각속도

1. 개요

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Angular velocity · 角速度

각속도는 강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다. 달리 '회전력'이라고도 한다.
기호는 주로 $$\Omega$$[1]나 $$\omega$$[2]를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 $$\mathrm{rad/s}$$로 나타낸다. 물론 라디안은 무차원 양이라 가끔 $$\mathrm{s^{-1}}$$, 초의 역수로 표기하기도 한다. 일상에서는 분당 회전수로 $$\mathrm{RPM}$$[3]을 많이 쓴다.
동역학, 유체역학, 기계요소설계를 공부하면 심심하면 나오는 단어이다.

2. 정의

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각속도는 '''기준 축에서 떨어진 거리'''에 대한 '''강체 내 입자의 속도'''의 비로 정의한다. 여기서 크기와 방향을 모두 고려할 때에는 각속도, 크기만을 가리킬 때에는 각속력(angular speed)이라 한다.

2.1. 평면 운동

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평면 운동에서는 강체의 운동이 반시계방향/시계방향 두 가지로 나눌 수 있기 때문에 각변위와 함께 스칼라로 취급할 수 있다. 각변위와 각속도는 통상 반시계방향을 $$+$$, 시계방향을 $$-$$부호로 잡는다. 평균 각속도 $$\langle \omega \rangle$$와 순간 각속도 $$\omega$$의 크기는 아래와 같이 속도의 정의와 비슷한 맥락으로 주어진다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \langle \omega \rangle &=\frac{\Delta \theta}{\Delta t} \\ \displaystyle \omega &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt} \end{aligned} $$

속도와는 $$\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\omega}=0$$, $$ \mathbf{r} \times \boldsymbol{\omega}=\mathbf{v}$$의 관계가 있다. 여기서 $$\mathbf{r}$$은 물체의 위치 벡터이다.

2.2. 공간 운동

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삼차원에서는 벡터로 다루어진다. 입자의 속도와 기준 축의 한 지점에서 떨어진 변위가 주어져 있을 때, 강체 운동의 경우 특정한 벡터 $$\boldsymbol{\omega}$$로써 나타낼 수 있다. 아래 식에서 나타나는 벡터 $$\boldsymbol{\omega}$$를 각속도 벡터라 한다.

$$\displaystyle \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$$

사실 이는 강체의 특성에서 이끌어낼 수 있다. 강체란 임의의 두 입자 사이의 거리가 언제나 일정한 입자계이다. 만일 물체의 모양이 변형되면, 적어도 두 입자 이상은 거리가 변하기 때문이다. 두 입자의 위치 벡터를 각각 $$\mathbf{r}_{1}$$, $$\mathbf{r}_{2}$$라 하자. 강체의 정의로 부터,

$$\displaystyle | \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} | ={\sf const.} $$

즉,

$$\displaystyle ( \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} ) \cdot ( \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} ) ={\sf const.} $$

양변을 시간에 대해 미분하면,

$$\displaystyle ( \mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1} ) \cdot ( \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} ) =0 $$

여기서 $$ \mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{1} \equiv \Delta \mathbf{v} $$, $$ \mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1} \equiv \Delta \mathbf{r} $$라 둔다면,

$$\displaystyle \Delta \mathbf{v} \cdot \Delta \mathbf{r} =0 $$

즉, 두 입자 사이의 속도 차이와 변위 차이 벡터가 서로 수직이다. 따라서 속도 벡터의 차이를 외적으로 나타낼 수 있다:

$$\displaystyle \Delta \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \Delta\mathbf{r}$$

이때, '''기준이 되는 축'''은 순간 속력이 0인 지점을 포함한다. 이를 기준으로 하면 위에 써진 식과 같아진다.

3. 각속도는 벡터인가?

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당연히 방향과 크기가 있으므로 곧장 벡터라고 생각하기 쉽지만 사실 '각변위'는 벡터가 아니다. 벡터는 방향과 크기가 있는 것 말고도 아래 조건도 만족시켜야 한다. 벡터의 대수적 정의 참고하라.

