관성력
1. 개요
관성력(inertial force-慣性力)은 가속운동하는 공간(비관성 기준계) 안에 있는 관찰자의 '착각'에 의해 마치 있는 것처럼 느껴지는 가상의 힘이다. 관성력이라는 네이밍 때문에 물리를 갓 배우기 시작한 학생들은 보통 관성력이 관성을 유지해주는 힘이라고 잘못 이해하곤 하지만, 연관 개념일 뿐이지 엄연히 다른 개념이다. 관성에는 힘이 필요없다. 자세한 건 뉴턴의 운동법칙 중 제1 법칙 참조. 오히려 상대속도와 비슷한 개념이다. 관성력의 다른 말이 겉보기 힘이기도 하다. 관성력이 아니라 가상의 힘 또는 허구의 힘이 더 어울리는 이름이지만 어째서인지 관성력이라 불린다[1]. 관성력의 예로는 원심력과 코리올리 힘이 대표적이다.
2. 본론
2.1. 상대 (가)속도
30km/h로 운전하는 차에 타 직선도로를 따라 드라이브 하면서 바깥 풍경을 관찰하고 있다고 생각해보자. 아름다운 풍경에 감탄하며 자신이 차를 타고있다는것을 다 잊어버리고 무의식에 맡겨놨다고 생각하자. 그렇다면 일정 간격마다 가로수로 심어진 단풍나무는 (사실 가만히 있지만) 30km/h로 뒤로 가는것 처럼 느껴질것이다. 이것이 모두가 잘 아는 상대속도이다. 그런데 30km/h의 느린 운전에 짜증을 낸 뒷 차가 5초 동안 60km/h까지 등가속하여 추월을 하기 시작했다. 상대속도의 관점에서 뒷차의 가속도를 구해보면, 0km/h의 상대속도에서 30km/h의 상대속도까지 가속운동을 5초동안 하였으므로 "상대" 가속도는
$$\displaystyle a_{\text{상}}=\rm \frac{30km/h-0km/h}{5 s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{5}{3}m/s^2$$
가 된다.
2.2. 뒷차의 상대 가속도에 의한 뉴턴의 운동 제2법칙
마침 물리덕후였던 운전자가 이 가속도를 이용하여 뒷차의 알짜힘을 계산하기 시작하였다. ( 뒷차의 질량은 1500kg이다.)
$$\displaystyle F_{\text{상}}=ma_{\text{상}}=\rm 1500kg \times \frac{5}{3}m/s^2=2500N$$
2.3. 전지적 시점에서의 뒷차의 가속도와 알짜힘
이야기의 내막을 알고있는 우리의 입장에서 가속도와 알짜힘을 다시 한 번 구해보자. 뒷 차는 30km/h에서 60km/h로 5초동안 가속운동하였으므로 가속도는
$$\displaystyle a= \rm \frac{60km/h-30km/h}{5 s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{5}{3}m/s^2$$
엥? 상대 가속도와 같다. 그러면 질량은 불변이니 알짜힘은 2500N.
2.4. 뒷차의 입장에서 앞 차를 이해해보자.
뒷차의 입장에서 보는 앞차는 0km/h에서 -30km/h로 5초동안 가속한다. 위와 유사한 계산은 생략하고 부호만 바뀌었으니 상대 가속도는 $$ \rm -\frac{5}{3}m/s^2$$이다. 앞차의 질량을 1200kg라고 한다면, 알짜힘은 -2000N. 중요한건....
2.5. 전지적 시점에서 바라본 앞차
앞차의 실제 가속도는 0이고 알짜힘도 0이다. 엥? 뒷차는 전지적 시점과 상대적 시점의 알짜힘이 같았는데? 드디어 등장하는 개념이 바로....
2.6. 겉보기 힘
전지적 관점과 상대적 관점에서 바라본 앞차의 알짜힘의 차이는 어디서 나온것일까.
그것은 관찰자가 탑승한 차(=기준계)의 운동상태와 관련있다. 등속운동을 하고있는 앞차(=관성 기준계)의 운전자는 자신이 운동하고 있다는 사실을 아는지 모르는지와는 상관없이 자신이 관찰하고 있는 대상인 뒷차의 알짜힘을 아무런 "편견"없이 파악할 수 있는것이다. 그런데 뒷차의 운전자는, 자신의 자동차(=비관성 기준계)가 2500N의 힘을 받으며 가속운동을 하고있다는 사실을 잊어버린다면, 마치 앞차가 반대방향으로 2000N만큼 힘을 받고 있다고 거꾸로 생각하게 되는것이다. 즉, 관찰자인 뒷차의 운전자가 착각하고있는 앞차의 알짜힘 -2000N이 바로 관성력이고, 이것은 사실 (관찰대상인 앞차가 아니라) 뒷차의 운전자 자신의 가속도($$\rm \frac{5}{3}m/s^2$$)에 앞차의 질량(1200kg)을 곱해주고 부호만 바꾼것이다.
