시간 지연
1. 개요
Time dilation.
상대성 이론으로 설명되는 기이한 현상 중 하나. 이론뿐 아니라 인공위성과 지상에 각각 시계를 둔 상태에서 행한 실험을 통해 '''실제로 확인된 현상'''이다.
길이 수축이 고전 역학에서의 절대 공간의 개념을 사장시킨 현상이라면, 시간 지연은 수천 년간 이어져 내려오던 '''절대적인 시간의 개념을 깨부순 현상'''이다.
두 줄로 간단히 요약할 수 있다.
여기서 중요한 전제가 있는데, 일반 상대성 이론은 관측자가 정지, 등속(a=0)일 때를 포함하여 '''가속 운동'''하는 모든 상황까지도 적용가능(사실상 중력장이 존재하는 범위 내에서 전부 적용가능)하지만, 특수 상대성 이론은 '''관측자가 정지 또는 등속(가속도=0)일 때만 적용 가능'''한 이론이다. 말 그대로 '특수한' 상황에서의 이론이다.특수 상대성 이론: "움직이는 물체의 시간은 느리게 간다."[1]
일반 상대성 이론: "중력장은 시간의 흐름을 늦춘다."
한편 시간이 아무리 느려진다고는 해도, 등속운동만으로 시간을 반으로 늦추려면 광속의 86.7%로 달려야 한다. 즉 259,627,884m/s이므로 1초에 26만km 가량을 가는 속도(...). 중력장 및 가속운동에 의한 시간지연은 더 클 수 있으나, '''태양 정도 질량 및 이와 동등한 가속으론 어림도 없다.'''(그나마도 이 수준이 지구 공전속도(30km/s)로 인한 영향보다 두 배 크다.) 즉, 인간이 시간지연을 체감할 수 있으려면 빛과 비견될 정도로 엄청 빠르거나, 블랙홀급 스케일의 중력장이나 이와 대등한 중력 퍼텐셜 차를 일으켜야 한다. 감마 인자에 대해 식을 세워놓고 풀어보면, 1% 정도의 시간 지연이 일어나기 위해 필요한 속력은 광속의 14% (약 4만2천km/s) 정도이다.
위의 두 명제는 사실 하나로 통합 가능한데, 바로 '''"두 관성계를 오가는데 필요한 에너지 차이가 시간 지연을 일으킨다."''' 이다. 특수상대론의 경우 운동 에너지, 중력장의 경우 포텐셜 에너지를 끼워넣으면 설명된다.
2. 움직이는 물체의 시간 지연
로런츠 변환식으부터 길이 수축이라든가 시간 지연 같은 걸 나타내는 식을 이끌어낼 수 있다. 그중 한 예가 바로 시간 지연을 나타내는 이것$$\displaystyle \Delta t' = \gamma \Delta t = \Delta t \left(\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{-1}$$
여기서 $$\Delta t'$$은 정지한 관측자(열차 밖)의 시간간격, $$\Delta t$$는 운동하는 관측자(열차 안)의 시간간격을 나타내며, $$\gamma$$는 로런츠 인자(Lorentz factor)로 상대론에서 빈번히 등장하는 값이다. 이 식은 운동하는 물체는 열차 밖의 좌표를 기준으로 시간이 느리게 가는 것으로 관측이 된다는 뜻이다.
우리가 경험하는 일상적인 세계에서는 속도의 제곱이 광속의 제곱에 비해 '''매우''' 작으므로 $$\gamma$$ 값이 1에 매우 가까운 숫자가 되고, 따라서 $$\Delta t'$$과 $$\Delta t$$도 '''아주 거의''' 비슷한 값이 된다. 물론 1에 매우 가까울 뿐 1은 아니기 때문에 $$\Delta t'$$과 $$\Delta t$$가 완전히 같은 값이 될 수는 없다.
사실 등속도 운동이 아니더라도 다음과 같이 원운동을 하는 물체에도 위 식을 적용할 수 있다. 아래 그림과 같이 멈춰있는 파란색 시계는 움직이는 빨간색 시계보다 빨리 흐르며, 그 비율은 $$\gamma$$와 같다.
