3.2 .
e x − 5 x − 13 = 0 e^{x}-5x-13=0 e x − 5 x − 1 3 = 0 의 근의 근삿값 구하기
1 . 개요Newton–Raphson method
미분가능한 함수
f : [ a , b ] → R f:\left[a, b\right]\to\mathbb{R} f : [ a , b ] → R 에 대해 x에 대한
방정식 f ( x ) = 0 f\left(x\right)=0 f ( x ) = 0 의 근의 근사값을 구하는
알고리즘 .
2 . 상세구간
[ a , b ] \left[a, b\right] [ a , b ] 에서 임의로 원소
x 0 x_0 x 0 를 택하고 다음과 같은 점화식을 정의한다.
x n = x n − 1 − f ( x n − 1 ) f ′ ( x n − 1 ) \displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )} x n = x n − 1 − f ′ ( x n − 1 ) f ( x n − 1 )
그러면 특정 조건 하에서는 극한값
lim n → ∞ x n \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n n → ∞ lim x n 이 존재하고 그 극한값이 방정식의 근이 된다.
3 . 예시2 \sqrt{2} 2 는 방정식
x 2 − 2 = 0 {x}^{2}-2=0 x 2 − 2 = 0 의 한 근이다.
f ( x ) = x 2 − 2 f\left ( x \right )=x^{2}-2 f ( x ) = x 2 − 2 로 놓으면
f ′ ( x ) = 2 x f'\left(x\right)=2x f ′ ( x ) = 2 x 이므로 점화식은 다음과 같다.
x n = x n − 1 − x n − 1 2 − 2 2 x n − 1 \displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}} x n = x n − 1 − 2 x n − 1 x n − 1 2 − 2
x 0 = 2 x_0=2 x 0 = 2 라고 하면 다음과 같이 계산된다. 볼드체는 실제 값과 일치하는 자릿수.
n x n x_n x n ∣ x n 2 − 2 ∣ \left | {x_n}^{2}-2 \right | ∣ ∣ x n 2 − 2 ∣ ∣ 0 2 2 1 '''1'''.5 0.25 2 '''1.41'''666666666667 0.006944444444445 3 '''1.41421'''568627451 6.00730488287127 × 10 − 6 6.00730488287127\times{10}^{-6} 6 . 0 0 7 3 0 4 8 8 2 8 7 1 2 7 × 1 0 − 6 4 '''1.41421356237'''469 4.51061410444709 × 10 − 12 4.51061410444709\times{10}^{-12} 4 . 5 1 0 6 1 4 1 0 4 4 4 7 0 9 × 1 0 − 1 2
근에 빠른 속도로 수렴하는 것을 볼 수 있다.
3.2 . e x − 5 x − 13 = 0 e^{x}-5x-13=0 e x − 5 x − 1 3 = 0 { f ( x ) = e x − 5 x − 13 f ′ ( x ) = e x − 5 \begin{cases}f\left ( x \right )=e^{x}-5x-13 \\ f'\left ( x \right )= e^{x}-5\end{cases} { f ( x ) = e x − 5 x − 1 3 f ′ ( x ) = e x − 5 로 놓자.
그러면 점화식은 다음과 같다.
x n = x n − 1 − e x n − 1 − 5 x n − 1 − 13 e x n − 1 − 5 \displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{e^{x_{n-1}}-5x_{n-1}-13}{e^{x_{n-1}}-5} x n = x n − 1 − e x n − 1 − 5 e x n − 1 − 5 x n − 1 − 1 3 x 0 = 2.5 x_0=2.5 x 0 = 2 . 5 라 하면
n x n x_n x n ∣ e x − 5 x − 13 ∣ \left|e^{x}-5x-13\right| ∣ e x − 5 x − 1 3 ∣ 0 2.5 13.3175 1 4.354161815124195798851178994132 43.03077 2 3.763092592016330437643144443986 11.26599 3 3.467253291595249561814786479631 1.712326 4 3.403947713273494508244070291062 0.062884 5 3.401440601093522986200834613223 0.000094 6 3.401436823600939240742703523282 2.140935×10^-10 7 3.401436823592377958986325308771 1.099696×10^-21 8 3.401436823592377958986281333550 2.901424×10^-44
참고로 정확한 값은
x = − 1 5 ( W z ( − 1 5 e 13 5 + 13 ) ) , z ∈ Z x=-\dfrac{1}{5}\left(W_ z(-\frac{1}{5e^{\frac{13}{5}}+13})\right),z \in \mathbb{Z} x = − 5 1 ( W z ( − 5 e 5 1 3 + 1 3 1 ) ) , z ∈ Z 이고
W z W_z W z 에 대해서는
람베르트 W함수 에 대해 참고
4 . 주의할 점 초기값을 설정하는데 공을 들일 필요가 있다. 영 좋지 않은 초기값을 선택하면 근을 찾는데 많은 시간이 소모될 수 있음은 물론, 값이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 생길 수 있다. 통계학에서 추정에 활용될 때는 주로 적률이용추정량(Method of Moment Estimator)이 초기값으로 선택된다. (초기값을 정확한 해로 정한 것이 아니라면) 아무리 반복해도 그 해에 무한히 수렴하는 근사값이 구해질뿐 정확한 값이 나오진 않는다. 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. 5 . 기타 서양에서 제곱근 값을 구할때 쓰였던 바빌로니아 법, 헤론의 방법 등은 이 뉴턴-랩슨 방법의 특수한 형태이다. 제곱근 문서 참고.