만약 뒷차의 운동은 그대로이고, 앞차가 30km/h에서 54km/h까지 5초간 등가속운동을 한다면 어떻게 될까? 앞차의 가속도는
$$\displaystyle a=\rm\frac{54km/h-30km/h}{5s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=\frac{4}{3}m/s^2$$
이고, 상대가속도는
$$\displaystyle a_{\text{상}}=\rm\frac{(-6)km/h-0km/h}{5s} \times \frac{1h}{3600s} \times \frac{1000m}{1km}=-\frac{1}{3}m/s^2$$
이 되어, 가속도로 계산한 알짜힘은 1600N, 상대가속도로 계산한 알짜힘은 -400N이 된다. 또한 앞차가 바라본 뒷차의 상대가속도는 뒷차가 바라본 앞차의 상대가속도와 부호만 다르므로, 쉽게 계산할수있다.
위 표에서 뒷차의 운전자가 바라본 앞차의 상대적인 알짜힘 -400N은 앞차에 실제로 적용 알짜힘인 1600N에 뒷차의 가속도 $$\rm\frac{5}{3}m/s^2$$에 앞차의 질량 1200kg을 곱해준 값 2000N을 빼준값이다. 이를 일반화하면, 가속운동하는 공간안에 있는 관찰자가 어떤 물체에 적용된 알짜힘에 대해 관찰 할때, 다음과 같이 관찰한다고 볼수있다.
$$F_{\text{관찰}}=F_{\text{실제}}-ma_{\text{공간}}$$
위 식에서 $$-ma_{\text{공간}}$$는 물체에 실제로 적용된 힘은 아니지만, 관찰자는 실제로 적용된 알짜힘에 $$-ma_{\text{공간}}$$를 더한 값을 관찰하게되고, 이 $$-ma_{\text{공간}}$$를 관성력 또는 겉보기 힘이라고 한다.
3. 심화
이 문단에서는 관성력을 수학적인 관점에서 바라보도록 한다.
3.1. 관성력 방정식
먼저 가만히 있는 관측자 A, 이리저리 움직이고 회전하는 B, 그리고 입자가 하나 있다고 가정해보자. B의 관점에서 입자의 위치를 $$\textbf{x}_\text{B}$$라 하자. 또한, B의 좌표의 단위벡터를 $$\textbf{u}_\text{1}, \textbf{u}_\text{2}, \textbf{u}_\text{3}$$라 하자. 마지막으로, A에서 B로 향하는 벡터를 $$\textbf{r}_\text{AB}$$이라 하자. 그렇다면,
$$\displaystyle \textbf{x}_\text{B} = \sum_{j=1}^3 x_j \textbf{u}_\text{j}$$
[1] 영어로 관성력은 fictitious force, 즉 가상의 힘이다
$$\displaystyle \textbf{x}_\text{A} = \textbf{r}_\text{AB} + \sum_{j=1}^3 x_j \textbf{u}_\text{j}$$
$$\displaystyle \textbf{v}_\text{A}= \textbf{v}_\text{AB}+ \sum_{j=1}^3 v_j \textbf{u}_\text{j} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt}$$
$$\displaystyle \textbf{a}_\text{A}= \textbf{a}_\text{AB} + \Bigg(\sum_{j=1}^3 a_j \textbf{u}_\text{j} + \sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt}\Bigg) + \Bigg(\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}\Bigg)$$
$$\displaystyle \textbf{a}_\text{A}= \textbf{a}_\text{AB} + \textbf{a}_\text{B} + 2\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}$$
$$\displaystyle \textbf{F} = m\textbf{a}$$
$$\displaystyle \textbf{F}_\text{A}= m\textbf{a}_\text{AB} + \textbf{F}_\text{B} + 2m\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} + m\sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}$$
$$\displaystyle \textbf{F}_\text{B} = \textbf{F}_\text{A} + 관성력 $$
$$\displaystyle \text{F}_\text{f} = -m\textbf{a}_\text{AB} -2m\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} - m\sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}$$
3.2. 회전
전 문단에서 구한 방정식 중에서 2번째와 3번째항이 회전할 때 발현된다. 회전을 하면 좌표의 단위벡터들의 방향이 바뀌기 때문이다.
먼저, 회전 벡터 $$\mathbf{\Omega}$$를 정의하자. 이 벡터의 방향은 오른손의 법칙으로 정의되며, 절댓값은 회전하는 B의 각속도다.