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2.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
이 식은 광속의 불변을 공리로 깔고 사고 실험으로 광자시계라는 것을 생각해보면 도출 할 수 있다. 광자시계는 거리를 두고 마주 보는 반사율 100%인 거울 사이를 광자 하나가 오가는 것을 생각하면 된다. 마주 보는 거울이 배치 된 열차를 생각하면 된다. 이것이 시계인 이유는 광속이 일정하기 때문이다. 광자가 거울 사이를 왕복하는 횟수가 곧 흐른 시간과 비례하기 때문에 광자 왕복횟수로 시간을 잴 수 있다.
이 상황을 시계가 정지한 좌표계에서 관찰하면(열차 안) 아래의 왼쪽 그림과 같이 되고 시계가 빛과 수직으로 움직이는 것으로 보이는 좌표계에서 보면(열차 밖) 아래의 오른쪽 그림과 같이 된다. 오른쪽 그림은 빛이 거울 사이를 왕복하는 동안 거울이 움직여 밖에서 보기에는 빛이 지그재그로 진행하는 것으로 보인다는 것을 표현한 것이다.
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그림만을 이용해 간단하게 설명하자면, 열차 안에서는 광자가 거울 간의 거리를 왕복하려면 $$2H$$의 거리만 이동하면 된다. 하지만 열차 밖에서 보기에는 광자가 거울 간의 거리+열차가 움직이면서 함께 이동한 거리까지 감안이 되어서 $$2H$$보다 훨씬 긴 $$2R$$의 거리를 이동해야 한다. 빛의 속도는 일정하기 때문에 당연히 $$2H$$보다는 $$2R$$을 가는데 걸리는 시간이 더 오래 걸린다. "빛이 거울 사이를 1번 왕복한다"는 똑같은 현상을 관찰하는 데 걸리는 시간이, 열차 안에 있는 관찰자보다 열차 밖에 있는 관찰자가 더 오래 걸리는 것이다.
피타고라스의 정리를 사용하면 과연 얼마나 달라지는지 정량적으로 계산할 수 있다. 거울 간의 거리를 $$H$$라 할 때 열차 내에서 광자가 왕복하는 시간 $$\Delta t$$를 측정하면 $$2H \over c$$가 된다. 그런데 열차 밖에서 측정한 왕복 시간 $$\Delta t'$$은 $$2R \over c$$로 써진다.
한편 열차가 움직이는 속력을 $$v$$라 할 때 열차 밖의 시간과 열차의 속력을 곱하면 $$2L=v\Delta t'$$이 성립한다. 또한 $$2H= c\Delta t$$, $$2R= c\Delta t'$$이므로 직각삼각형의 관계식 $$2R=2\sqrt{L^2+H^2}=\sqrt{(2L)^2+(2H)^2}$$에 세 문자를 각각 대입하면..
$$c\Delta t' = \sqrt{(v\Delta t')^2 + (c\Delta t)^2}$$
이 식을 $$\Delta t'$$에 대해서 풀면 처음 제시한 식과 같이 나온다.
$$\displaystyle \Delta t' = \Delta t \left(\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}\right)^{-1}$$
바로 위의 식에서 특수 상대성 이론에서 말하는, "빛보다 빠른 물질은 없다."라는 결론이 도출된다. 시간에 관해 정리한 식이므로 우변에 있는 $$\Delta t$$에 곱해져야하는 숫자는 반드시 실수여야만 한다. 그러므로 루트 안에 있는 $$1 - {v^2 \over c^2}$$라는 식은 항상 0보다 커야만 하기 때문에, 분자에 있는 $$v^2$$(열차가 움직이는 속력)은 항상 $$c^2$$(광속)보다 작아야만 한다는 결론이 나온다.
