낙타 나누기

 

1. 개요
2. 해답
3. 유사 문제
4. 관련 문서


1. 개요

여러 마리의 낙타를 놓고 세 사람이 일정한 비율로 나눠 갖는 문제로 그 전문은 아래와 같다.
아버지가 세상을 떠나기 전 세 아들에게 유언을 남겼다.

내가 '''17마리'''의 낙타를 물려 줄 터이니 맏이는 '''절반'''을 갖고 둘째는 '''1/3'''을 갖고 막내는 '''1/9'''을 갖거라.

삼형제는 심히 난감한 상황에 처했는데 17은 2로 나누어 떨어지지 않고 3이나 9로 나누어 떨어지지도 않는, 아니 애초에 1과 자신만으로만 나누어 떨어지는 소수이기 때문에 유언에 따라 낙타를 나눈다는 것이 불가능했다.
그렇게 며칠 밤낮을 고민하던 차에 지혜 있는 사람[1]이 그들을 찾아와 해법을 알려 준 덕분에 삼형제는 아버지의 유언대로 낙타를 잘 나눠 가질 수 있게 되었다.
[1] 전승에 따라서는 터키의 유명한 현자인 '나스레딘'이라고도 한다.

2. 해답

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  • 먼저 다른 사람에게 낙타를 한 마리 빌려 오면 낙타는 18마리가 되어 딱 떨어지게 나눌 수 있게 된다.
  • 그 다음 유언대로 나누면 삼형제에게 돌아오는 낙타는 각각 9, 6, 2마리이며(9→3→1) 남은 1마리는 빌려 준 사람에게 돌려준다.[3]
  • 이는 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18 , 즉 합이 1이 되지 않음을 이용한 문제다.

사실 이 문제를 푸는 방법으로는 몇 가지 더 있다.
  • (첫째가 가져야 할 낙타의 수):(둘째가 가져야 할 낙타의 수):(셋째가 가져야 할 낙타의 수) = 1/2:1/3:1/9 = 9:6:2 (18을 곱함) 이므로 9마리, 6마리, 2마리를 가지면 된다는 것
  • 급수를 이용하는 것
사실 '''정말 엄밀하게 따지면 정확한 답은 아닌 게''' 조건이 '''17마리의'''이기 때문. 17/2, 17/3, 17/9는 당연히 각각 18/2, 18/3, 18/9보다 작다. 즉 세명 다 유언보다 조금씩 더 가지는 거다. 근본적으로 이 수치들은 정확한 값이 아니라서 자식들은 아버지의 유언을 제대로 따르지 못했지만 이렇게 되면 낙타를 잡아서 '''물리적으로 나누는 것'''밖에 방법이 없을테고 잡지 않는다면 낙타를 판 돈으로 분배를 할 수도 있겠지만 아버지가 트롤링을 한 게 아닌 이상 문제를 낸 의도도 그게 아닐 것이 뻔하다.
아버지가 일부러 이런 유언을 낸 진짜 이유는 '''일부러 낙타를 나눌 수 없게 하여 형제들끼리 함께 낙타를 키우며 싸우지 말고 살아가게 하기 위함'''일지도 모른다는 추측이 있다. ` 만약 이게 사실이라면 해법대로 낙타를 나누는 모습을 보고 돌아가신 아버지는 무슨 생각을 할지... 애초에 한 마리를 빌려온다는 건 어쩌면 반칙이라지만 산 채로 나누어야 한다는 조건이 있었으니 어쩔 수 없는 부분이긴 하다. 혹은 바로 그 부족한 한 마리를 빌려줄 사람, 즉 현명한 사람이 나타나기까지 형제들이 분배를 유보하도록 유도한 것일지도 모른다. 서로 대등한 형제들끼리 유산을 분배하는 것보다는, 어려운 문제를 해결해줄 지혜의 권위를 가진 사람이 분배하는 쪽이 싸울 가능성이 줄어들 테니까.
또한 교과서에서 비슷한 내용이 있는데, 서로 의논하고 얘기를 많이 나눠 우애가 깊어지는 사이 낙타가 새끼를 낳아 사이좋게 나눠가졌다는 이야기가 있다.

3. 유사 문제

위 문제에서 부자지간이 사제지간으로, 또는 낙타가 소나양이나 다른 물건들로 치환되는 버전이 있으며 해법을 알려준 사람은 지나가던 나그네이거나 그들의 새로운 스승 등 다양한 사람으로 정의된다.
수학도둑 1권에서 사비트라마 장군이 도도에게 이 문제를 냈으며 여기서는 군만두 11개를 1/2, 1/4, 1/6로 나누라고 했다. 도도는 여기에서 자신의 볼펜(...)을 만두로 가정하자 사비트라마 장군이 볼펜이 왜 만두냐며 역정을 냈다. 그러나 도도의 설명이 끝나자 금방 정답이라며 흡족해했다(...).
바리에이션으로 11마리의 낙타를 1/2, 1/3, 1/12로 나누거나, 19마리의 낙타를 1/2, 1/4, 1/5로, 23마리의 낙타를 1/2, 1/3, 1/8로 나누는 버전도 존재하며 해답은 위와 같은 방식으로 하면 된다. 단, 첫 번째의 경우 막내는 낙타 한마리만 가지는 꽤나 안습한 상황이 발생해서 그런진 몰라도 실제 문제로는 1/2, 1/4, 1/6이 더 많이 나왔으며 이렇게 해도 6마리+3마리+2마리=11마리가 된다.

1/2 + 1/3 + 1/12 = 6/12 + 4/12 + 1/12 = 11/12

1/2 + 1/4 + 1/5 = 10/20 + 5/20 + 4/20 = 19/20

1/2 + 1/3 + 1/8 = 12/24 + 8/24 + 3/24 = 23/24

어느 논술대비 책에서는 이게 '단위분수 나누기'라는 제목으로 쓰였으며 고대 이집트에선 2/3를 제외하곤 단위분수 외의 표기가 없었기 때문에 죄다 이딴 식으로 계산해야 했다.
분수 문제에서 흥미거리로 나오는 경우가 많으며, 이야기에 따라 후속담이 있는 경우도 있다. 그중 유명한 경우는 다음과 같다.

11마리를 1/2, 1/3, 1/6로 분배하라는 유언 때문에 난감해 하던 3형제를 보고 앞서 이야기를 따라하고 싶었던 지나가던 상인이 자신의 낙타를 빌려줬다.

(12/2) + (12/3) + (12/6) = 12.

형제들은 각자 6, 4, 2마리를 나누어 가졌고 지나가던 상인은 대대로 비웃음을 샀다.

57마리를 3분의 1과 4분의 1과 5분의 1과 6분의 1로 나누는 바리에이션도 있다.
《셈도사 베레미즈의 모험》에서는 1/2, 1/3, 1/9 비율은 똑같은데 낙타가 35마리로 나온다. 베레미즈는 친구 하낙(화자)을 설득해 낙타를 빌려줘 36마리로 만든 다음, 34마리를 형제들에게 나눠주고 1마리는 하낙에게 돌려준 뒤 1마리를 수고비 명목으로 자기가 받아간다.[2]

4. 관련 문서


[2] 당시 베레미즈와 하낙은 한 마리를 같이 타고 이동 중이었다.