단위 벡터들은 이 회전벡터의 방향과 수직으로 변화하므로,
$$\displaystyle \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt}= \mathbf{\Omega} \times \textbf{u}_\text{j}$$
양변을 한번 더 미분하면
$$\displaystyle \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2}= \frac{d\mathbf{\Omega}}{dt} \times \textbf{u}_\text{j} + \mathbf{\Omega} \times \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} = \frac{d\mathbf{\Omega}}{dt} \times \textbf{u}_\text{j} + \mathbf{\Omega} \times \big(\mathbf{\Omega} \times \textbf{u}_\text{j}\big)$$
$$\displaystyle \textbf{F}_\text{rot} = -2m\mathbf{\Omega} \times \textbf{v}_\text{B} - m\mathbf{\Omega} \times \big(\mathbf{\Omega} \times \textbf{x}_\text{B}\big) - m\frac{d\mathbf{\Omega}}{dt} \times \textbf{x}_\text{B}$$
3.3. 공전
회전 없는 공전을 보자. 단, 공전의 각속력($$\omega$$)은 일정하다고 가정하고, 공전의 반지름은 $$R$$. $$\frac{d\textbf{u}}{dt}=0$$이니 $$-m\textbf{a}_\text{AB}$$만 신경쓰면 돼서, 계산이 매우 간단하다. x-y평면을 공전의 평면으로 잡으면 계산은 더더욱 쉬워진다.
$$\displaystyle \textbf{r}_\text{AB} = R\cos (\omega t) \hat{\imath} + R\sin(\omega t) \hat{\jmath} $$
[2] 가속 회전할 때 느끼는 관성력. 회전목차 같은 놀이기구가 갑자기 움직이기 시작할 때 몸이 뒷쪽으로 쏠리는 게 예. 차가 가속할 때 느끼는 관성력과 매우 비슷하다.
$$\displaystyle \textbf{F}_\text{f} = -m\textbf{a}_\text{AB} = -m\frac{d^2\textbf{r}_\text{AB}}{dt^2} = m\omega^2R\cos (\omega t) \hat{\imath} + m\omega^2R\sin(\omega t) \hat{\jmath}$$
3.4. 공전과 동시에 회전: 조석고정
현실에서도 매우 흔하게 찾아볼 수 있는 현상. 굳이 지구-달 같은 조석고정이 된 계가 아니어도 뭔가를 줄으로 꽉 매달고 빙빙 돌리거나, 원심 분리기를 사용하거나 할 때도 적용이 가능하다. 심지어 인간이 원형 트랙에서 달리는 것도 수학적으로 동일한 상황이다 (항상 시야의 왼쪽 또는 오른쪽이 항상 원의 중심을 향하고 있으므로). 이런 가정을 하면 공전의 회전벡터와 자전의 회전벡터가 $$\mathbf{\Omega}$$로 완전히 동일하다. 마지막으로, $$\mathbf{\Omega}$$는 항상 일정하다고 가정한다.
$$\displaystyle -m\textbf{a}_\text{AB} = -m\mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \textbf{r}_\text{AB}) $$
$$\displaystyle -2m\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d\textbf{u}_\text{j}}{dt} = -2m\sum_{j=1}^3 v_j \mathbf{\Omega} \times \textbf{u}_\text{j} = -2m \mathbf{\Omega} \times \textbf{v}_\text{B}$$
$$\displaystyle -m\sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2\textbf{u}_\text{j}}{dt^2} = -m\sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \mathbf{u}_\text{j}) = -m\mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times \textbf{r}_\text{B}) $$
$$\displaystyle \textbf{F}_\text{f} = -m\mathbf{\Omega} \times (\mathbf{\Omega} \times (\mathbf{r}_\text{AB} + \mathbf{r}_\text{B})) -2m \mathbf{\Omega} \times \textbf{v}_\text{B} $$
4. 관성과 관성력의 차이와 오해
고전물리 학습자가 관성과 관성력에 관하여 처음으로 마주치는 예시는 출발 하는 버스의 문제일 것이다. 정지해있던 버스가 출발할 경우 서 있던 승객은 관성력이 작용하여 뒤로 넘어지려는 힘(=관성력)을 느낀다는것이 바로 그것이다. 여기서 첫번째 오해가 생기는데, 관성력이 실제로 작용하는 힘이라고 생각해버리는 것이다. 그러나 이 승객이 실제로 받는 힘은 자신의 발바닥에 가하는 버스 바닥의 정지 마찰력이다. 또한 이 힘의 방향은 승객이 넘어지려는 방향이 아닌 버스가 가속하는 방향이다.
두번째 오해는 관성력이 관성을 유지해주는 힘이라는 것이다. 그러나 뉴턴은 자신의 첫 번째 운동법칙에서 '관성'이라는 단어 자체를 "외부의 힘이 '없을 때' 등속운동을 한다는 것"으로 정의하였다. 다시 말하면 알짜힘이 존재하면 관성이라는 상태는 있을 수 조차 없다.
5. 관성력의 예
- 가속하는 버스의 손잡이가 가속방향의 반대로 기울어지거나 사람이 넘어지는 현상
- 엘리베이터를 타고 오르내리면서 느끼는 무거워지거나 가벼워진다고 느끼는 현상
- 우주 정거장에서 중력을 느끼는 현상[3]
[3] 원심력은 원운동을 하는 관성력이기 때문에 관성력의 예다