기바드-사데르스웨잇 정리
Gibbard–Satterthwaite Impossibility theorem.
투표자들의 선호순위만을 가지고 한 명의 당선자를 뽑는 모든 확정적[1] 투표 방식은 최소 2명의 투표자와 최소 3개의 결과가 존재할 때 다음 세 가지 중 하나에 해당된다는 정리.
이 정리는 케네스 애로우의 불가능성 정리의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 기바드와 사데르스웨잇의 정리는 개인들의 선호체계가 주어졌을 때 무엇이 가장 좋은 선택(사회선택함수)[2]조차도 알 수 없음을 나타내는 반면, 애로우의 정리는 더 나아가 주어진 개인들의 선호체계를 종합하여 사회적인 선호순서(사회후생함수/social welfare function)를 정할 수 없다고 말하기 때문이다.
투표자가 투표 행위로 인한 외부성을 배제하고 자신의 정치적 선호를 온전히 투표에 반영시키고, 투표 결과가 사회 전체의 합의로 이어지는 현상은 통념에서 보았을 때 민주주의의 가장 바람직한 모습으로 인식되지만 실제로는 존재할 수 없음을 의미하는 것이다.
애로우의 정리에서 '사회적 의지', '일반의지', '국민의 뜻' 등의 수식어가 일종의 기만에 불과함을 알 수 있다면 기바드-사데르스웨잇 정리는 이를 넘어서 사회적으로 어떤 체제를 취하더라도 언제나 거짓을 통해 이득을 취하는 사람이 존재함을 의미한다고 볼 수 있다. 또한 사회적으로 거짓을 말하는 사람이 얼마나 많은지 알 수 없으므로, 투표를 통해 결정한 내용이 항상 '정당하다'라고 볼 수 없다는 것을 알 수 있다.
Strategy-proofness
모든 사람이 자발적으로 진실한 신호를 표출할 인센티브가 있을 때 사회선택함수는 조작불가(Strategy-proof)하다. 투표자가 자신의 선호순위와 상이한 선택지에 투표함으로써 인센티브를 획득하는 것을 차단하는 성질. 예를 들어 투표자의 정책적 선호는 약소정당인 B정당에 있으나, 거대정당인 A정당에 투표함으로써 B정당을 지지할 때보다 자신의 이득이 확대될 때 투표 조작에 의한 인센티브가 발생한다.
투표 결과에 있어서 한 선택지가 다른 선택지에 비해 만장일치(투표자 전원)로 순위가 낮을 때, 해당 선택지는 의사결정에서 배제된다.
1. 개요
투표자들의 선호순위만을 가지고 한 명의 당선자를 뽑는 모든 확정적[1] 투표 방식은 최소 2명의 투표자와 최소 3개의 결과가 존재할 때 다음 세 가지 중 하나에 해당된다는 정리.
- 독재적이다(한 명이 당선 결과를 마음대로 조절할 수 있다.)
- 절대로 투표에 당선될 수 없는 후보자가 존재한다. (만장일치성 깨짐)
- 전략적 투표가 가능하다. (대전략성 깨짐)
이 정리는 케네스 애로우의 불가능성 정리의 특수한 경우로 이해할 수 있다. 기바드와 사데르스웨잇의 정리는 개인들의 선호체계가 주어졌을 때 무엇이 가장 좋은 선택(사회선택함수)[2]조차도 알 수 없음을 나타내는 반면, 애로우의 정리는 더 나아가 주어진 개인들의 선호체계를 종합하여 사회적인 선호순서(사회후생함수/social welfare function)를 정할 수 없다고 말하기 때문이다.
투표자가 투표 행위로 인한 외부성을 배제하고 자신의 정치적 선호를 온전히 투표에 반영시키고, 투표 결과가 사회 전체의 합의로 이어지는 현상은 통념에서 보았을 때 민주주의의 가장 바람직한 모습으로 인식되지만 실제로는 존재할 수 없음을 의미하는 것이다.
애로우의 정리에서 '사회적 의지', '일반의지', '국민의 뜻' 등의 수식어가 일종의 기만에 불과함을 알 수 있다면 기바드-사데르스웨잇 정리는 이를 넘어서 사회적으로 어떤 체제를 취하더라도 언제나 거짓을 통해 이득을 취하는 사람이 존재함을 의미한다고 볼 수 있다. 또한 사회적으로 거짓을 말하는 사람이 얼마나 많은지 알 수 없으므로, 투표를 통해 결정한 내용이 항상 '정당하다'라고 볼 수 없다는 것을 알 수 있다.
2. 대전략성
Strategy-proofness
모든 사람이 자발적으로 진실한 신호를 표출할 인센티브가 있을 때 사회선택함수는 조작불가(Strategy-proof)하다. 투표자가 자신의 선호순위와 상이한 선택지에 투표함으로써 인센티브를 획득하는 것을 차단하는 성질. 예를 들어 투표자의 정책적 선호는 약소정당인 B정당에 있으나, 거대정당인 A정당에 투표함으로써 B정당을 지지할 때보다 자신의 이득이 확대될 때 투표 조작에 의한 인센티브가 발생한다.
3. 만장일치성
투표 결과에 있어서 한 선택지가 다른 선택지에 비해 만장일치(투표자 전원)로 순위가 낮을 때, 해당 선택지는 의사결정에서 배제된다.