나폴레옹의 정리
1. 개요
기하학 정리 중 하나. 나폴레옹 보나파르트가 발견했다는 말이 내려와 이런 이름이 붙었으나, 실제 나폴레옹이 연관되었다는 직접적인 근거는 없다. 참고
2. 상세
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출처
임의의 삼각형의 각 변에 그 길이를 세 변의 길이로 하는 정삼각형 세 개를 덧그릴 때, 각 정삼각형의 중점을 이으면 정삼각형이 만들어지며, 이를 나폴레옹의 삼각형(Napoleon's triangle)이라고 한다. 여기서 삼각형을 덧그릴 때 셋 모두 원래 삼각형의 바깥으로 덧그리거나 모두 안쪽으로 덧그려야 한다. 전자의 경우 바깥쪽 나폴레옹의 삼각형(outer Napoleon's triangle), 후자의 경우 안쪽 나폴레옹의 삼각형(inner Napoleon's triangle)이라고 한다.
이때 (바깥쪽 나폴레옹의 삼각형의 넓이)-(안쪽 나폴레옹의 삼각형의 넓이)는 원래 삼각형의 넓이와 같고, 원래 삼각형과 두 나폴레옹의 삼각형의 무게중심은 같다.
증명은 여러 방법이 고안되어 있는데 복소수를 이용하면 쉽다고 한다.[1]
전해지는 일화에 따르면 수학자인 라그랑주, 라플라스와 이야기하던 중 새로운 해법을 얘기했다고 한다. 다만 수학계에서 증명했다는 걸 인정받기 위해서는 적어도 증명 방법 정도는 남아있어야 하는데, 이를 증명할 사료가 전무하니 실제 나폴레옹이 제대로 발견했는지 아닌지는 누구도 알 수 없다. 아니 나폴레옹이 정말로 해법을 얘기했는지조차 미지수. 어쨌든 나폴레옹이 발견했든 아니든 그 진위 여부와는 별개로 나폴레옹의 정리라는 이름으로 불리고 있다.
라플라스의 회고에 따르면, 1797년 어느 날 라그랑주, 라플라스와 얘기하던 나폴레옹이 전혀 새로운 마스케로니 작도의 해법을 얘기하여 주변 사람을 놀라게 했다고 한다. 정치적 야심이 있었고 실제로도 잠깐이지만 내무부 장관에도 올랐던 라플라스의 말인지라 어느 정도 진실인지 알 수는 없지만, 나폴레옹이 수학에[2] 많은 관심을 가지고 있었던 데다 상당한 소질도 있었다는 것은 사실인 것 같다. 프랑스 수학계에 마스케로니 작도를 소개한 것도 사실상 나폴레옹이니, 마스케로니의 문제 중에 나폴레옹의 이름이 붙은 문제가 있는 것도 이상할 것은 없다 하겠다.
[1] 삼각형 ABC의 각 꼭지점을 복소수에 대응시키고, 회전변환이 단위복소수의 곱이며 비율 변환은 실수를 곱한다는걸 이용하면 삼각형 외측으로 그려진 정삼각형들의 무게중심, 혹은 삼각형 내측으로 그려진 정삼각형들의 무게중심을 표현할 수 있게 된다. 이게 정삼각형을 이루는지는 복소수의 차의 절대값이 같다는 것만 보이면 증명 완료. 정삼각형의 넓이는 한 변의 길이의 제곱의 $$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$$배임을 이용하여 정리하면 된다.[2] 나폴레옹은 임관부터 포병 장교 출신이다. 이 시절 사격 계산식을 컴퓨터 도움 없이 즉석에서 직접 빠르게 계산, 수정해야 했던 포병 장교들은 수학 실력이 좋았다. 그 시절 군사 이론은 기하학적으로 전투 지휘를 우수하게 할 수 있다는 설이 주류였으므로 기하학에도 관심이 많았다. 또 성형 요새와 흡사한 모양이다.