2.2. 로런츠 변환을 이용한 설명
로런츠 변환을 이용해서 구할 수도 있다. 두 사건 P, Q가 어떤 관성좌표계 O에서 같은 공간 위치에서 일어난다고 하면 O에서 잰 시간이 곧 두 사건 P, Q 사이의 고유 시간이다. 한편 다른 관성 좌표계 O'이 O에 대해 $$x$$ 방향으로 속도 $$v=\beta c$$로 움직인다면 O와 O' 사이의 $$t, x$$ 관계식이 아래와 같이 써진다. $$y, z$$는 항상 좌푯값이 같으므로 생략.
$$ct'=\gamma(ct-\beta x),\ x' = \gamma(x-\beta ct), \gamma = (1-\beta^2)^{-{1\over 2}}$$
여기서 사건 P, Q의 $$x$$좌표가 0으로 동일하다고 가정하면 $$x_Q-x_P=0$$이므로 구하고자 하는 관계식이 도출된다.
$$c(t'_Q-t'_P)=\gamma(c(t_Q-t_P)-\beta (x_Q-x_P)) \rightarrow \Delta t' = \gamma \Delta t,\ \gamma =\left(1 - \beta^2\right)^{-{1 \over 2}}$$
2.3. 관련 문서
3. 중력장에 의한 시간 지연
등가원리 문서의 마지막 단락에서 이끌어낸 결과를 가져오자면 $$\Delta \Phi \ll c^2$$를 만족하는 '''충분히 약한''' 중력장[2]에서 두 지점 A, B에서 흐른 시간의 비는 아래와 같이 주어진다. 이는 등가원리를 응용하여 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \frac{\Delta t_A}{\Delta t_B} \approx 1+\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2} \approx \exp\left(\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2}\right) $$
3.1. 예시: 태양계
이를 태양계에 적용해 보면 아래와 같이 나타난다.
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위 그림은 지표면 위에 있는 시계, 지구 중력장의 영향을 배제한 시계 등 여러 가지 원자시계를 나타낸 것이다. 시각 표기 약자 명칭은 시간 체계 문서 참고.
지구시(TT, 혹은 역표시(ET))와 국제원자시(TAI)는 지표면을 기준으로 한다. 여기서 지구 중력장에 의한 시간 지연을 뺀 지심좌표시(TCG)와 비교하자면 지구 중력장이 만든 퍼텐셜차가 시간의 흐름 비를 결정한다.[3] 즉 수식으로 나타내면 아래와 같다.
$$\displaystyle \Phi_{\text{TCG}}-\Phi_{\text{TT}}=\frac{GM_{\text{Earth}} }{R_{\text{Earth}} }$$(만유인력장의 단위질량 당 퍼텐셜 에너지에 해당된다.)
$$\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{TCG}} }{\Delta t_{\text{TT}} }=1+\frac{GM_{\text{Earth}} }{c^2 R_{\text{Earth}} } \approx 1+7\times 10^{-10}$$
이번에는 태양 중력장 내에서 지구와 같이 공전하는 TCG와 공전하지 않는 시계 X를 비교하자면 지구의 공전속도 항이 들어간다.
$$\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{X}} }{\Delta t_{\text{TCG}} }=\left(1 - {v_{\text{Earth}}^2 \over c^2}\right)^{-{1 \over 2}}\approx 1+5\times 10^{-9}$$
다만 지구는 실제로 공전속력과 태양으로부터의 거리가 미세하게 변하는 타원운동을 하기 때문에 실제 계산은 훨씬 복잡하다.
또한 시계 X에서 태양을 비롯한 나머지 천체의 중력장까지 다 배제하면 TCB가 된다. 이 둘 사이의 비율은 태양의 중력장에서 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \frac{\Delta t_{\text{TCB}} }{\Delta t_{\text{X}} }=1+\frac{GM_{\text{Sun}} }{c^2 R_{\text{Earth\ orbit}} } \approx 1+1\times 10^{-8}$$
따라서 TAI로 1년이 흐를 때, TCG는 (1년+0.02초), 시계 X는 (1년+0.18초), TCB는 (1년+0.49초) 흐름을 알 수 있다. 추가로 계산해보자면 태양 표면에서는 (1년-33초) 흐르게 된다. 꽤 미세한 차이지만, 과학에서는 이런 시각 표기 체계를 엄연히 구분해서 쓴다.
