PID 위의 유한생성 가군의 기본정리

Fundamental theorem (or structure theorem) for finitely generated modules over PID 단항아이디얼정역(PID) $$R$$과 그 위의 가군(module) $$M$$이 유한생성(finitely generated), 즉 $$M = Rm_1 + \cdots + Rm_k$$인 $$m_i \in M$$이 존재한다고 하자. 그럼 $$M$$은 다음처럼 자유가군(free module)과 cyclic module들의 직합으로 나타낼 수 있다. 1. Invariant factor form $$M \simeq R^r \times (R/a_1) \times (R/a_2) \times \cdots \times (R/a_k) $$ 여기서 $$r$$은 '''베티 수'''(Betty number)라 불리는 자연수이고, '''invariant factor'''라 불리는 원소 $$a_i \in R$$들은 $$a_1 \vert a_2 \vert \cdots \vert a_k$$ 들을 만족시킨다. 베티 수와 invariant factor들의 순서쌍은 (단위원의 곱셈에 대해 같은 것을 같다고 취급하면) 유일하게 결정된다. 2. Elementary divisor form $$M \simeq R^r \times (R/p_1^{e_1}) \times (R/p_2^{e_2}) \times \cdots \times (R/p_k^{e_k}) $$ 여기서 $$p_i \in R$$들은 기약원이다. 베티 수 $$r$$은 1과 동일하고, '''elementary divisor'''라 불리는 $$p_i^{e_i} \in R$$들의 집합은 (역시 단위원의 곱셈에 대해 같은 것을 같다고 취급하면) 유일하게 결정된다. 두 유한생성 가군이 동형일 필요충분조건은 베티 수와 invariant factor의 리스트(혹은 elementary divisor의 집합)가 동일한 것이다. [1]

PID 위에서 유한생성 가군을 완벽히 분류하는 정리이다. 대수학 교과서에서 이게 처음 나오면 백이면 백 유한생성 가환군을 분류하거나 혹은 행렬의 조르당 분해를 증명하거나 Frobenius normal form(rational canonical form)을 계산해 상사(similarity) 문제를 푸는 데에 쓰인다. 만약 $$R=\mathbb{Z}$$이면, $$\mathbb{Z}$$-가군은 가환군이랑 똑같으므로, 모든 유한생성 가환군이 $$G \simeq \mathbb{Z}^r \times \prod (\mathbb{Z}/a_i) $$의 꼴로 나타난다는 '유한생성 가환군의 기본정리'를 얻을 수 있다. 이 정리에서 $$R$$을 다항식환 $$\mathbb{F}[x]$$로 놓고 이걸 행렬에 대해 어떻게 기묘하게 적용하는지를 보려면 조르당 분해 항목을 참고하자. 물론 바보 같은 예시지만 $$R$$이 체 $$\mathbb{F}$$라면 벡터공간이 $$V \simeq \mathbb{F}^n$$이라는 얘기가 된다.
가환대수학을 깊게 배운다면 이 정리는 '가군의 구조는 환의 구조에 지배된다'는 메타의 기본형으로 생각될 수 있다. 대수기하학에서 환을 스킴을 통해 도형으로 본다면 가군은 그 위의 다발이 되므로, 어찌 보면 이건 특수한 경우에 도형 위의 다발을 항상 선다발(line bundle)로 나타낼 수 있다는 내용이다. 데데킨트 정역(Dedekind domain)의 경우도 이것을 약화한 버전이 있기도 하는 등 의미 자체로도 가볍게 볼 내용이 아니다. 실전의 경우 PID 자체는 굉장히 드물게 등장하지만, 국소환을 생각한다면 1차원의 경우에는 discrete valuation ring의 존재로 의외로 이걸 자주 볼 수 있기도 하다. 물론 여기서도 증명이 중요하다기 보다는 그 결과에 감사하며 써먹는 게 대부분.
증명 방식은 크게 스미스 표준형(Smith normal form)을 사용하는 방식과 primary/cyclic decomposition을 사용하는 방식으로 나눌 수 있다. 전자의 방법은 invariant factor decomposition을 따라가게 되고, 후자의 방법을 사용한다면 자연스럽게 elementary divisor가 튀어나온다. 교과서에 따라 다른 방식을 쓴다.

'''스미스 표준형'''(Smith normal form) $$R$$ 위에서의 임의의 $$n \times m$$행렬은, 가역인 기본행연산/열연산[2] 만을 사용해 성분이 $$a_1, a_2, \cdots, a_k, 0, \cdots, 0$$ ($$a_1 \vert a_2 \vert \cdots \vert a_k$$) 인 대각행렬로 만들 수 있다. 이 때 $$a_i$$들은 유일하게 결정된다.

이 스미스 표준형을 쓴다면 유한생성 조건에서 먼저 $$R^k \rightarrow M \rightarrow 0$$을 유도하고 Noetherian 성질을 이용해 그 핵(kernel)도 유한생성임을 보인다. 즉 다음 표현(presentation)을 생각할 수 있다.

$$ R^l \rightarrow R^k \rightarrow M \rightarrow 0 $$

이제 $$R^l \rightarrow R^k$$의 행렬을 스미스 표준형으로 나타내고, $$M \simeq R^k / \mathrm{im}(R^l \rightarrow R^k$$ 생각하면 보면 저 invariant factor decomposition을 얻을 수 있다. 스미스 표준형의 $$a_i$$는 invariant factor가 되고 0의 개수가 베티 수가 된다.
한편 primary/cyclic decomposition을 한다 치면, 먼저 torsion submodule $$M_{\text{tor}}$$을 분리해내고 $$M/M_{\text{tor}} \simeq R^r$$을 $$M$$으로 리프트하면 $$ M \simeq R^r \oplus M_{\text{tor}}$$을 얻는다.[3] 그 다음

• primary decomposition: $$M_{\text{tor}}$$을 기약원 $$p$$에 대한 $$p^\infty$$-torsion $$M(p) = \{m \in M : m p^e = 0\text{ for some } e \} $$들의 합으로 분리한다. 증명에는 베주 항등식 혹은 중국인의 나머지 정리 가 사용된다.
• cyclic decomposition: 각각의 $$M(p)$$들을 $$R/p^k$$ 꼴의 cyclic submodule들로 분해할 수 있음을 (주로 적절한 귀납법을 써서) 보인다.

의 과정을 거친다.

[1] 이 두 표현은 서로 일대일대응된다. 중국인의 나머지 정리에 의해 invariant factor들을 인수분해하면 elementary divisor들을 얻을 수 있고, 반대로 elemtary divisor들을 적절히 합쳐서 invariant factor들을 얻을수도 있다.

[2] 즉 한 행을 다른 행의 몇 배에 더해 주거나, 단위원을 곱하는 연산만이 허용된다. 두 행의 자리바꾸기는 이 둘을 조합해 얻을 수 있다.

[3] 대신 이 리프트가 유일하지 않으므로, $$R^r$$ 부분은 canonical하게 정해지지 않는다는 점을 유의해야 한다. free part의 불변량은 베티 수 하나 뿐이다.