√2

1. 개요

제곱하면 2가 되는 무리수이다. 무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이며, 방정식 $$x^2 = 2$$의 두 실수해 중 양수인 해다. 피타고라스 정리 참고.
$$\sqrt{2}$$의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 ...이다. 근삿값으로 $$\dfrac{99}{70}$$이 제시되는데, 이것은 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.
무한 지수 탑 함수에 넣으면 2가 된다.

2. 무리수 증명

유클리드(=에우클레이데스)는 귀류법을 이용하여 $$\sqrt{2}$$가 유리수가 아니라는 것을 증명했다.

$$\sqrt{2}$$가 유리수라고 가정하면 $$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$$ (단, $$a$$, $$b$$는 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다.
양변을 제곱하면 $$2=\dfrac{a^2}{b^2}$$이고, $$2b^2=a^2$$이므로 $$a^2$$은 짝수이다. 이때 자연수의 제곱이 짝수이면 제곱하기 전의 자연수도 짝수이므로 $$a$$도 짝수이다.
$$a=2k$$라고 하고 이를 $$2b^2=a^2$$에 대입하면 $$2b^2=\left(2k\right)^2=4k^2$$이고, $$b^2=2k^2$$이다. 따라서 $$b^2$$은 짝수이고, 같은 방법으로 $$b$$도 짝수이다.
$$a$$와 $$b$$가 모두 짝수라는 것은 둘 다 공약수 2를 가지고 있다는 것이다. 이는 $$a$$, $$b$$가 서로소라는 가정에 모순이므로 $$\sqrt{2}$$는 유리수가 아니다.

이 문제는 과거 본고사 시절 서울대학교에서 출제되어 당시 학생들을 충공깽에 빠트린 적이 있다.[1]하지만 그 이후로 귀류법의 대표적인 예시로 소개되기 때문에 대한민국 학생들에게는 나름 친숙한 증명인 편이다.
다만 $$\sqrt{2}$$가 무리수임을 증명하기 위해서는 추가로 '''$$\sqrt{2}$$는 실수이다'''와 '''유리수를 기약분수꼴로 나타낼 수 있다'''라는 당연해 보이는 명제도 증명해야 한다.[2] 엄밀한 증명은 다음과 같다.

실수의 부분집합 $$S=\left\{x\in \mathbb{Q} | x^2<2\right\}$$를 정의하자. 그러면 $$S$$는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 $$c$$가 존재한다. [3]이때 $$0<c\notin S$$이므로 $$c^2\geq 2$$이다. 그런데 $$c^2>2$$라고 하면 $$\left(c-\varepsilon\right)^2>2$$인 양수 $$\varepsilon$$이 존재한다. 그러면 상한의 정의에 의해 $$c-\varepsilon$$은 $$S$$의 상계가 아니므로 $$c-\varepsilon<x$$인 양의 유리수 $$x\in S$$가 존재한다. 여기서 $$2<\left(c-\varepsilon\right)^2<x^2$$가 되어 모순이다. 따라서 $$c^2=2$$이고, $$\sqrt{2}$$가 실수임을 알 수 있다.
$$\sqrt{2}$$가 유리수라고 가정하자. 그럼 $$\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b}$$를 만족하는 자연수 $$a, b$$가 무수히 많이 존재한다. 집합 $$A$$를 $$\displaystyle A = \left\{b \in \mathbb{N} \, | \, \exists a \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \frac{a}{b} \right\}$$로 정의하자. 자연수의 well-ordering 원리에 의해 집합 $$A$$에는 가장 작은 원소 $$b_0$$가 존재한다. 그럼 적당한 정수 $$a_0$$에 대해 [math(\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a_0}{b_0})]이다.
양변을 제곱하여 정리하면 $$2{b_0}^2 = {a_0}^2$$이다. 여기서 만일 $$a_0$$가 홀수라면 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순. 따라서 $$a_0$$도 짝수여야 한다. 적당한 정수 $$c$$에 대해 $$a_0 = 2c$$라 하고 원래 식에 대입하면 $${b_0}^2 = 2c^2$$이고 따라서 $$b_0$$도 짝수이다. 이제 적당한 자연수 $$n$$에 대해서 $$b_0 = 2n$$라 하면 $$\displaystyle \sqrt{2} =\frac{a_0}{b_0} = \frac{c}{n}$$이다. 그런데 $$n$$은 $$A$$의 원소이고 $$b_0$$보다 작다. 이는 $$b_0$$가 가장 작은 원소라는 가정에 모순된다. 따라서 $$\sqrt{2}$$는 유리수가 아니다.

유클리드보다 시대적으로 앞선 피타고라스 시대에도 $$\sqrt{2}$$가 유리수가 아니라는 것은 알고 있었을 것으로 추측되지만, 별다른 기록이 남아 있지 않다. 오히려 그런 수의 존재를 부정했다는 기록은 남아 있다.[4] 이와는 다르게 유클리드의 증명은 그의 저서 '''원론'''에 나와 있다.
고대 그리스보다 1000년 이상 앞선 기원전 1600~1800년 전 유물인 바빌로니아의 Ybc7289 점토판에는 대각선이 그어진 정사각형이 새겨져 있는데, 사각형 가운데에 60진법 쐐기 숫자가 몇 개 새겨져 있다. 가운데 윗 줄의 4개 숫자는 각각 1, 24, 51, 10으로, 60진법 소수로 1.24:51:10으로 해독된다. 10진법으로 환산하면 1.41421296...인데, 소수점 5자리까지 정확한 $$\sqrt{2}$$의 값이다. 이 외에도 다른 유물들을 통해 바빌로니아인들이 어떤 수의 제곱근을 근사하는 방식은 잘 알고 있었다는 것은 분명히 알 수 있지만[5] 바빌로니아인들이 무리수의 존재를 인식했거나, 유리수와 따로 분류했었는지는 알 수 없다.

[1] 당시 답안중엔 “심각하게 생각해 보았는데 $$\sqrt{2}$$는 무리수이다.” “아무리 생각해 보아도 $$\sqrt{2}$$는 무리수이다.” 같은 것도 있었다고 한다.(...) 출처[2] 간단하게, 위의 예시에서 $$\sqrt{2}$$를 허수 $$i$$로 바꿔보자. $$i$$가 무리수가 되는 기적(...)을 이끌어낼 수 있다.유리수가 아닐 경우 무리수인 실수이거나 아니면 아예 실수가 아닐 텐데 저 증명에서는 유리수가 아니니 무리수라고 보았기 때문.[3] 위로 유계=상계, 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수들. 상계 중 최소값인 상계최소(=상한)가 존재한다. 상한 c는 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수 중 가장 작은 실수이다. [4] 널리 알려진 히파수스의 일화가 이에 해당한다.[5] 너무 유명해 Babylonian method라는 이름까지 있는 방법이다. 방법만 알면 임의의 정수의 제곱근의 근삿값을 매우 빠르게 찾을 수 있다. 제곱근 문서 참고.