3.2. 예시: 인공위성
인공위성은 지구 주위를 빠르게 공전한다. 이때 지표면보다 위에 있으므로 일반상대론 효과로 시간이 좀 더 빨리 흐르며(아래 그림의 초록색 곡선), 초속 수km로 공전하므로 시간의 흐름이 느려진다(빨간색 곡선). 파란색 곡선이 알짜 효과이며, 그래프의 세로 축은 지표의 원자시계로 1초 흐를 때 인공위성에서 몇 피코초 더 빨리 흐르는지를 나타낸다.
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이미지 출처
이 그림에 따른다면 지표에서 하루(86400 SI초)가 흐를 때 GPS는 30~40마이크로초 더 흐른다. 이를 보정하지 않으면 내비게이션과 같은 위치추적 장치는 하루에 10km 정도의 오차를 내고 만다. 전파 신호로 위치를 추적하므로 하루 당 오차에서 광속을 곱하면 된다.
3.3. 관련 문서
4. SF에서의 시간 지연
SF장르, 그중에서도 특히 우주 여행을 다루는 작품에서 심심찮게 등장하는 요소다. 아광속 여행을 통해 미래로 워프하는 것은 가능하지만, 과거로 가는 것은 불가능하므로 자신이 출발했던 시대(본인에게는 며칠 전으로 느껴지는)로 다시는 돌아갈 수 없기 때문.
보통 다섯 가지 방법으로 해결한다.
1. 시간 지연을 받아들이고 현실적인 범위 내로 세계관의 크기를 한정한다.
예: 카우보이 비밥. 태양계 안에서 놀면 문제될 것 없다.
2. 다시는 원래 시대로 돌아가지 않을 각오가 된 막장들만 취급한다.
예: 스타크래프트의 테란.[4]
3. 그런 거 필요없고 텔레포트! 즉 상대성 이론을 따르지 않는 이동 방법을 등장시킨다.
예: 은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서.
어슐러 K. 르 귄의 앤서블도 넓게 보면 3의 범위에 속한다. 다만 사람이 아닌 정보만을 전할 수 있다.
4.시간 지연이 이루어지고 세계관의 크기도 크며 시간 지연 자체가 스토리텔링의 한 축이다. 시간 지연을 겪는 등장인물들은 이로 인해 원래 세계와 격리되어간다.
예 : SF영화 인터스텔라, 조 홀드먼의 SF소설 영원한 전쟁, 시간이 느리게 가는 동굴에 갇히는 영화 배틀타임트랩: 초시공간여행(원제: Time Trap, 영화 자체가 배틀이랑 상관없다...)
5. 그냥 무시하거나 기술에 대한 설명을 하지 않는다.
예: SF영화 스타워즈 시리즈. 은하계 단위로 놀지만 대충 하이퍼스페이스에 있는 사람이 겪은 시간만큼 은하계 전역의 시간도 똑같이 간다.
[1] 이 말은 중의적 표현을 띠고 있다. 정지된 관측자의 입장에서 매우 빠르게 움직이는 물체의 시곗바늘은 관측자보다 느리게 움직인다. 반대로 매우 빠르게 움직이는 물체에 위치한 관측자는 주변 환경의 시곗바늘이 자신보다 더 느리게 움직일 것이다. 다만 이건 물체의 입장에선 물체의 시간이 더 빠르게 간다고 말할 수도 있다. 시간이 빠르다/느리다라는 애매한 표현보다는 시계바늘을 통한 설명이 시간 지연을 설명할 때에는 더 유용하다.[2] 태양계에서도 적용 가능[3] 물론 지구의 자전까지 고려해야 하지만 시간 지연 효과가 아래 서술하는 것보다 훨씬 작아서 편의상 생략[4] 그런데 스타크래프트 2를 보면 기술력이 우월하다는 UED도 아니고 히페리온과 같은 코프룰루 구역의 테란 함선도 초공간도약으로 보이는 항법을 잘만 쓴다. 하기야 이 동네는 저그 생물인 거대괴수도 초공간 도약 같은 걸 하긴 하지만….