• 덧셈에 대한 항등원과 역원 존재
• 교환법칙과 결합법칙 성립

각변위의 경우 교환법칙에서 깨지게 된다. 사실 각변위는 3차원에서는 '''텐서와 벡터의 곱''' 형태로 나타나게 된다.
어떤 변위 벡터 $$\mathbf{r}$$과 원점을 지나는 축이 있다고 하자. 축을 나타내는 단위 벡터 $$\mathbf{u} \equiv a \hat{\mathbf{x}}+b \hat{\mathbf{y}}+c \hat{\mathbf{z}}$$ 를 오른손 엄지 손가락으로 피면서 네 손가락이 감아쥐는 방향으로 각 $$\theta$$만큼 회전시킨다고 할 때, 회전한 뒤의 벡터를 $$\mathbf{r'}$$이라 하면, 아래와 같이 선형 변환으로 써진다.

$$\displaystyle \mathbf{r'}=\{ \mathbf{R} \} \cdot \mathbf{r} $$

여기서 $$\{ \mathbf{R} \}$$은 벡터가 아니라 텐서임에 유의하고, 다음과 같다.

$$\displaystyle \{ \mathbf{R} \} = (1-\cos{\theta}) \begin{bmatrix} a^2 & ab & ac \\ ab & b^{2} & bc \\ ac & bc & c^{2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -c\sin{\theta} & b\sin{\theta} \\ c\sin{\theta} & \cos{\theta} & -a\sin{\theta} \\ -b\sin{\theta} & a\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} $$[출처]

이 때 서로 다른 회전 변환을 시행한다고 할 때, 각 회전을 나타내는 행렬 두 가지가 나오게 된다. 일반적으로는 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 각변위의 순서가 바뀌면 회전 결과도 바뀐다. 가령 책을 앞뒤로 90도, 좌우로 90도 돌리는 과정과, 순서를 바꾼 과정을 시행해 보면 결과가 엇갈린다. 결국 각변위는 벡터로 나타낼 수 없다.
그렇지만 각속도는 벡터로 표현할 수 있다. 아주 짧은 시간 $$dt$$동안 $$d\theta$$만큼 돌아갈 때 변환 텐서는 $$\sin{d\theta} \to d\theta$$, $$\cos{d\theta} \to 1$$을 이용하면,

$$\displaystyle \{ \mathbf{R} \} = \begin{bmatrix} 1 & -c\,d\theta & b\,d\theta \\ c\,d\theta & 1 & -a\,d\theta \\ -b\,d\theta & a\,d\theta & 1 \end{bmatrix} $$

한편, 다른 미소 회전 텐서 또한,

$$\displaystyle \{ \mathbf{R'} \} = \begin{bmatrix} 1 & -c'\,d\theta' & b'\,d\theta' \\ c'\,d\theta' & 1 & -a'\,d\theta' \\ -b'\,d\theta' & a'\,d\theta' & 1 \end{bmatrix} $$

따라서 두 텐서의 곱은 순서가 바뀌어도 일치하게 된다. 여기서 $$ d\theta d \theta'$$는 다른 값들에 비해 극히 작아서 무시된다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \{ \mathbf{R} \}\{ \mathbf{R'} \} &=\{ \mathbf{R'} \}\{ \mathbf{R} \} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -c\,d\theta -c'\,d\theta' & b\,d\theta+b'\,d\theta' \\ c\,d\theta+c'\,d\theta' & 1 & -a\,d\theta-a'\,d\theta' \\ -b\,d\theta+b'\,d\theta' & a\,d\theta +a'\,d\theta' & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

여기서 시간 변화 $$dt$$로 나누어주면 각속도가 도출된다. 교환법칙이 성립하므로 각속도는 벡터가 된다. 자세한 서술은 전공 서적을 참고하라.

[1] 전기저항을 표기할 때도 쓰인다.

[2] 다만 $$\omega$$는 전기·전자공학 등에서 각주파수(角周波數, angular frequency)를 표기할 때도 사용된다. 문맥상 구별하자.

[3] Revolution Per Minute. $$1\,{\rm RPM}=\dfrac{\pi}{30}\,{\rm rad/s}$$

[출처] Howard Anton, Robert C. Busby, 《Contemporary Linear Algebra》, pp.290