그람-슈미트 과정

 


Gram-Schmidt Orthogonalization
1. 개요
2. 직교기저와 정규직교기저
3. 구체적인 과정
4. 응용


1. 개요

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)은 $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{C}$$을 스칼라로 갖는 유한차원 내적 공간의 기저로부터, 정규직교(orthonormal) 기저를 얻는 과정이다. 이 과정에 따르면, 모든 유한차원 내적공간은 정규직교 기저를 갖는다.

2. 직교기저와 정규직교기저

기저의 모든 성분벡터들이 직교일 때, 그 기저를 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 또, 직교기저의 모든 성분벡터들의 노름이 1일 때, 그 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

3. 구체적인 과정

유한차원 내적 공간$$\left(V,\left<\cdot, \cdot\right>\right)$$의 기저 $$\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$$를 생각하자.
  1. $$\displaystyle u_{i}:=v_{i}-{\displaystyle \sum_{j}{\left}u_{j}$$
  2. $$\displaystyle w_{i}:=\frac{u_i}{\sqrt{\left}}$$
여기서, $$\left\{u_{1},\ldots,u_{k}\right\}$$가 직교 기저라는 것은, 귀납적으로 보일 수 있다. $$w_{j}$$의 크기는 $$1$$이므로, $$\left\{w_{1},\ldots,w_{n}\right\}$$는 정규직교 기저이다.

4. 응용

  • 임의의 $$A\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$$에 대해, $$U\in \text{U}\left(n\right)$$가 존재하여[1], $$AU^{-1}$$은 하삼각행렬(lower triangular matrix)[2]이다.
    $$A=\left(v_{1}\ldots v_{n}\right)\in \text{GL}_{n}\left(\mathbb{C}\right)$$의 열벡터들은 기저를 이룬다. 이것에 그람-슈미트 과정을 적용하여 얻은 벡터 $$w_{i}$$를 이용하여, $$U=\left(w_{1}\ldots w_{n}\right)$$라 하자. 그러면 첫번째에 의해, $$AU^{-1}$$는 하삼각행렬임을 알 수 있다.
  • 그람 슈미트 과정에서 QR Decomposition을 유도할 수 있다.

[1] 수반 연산자#s-4 항목 참조.[2] 주대각선 위 쪽이 모두 [math(0)]인 행렬

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