제곱근
1. 정의 및 표기법
- 실수 및 복소수 $$a$$에 대해, $$a$$의 제곱근(square root of a)은 제곱해서 $$a$$가 되는 모든 수를 의미한다.
- 실수 $$a \ge 0$$에 대해 제곱근 $$a$$ 혹은 루트 $$a$$ (root a)는 $$a$$의 제곱근 중 유일한 음이 아닌 실수인 것을 의미하고, $$\sqrt{a}$$로 표기한다.
일반적으로 2 이상의 정수 $$k$$에 대해,
- 수 $$a$$에 대해 $$a$$의 $$k$$제곱근($$k$$-th root of a)[1]은 $$x^k=a$$의 모든 해를 의미한다.
- 실수 $$a \ge 0$$, 혹은 $$a<0$$과 홀수 $$k$$에 대해, $$k$$제곱근 $$a$$[2]는 유일한 실수 $$k$$제곱근으로, $$\sqrt[k]a$$로 표기한다.
'세제곱근 $$8 = \sqrt[3]8$$'은 $$2$$이고, '$$8$$의 세제곱근'은 실수 범위에선 $$2$$ 하나뿐이지만 복소수 범위에선 2개가 더 있다.
텍스트 환경에서 제곱근을 기호로 표기할 때는 보통 √ (U+221A)을 사용한다.
1.1. 기호
근호 기호 √는 수학자 루돌프가 1525년에 발간한 저서에서 처음 사용되었다. 처음에는 위쪽 줄이 없이 √만 썼는데, 근을 뜻하는 라틴어 radix의 머리글자 r에서 따왔다는 설이 있다.
종종 근호 기호(√; U+221A)를 체크 표시(✓,✔; U+2713, U+2714) 대용으로 쓰기도 하는데, 그냥 비슷한 글자일 뿐이다. 거기다 서체마다 윗줄 부분이 있기도 해서 이런 경우 보기가 영 좋지 않다.[3]
만약 plain text에서 근호 기호를 사용해야 한다면 √(x+2)와 같이 근호 기호 밑에 들어가는 것들을 모두 괄호로 씌워 주는 게 좋다. 괄호를 씌우지 않으면 근호 기호가 어디까지 적용되는지 알 수 없기 때문이다. 예를 들어, √x+2라고 쓰면 $$\sqrt{x}+2$$인지 $$\sqrt{x+2}$$인지 알 수 없다.[4]
2. 교과 과정에서
상단 정의에 표현된 것처럼 '제곱근 2'와 '2의 제곱근' 차이를 유의할 필요가 있다. 영문을 생각하면 좀더 직관적인 편.
대한민국에서는 중3때 처음으로 배우게 되며, 무리수를 도입시키는 동기로 등장한다. [5] 이후 피타고라스의 정리(교육과정이 바뀌어서 중2때 배우게 된다)나 2차 방정식, 고등학교 과정, 그리고 고등학교 이상 과정에서도 많이 써먹게 된다. 이 때 사용하는 √ 모양의 기호는 근호(根號)라고 한다. 당연히 $$\sqrt{4}= 2 $$처럼에서 볼 수 있듯이 근호가 있다고 해서 다 무리수는 아니다.
더 나아가서 실수지수의 확장을 배우면 $$\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$$으로 생각할 수 있다.
음수의 제곱근은 실수 위에서 존재하지 않으므로 이 때 다루지 않지만, 곧 고교과정에서 -1의 제곱근으로 허수를 도입하며 복소수로 범위를 넖히게 된다. 복소수 범위 내에선 0을 제외한 모든 수가 $$k$$개의 $$k$$제곱근을 갖고 있다는 것이 알려져 있다.
제곱근을 취하는 연산은 거듭제곱의 역연산에 해당한다. 함수 관점에서 보면 양수 범위에서 제곱근 함수 $$y=\sqrt{x}$$는 이차함수의 역함수이다.[6] 제곱근이 들어간 함수와 성질도 고교과정에서 배우게 된다.
미적분을 할때 가장 보기 싫은 기호 중 하나. 이 녀석이 들어가면 미적분이 배는 어려워진다. 그나마 미분은 근호를 분수지수로 나타낸 후 다항함수 미분하듯 미분하면 돼서 쉬운데 적분은 진짜 이거 하나 때문에 삼각치환이니 별 짓을 다해야 하고 그나마도 이거 하나 때문에 초등함수 역도함수를 못 구할 때가 많다.
