' 였다고 한다. 데이터 주기에 따라 $$ \lambda $$를 다르게 씀으로써 추세선에서 벗어나는 것에 주는 패널티를 조절하게 된다. 만약 $$ \lambda =0$$이면 constant yt를 돌려주게 되고,무한대면 원래 데이터를 돌려준다. 이후 Ravn과 Uhlig은 서로 다른 관측빈도를 가진 데이터에 대해 람다값을 조절하는 공식을 제시했다.[1]
최근 J.D.해밀턴[2]에 의하면 호드릭-프레스캇 필터를 쓸 필요가 없으며 오히려 쓰지 말아야 한다고 한다. 읽어보기[3] 또한 Phillips and Shi(2019)는 ADF 내지는 BIC를 기준으로 한 부스팅을 이용해서 람다값을 결정하는 방법에 대해 설명했다.[4]
[1] On adjusting the Hodrick–Prescott filter for the frequency of observations (Ravn and Uhlig 2002). 이들에 의하면 분기별 데이터를 $$ \lambda=1600$$으로 놓는다면 연간 데이터는 $$\lambda=1600/4^{4}=6.25$$여야 한다는 것이다.[2] 시계열 분야의 고전 중 하나인 Time Series Analysis를 쓴 그 해밀턴 맞다.[3] 2017년 8월 The Review of Economics and Statistics에 실렸다.[4] Boosting the Hodrick-Prescott Filter(2019)