길이 수축
1. 개요
Length contraction.
특수상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나. 간단히 말해 '''한 대상이 등속운동하면 그 대상을 보는 멈춰있는 관측자의 입장에서 보여지는 대상의 길이는 줄어든다는 현상인데, 실제는 대상의 길이는 그대로지만 눈금간격이 커진 자로 재는 결과로 인하여 그 길이의 수치만 작아지게 되는 로렌츠 변환에서 비롯된 결과를 부르는 용어이다.“
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다. 참고로 이를 로런츠-피츠제럴드 수축이라고 하는데, 이들이 뉴턴 역학과 맥스웰 방정식의 모순 문제와 마이컬슨-몰리 실험 모순을 해결하기 위해 로런츠 변환이라는 식을 도입하면서 도출한 것이다. 이후 아인슈타인이 역학 관점에서 길이 수축을 재해석하였다.
2. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
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길이 수축은 시간 지연#s-2.1 문서에서 소개한 광자 시계를 수평으로 돌린 상황을 고려하면 유추할 수 있다. 다시 말해 광자와 열차의 진행 방향이 평행한 상황을 가정한다.
시간 지연#s-2.1 문서에서 식을 유도할 때는 광자가 열차의 세로 방향으로 왕복했기 때문에 정지한 관찰자가 측정하든 운동하는 관찰자가 측정하든 길이가 똑같아서 문제가 되지 않았다. 그러나 이 문서에서 다루는 문제에서는 광자가 가로 방향, 즉 열차의 속도와 평행한 방향으로 왕복한다. 결론부터 말하자면, 이런 상황에서는 정지한 관찰자와 운동하는 관찰자가 측정하는 열차의 길이가 서로 달라진다.
열차 안에서 봤을 때, 광자가 왕복하는 시간은 역시 $$\Delta t = {2L \over c}$$로 측정된다.
열차 밖에서는 광자가 반대편 벽(연두색→청회색)에 다다를 때 위 그림으로부터 관계식을 세울 수 있다. $$c\Delta t_1=v\Delta t_1+L'$$이므로 $$\Delta t_1 = {L' \over (c-v)}$$이 된다. 또한 반사 후 다시 돌아올 때 (청회색→연두색)$$c\Delta t_2+v\Delta t_2=L'$$이므로 소요되는 시간은 $$\Delta t_2={ L' \over (c+v)}$$로 측정된다. 이 둘을 더하면 왕복시간이 나온다. $$\Delta t' = \Delta t_1+\Delta t_2 = \frac{2 L'c}{(c^2-v^2)} = \frac{2 L' \gamma^2}{c}$$. 시간 지연#s-2.1 문서에서 알 수 있듯이 열차 안은 바깥보다 $$\gamma$$배 느려지므로 $$\Delta t' = \gamma \Delta t= {2\gamma L \over c}$$가 성립한다. 이로부터 아래 식이 유도된다.
$$\displaystyle L'=\frac{L}{\gamma}= L\sqrt{1-{v^2\over c^2}}$$
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 시속 35km 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 180cm 인 사람은 밖에서 보기에 0.9465fm(펨토미터) 가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다(...)
3. 로런츠 변환을 이용한 설명
시간 지연#s-2.2과 마찬가지로 로런츠 변환을 이용해서 구할 수 있다. P, Q를 열차의 양 끝 지점이라 한다. 두 지점 P, Q가 어떤 관성좌표계 O에서 정지해 있다면 O에서 나타나는 P와 Q의 궤적은 $$t, x$$ 좌표평면 상에서 아래 관계식으로 써진다. $$L$$이 두 지점 P, Q 사이의 고유 길이이다.
$$P:\ x=0\quad Q:\ x=L$$
한편 다른 관성 좌표계 O'이 O에 대해 $$x$$ 방향으로 속도 $$v=\beta c$$로 움직인다면 O와 O' 사이의 $$t, x$$ 관계식이 아래와 같이 써진다.
$$ct=\gamma(ct'+\beta x'),\ x = \gamma(x'+\beta ct')$$
$$,\gamma = (1-\beta^2)^{-{1\over 2}}$$
따라서 앞서 주어진 궤적의 방정식에 바로 위 식을 대입하면 $$t', x'$$좌표계 기준으로 아래와 같이 나타난다.
$$P:\ \gamma(x'+\beta ct')=0$$
$$Q:\ \gamma(x'+\beta ct')=L$$
이 식에서 동일한 $$t'$$을 잡을 때 P와 Q의 $$x'$$ 값의 차이가 바로 O'이 관측하는 열차의 길이이다.
$$\displaystyle \therefore L' = x'_Q-x'_P = \frac{L}{\gamma} = \sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}L$$