굿스타인 정리
1. 개요
굿스타인의 정리(Goodstein's theorem)는 임의의 자연수에서 시작하는 굿스타인 수열이 유한한 숫자의 항을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 사실이지만 페아노 공리계로 증명할 수 없으며, 이것은 불완전성 정리가 발표된 뒤 발견된 "사실이지만 증명 불가능한 명제"들 중 하나로, 앞선 것들보다 상대적으로 설명하기 쉽고 굿스타인 수열의 값 자체가 큰 수이기 때문에 유명해지게 되었다.
이 영상들을 참고하면 된다: 소개 상세
2. 약한 굿스타인 수열
약한 굿스타인 수열을 알고 있으면 굿스타인 수열을 이해하기 쉽다. 약한 굿스타인 수열은 이렇게 정의된다.
- 수열의 첫 번째 값 $$a_1$$으로 임의의 자연수 $$n$$을 선택한다.
- $$n$$을 2진법으로 전개한다. $$n=\Sigma_{i=0}^k {d_i 2^i}$$가 될 것이다.
- 위의 식에서, 2를 3으로 바꾼 뒤 1을 빼면 다음 항이 된다. 따라서, 11로 시작한 약한 굿스타인 수열의 다음 항 $$a_2$$는 $$11=2^3+2^1+2^0$$이므로 $$3^3+3^1+3^0-1=30$$이 된다.
- $$a_3$$은 $$a_2$$를 3진법으로 전개한 뒤, 3을 4로 바꾸고 1을 빼는 것으로 정의한다. 따라서 위의 경우 $$a_3=4^3+4^1-1=67$$이다.
- 0에 도달하면 수열이 끝난다.
3. 반복 n진법 표현
반복 n진법 표현은 어떤 자연수 $$m$$을 n진법 전개 $$\Sigma_{i=0}^k {d_i n^i}$$로 나타낸 뒤, 각각의 $$i$$를 다시 n진법 전개로 나타내고, 이 과정을 더 이상 반복할 수 없을 때까지 계속하는 것이다.
따라서, 11의 반복 2진법 표현은 $$11=2^3+2^1+2^0=2^{2^1+2^0}+2^1+2^0$$이 된다.
4. 굿스타인 수열
굿스타인 수열은 약한 굿스타인 수열의 n진법 표현을 반복 n진법 표현으로 대체한 것이다. 약한 굿스타인 수열보다 훨씬 급격히 커지지만 유한한 단계 뒤에 끝나는 것은 같다. 약한 굿스타인 수열과 달리, 이 수열이 유한한 단계 뒤에 끝난다는 것은 페아노 공리계에서 증명할 수 없다. 증명은 약한 굿스타인 수열의 경우와 거의 동일하지만, 이 경우 대응하는 서수가 $$\omega^{\omega^{\omega^\cdots}}=\epsilon_0$$보다 작은 어떤 것이든 올 수 있게 된다. 약한 굿스타인 수열의 경우, 대응하는 서수의 상한은 $$\omega^\omega$$였다.
5. 역사
불완전성 정리가 증명된 뒤 4년이 지난 1935년에, 게르하르트 겐첸은 초한 귀납법의 정당성을 $$\epsilon_0$$ 이상의 서수에 대해서 보일 수 없다는 사실을 증명하였다. 이것은 그 자체로 페아노 공리계에 대한 불완전성 정리의 직접적인 증명이 된다.
굿스타인은 1944년에 큰 서수에 대한 초한 귀납법이 필요한 굿스타인 정리를 증명하면서, 참이지만 페아노 공리계에서 증명할 수 없는 또 다른 명제를 만들어 냈다.
이후, 램지 이론에서 증명된 패리스-해링턴 정리가 페아노 공리계에서는 증명될 수 없다는 사실이 밝혀지면서, 패리스-해링턴 정리는 최초로 불완전성 원리의 "자연스러운" 예가 되었다.
6. Fast-growing hierarchy
$$n$$에서 시작하는 약한 굿스타인 수열의 최대값을 $$g(n)$$, 굿스타인 수열의 최대값은 $$G(n)$$이라고 하면, $$g(n)$$은 대략 $$f_{\omega^\omega}(n)$$와 비슷한 크기이고, $$G(n)$$은 $$f_{\epsilon_0}(n)$$ 정도인 것을 알 수 있다.