뉴턴-랩슨 방법

 


1. 개요
2. 상세
3. 예시
3.1. [math(\sqrt{2})]의 근삿값 구하기
3.2. $$e^{x}-5x-13=0$$의 근의 근삿값 구하기
4. 주의할 점
5. 기타


1. 개요

Newton–Raphson method
미분가능한 함수 $$f:\left[a, b\right]\to\mathbb{R}$$에 대해 x에 대한 방정식 $$f\left(x\right)=0$$의 근의 근사값을 구하는 알고리즘.

2. 상세

구간 $$\left[a, b\right]$$에서 임의로 원소 $$x_0$$를 택하고 다음과 같은 점화식을 정의한다.
$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{f\left ( x_{n-1} \right )}{f'\left ( x_{n-1} \right )}$$
그러면 특정 조건 하에서는 극한값 $$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$$이 존재하고 그 극한값이 방정식의 근이 된다.

3. 예시


3.1. [math(\sqrt{2})]의 근삿값 구하기

$$\sqrt{2}$$는 방정식 $${x}^{2}-2=0$$의 한 근이다. $$f\left ( x \right )=x^{2}-2$$로 놓으면 $$f'\left(x\right)=2x$$이므로 점화식은 다음과 같다.
$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{{x_{n-1}}^{2}-2}{2x_{n-1}}$$
$$x_0=2$$라고 하면 다음과 같이 계산된다. 볼드체는 실제 값과 일치하는 자릿수.
n
$$x_n$$
$$\left | {x_n}^{2}-2 \right |$$
0
2
2
1
'''1'''.5
0.25
2
'''1.41'''666666666667
0.006944444444445
3
'''1.41421'''568627451
$$6.00730488287127\times{10}^{-6}$$
4
'''1.41421356237'''469
$$4.51061410444709\times{10}^{-12}$$
근에 빠른 속도로 수렴하는 것을 볼 수 있다.

3.2. $$e^{x}-5x-13=0$$의 근의 근삿값 구하기

$$\begin{cases}f\left ( x \right )=e^{x}-5x-13 \\ f'\left ( x \right )= e^{x}-5\end{cases}$$로 놓자.
그러면 점화식은 다음과 같다.
$$\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-\frac{e^{x_{n-1}}-5x_{n-1}-13}{e^{x_{n-1}}-5}$$
$$x_0=2.5$$라 하면
n
$$x_n$$
$$\left|e^{x}-5x-13\right|$$
0
2.5
13.3175
1
4.354161815124195798851178994132
43.03077
2
3.763092592016330437643144443986
11.26599
3
3.467253291595249561814786479631
1.712326
4
3.403947713273494508244070291062
0.062884
5
3.401440601093522986200834613223
0.000094
6
3.401436823600939240742703523282
2.140935×10^-10
7
3.401436823592377958986325308771
1.099696×10^-21
8
3.401436823592377958986281333550
2.901424×10^-44
참고로 정확한 값은
$$x=-\dfrac{1}{5}\left(W_ z(-\frac{1}{5e^{\frac{13}{5}}+13})\right),z \in \mathbb{Z}$$이고 $$W_z$$에 대해서는 람베르트 W함수에 대해 참고

4. 주의할 점

  • 초기값을 설정하는데 공을 들일 필요가 있다. 영 좋지 않은 초기값을 선택하면 근을 찾는데 많은 시간이 소모될 수 있음은 물론, 값이 수렴하지 않고 발산하는 경우도 생길 수 있다. 통계학에서 추정에 활용될 때는 주로 적률이용추정량(Method of Moment Estimator)이 초기값으로 선택된다.
  • (초기값을 정확한 해로 정한 것이 아니라면) 아무리 반복해도 그 해에 무한히 수렴하는 근사값이 구해질뿐 정확한 값이 나오진 않는다. 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다.

5. 기타

  • 서양에서 제곱근 값을 구할때 쓰였던 바빌로니아 법, 헤론의 방법 등은 이 뉴턴-랩슨 방법의 특수한 형태이다. 제곱근 문서 참고.

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