2.1. 제곱근의 성질
$$a, b$$가 모두 양수일 때 다음과 같이 계산하는 것이 가능하다.[7]
- 제곱근 내의 합은 제곱근끼리의 합으로 고쳐 쓸 수 없다(1학년의 꿈).
$$\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$
- 제곱근 끼리 곱할 때는 간단히 근호 안의 수끼리 곱한다.
$$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
- 근호 밖에 수가 곱해져 있을 때는 근호 밖의 수끼리 곱한다
$$m\sqrt{a}$$ × $$ n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}$$
- 나눗셈은 역수의 곱셈으로 고쳐서 계산한다.
- $$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
- $$\displaystyle m\sqrt{a} \div n\sqrt{b}=m\sqrt{a}\times \frac{1}{n\sqrt{b}}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}}$$
- $$\sqrt{-a}\sqrt{-b}=-\sqrt{ab}$$
- $$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}}= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b} i} = -\sqrt{\frac{a}{b}}i= -\sqrt{\frac{a}{-b}} $$
2.2. 제곱근의 미분
- 지수 꼴로 바꾼 다음 지수에서 1을 빼는 동시에 원래 지수의 값을 곱한다. 세제곱근, 네제곱근 등도 마찬가지.
$$\displaystyle {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \sqrt{x} = {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} x^{1 \over 2} = {1 \over 2} x^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}} $$
2.3. 제곱근의 적분
3. 실수 제곱근의 수치계산법
전자계산기가 개발/보편화되지 않았던 옛날에는 고등학교때 제곱근을 소수로 바꾸는 법(개평법)을 배웠다. 과거엔 제곱근을 구하기 위해선 아래의 방법들을 이용해 직접 계산하거나, 상용로그표처럼 제곱근표에서 미리 계산해놓은 값을 읽거나, 계산자를 이용했다.
지금은 계산기가 흔하니 웬만한 이과생들도 배우지 않지만, 아직도 이걸 활용하는 곳은 있다. 바로 마이크로프로세서를 설계하는 분야. 마이크로프로세서에 들어갈 제곱근기를 설계하려면 다양한 제곱근 알고리즘들과 각각의 장단점에 대해 알아야 한다. 일본 고등학교 수학과정의 경우 제곱근 개평법을 배우며, 소숫점 아래 8자리까지 외운다.
여기에 제시된 방법 말고도 펠 방정식, 테일러 전개, 골드슈미츠 알고리즘, 연분수 전개등 여러 방법들이 있다.
3.1. 시행착오법
$$ \sqrt{16} $$나 $$ \sqrt{144} $$같이 간단한 식은 어떤 수의 제곱을 하여 점점 가까워지는 수를 찾으면 된다. 예를 들어서 $$ \sqrt{16} $$의 값을 구하려면 제곱이 되어서 16이 되는 수를 찾아야 한다. $$ 2^2=4 $$, $$ 3^2=9 $$, $$ 4^2=16 $$으로서, 따라서 $$ \sqrt{16} $$의 값은 $$4$$이다. 이렇게 계속 수를 크게 하여 제곱해가면서 제곱근을 구하는 방법이 있다. 만약 두 제곱수의 사이라면(ex 3 < $$ \sqrt{15.2512} $$ < 4) 이번에는 자릿수를 늘려서 3.0, 3.1, 3.2...를 대입해가며 점차 유효숫자를 늘려가면 된다. 제곱근을 구하려는 수가 좀 크다거나 너무 작다거나 할 경우 100을 적절히 곱하거나 나누어 1과 100 사이의 수로 만들면 첫 자리 수를 찾기 쉽다. 원래 값을 구하려면 다시 10으로 같은 회수로 나누거나 곱하면 된다.
다르게 말하면 일종의 극한으로 생각할 수 있다.
3.2. 개방법(Digit-by-digit calculation)
3.3. 바빌로니아법(Babylonian method)
헤론법(Heron's method)이라고도 불리며 [9] 뉴턴-랩슨 방법의 제곱근버전이라고 할 수 있다.
뉴턴-랩슨법은 기본적으로 함수를 접선으로 근사해서 근을 찾아나가는 방식인데 $$ \sqrt{c} $$를 찾는다고 하면 이는 방정식 $$f\left(x\right) = x^2-c=0 $$의 0보다 큰 근을 찾는 것과 같다. 이 함수 그래프의 $$ x = a $$에서의 접선의 방정식은 $$f'\left(a\right) \times (x-a) + f\left(a\right) $$이고 이 방정식은 $$ x = a - {f\left(a\right) \over f'\left(a\right)} $$일 때 0이 된다 이를 정리하면 $$ x = {a + {c \over a} \over 2} $$가 되며 이 x를 새 a로 삼아 반복한다. 뉴턴-랩슨 방법 문서에서 루트2의 계산법을 보여주고 있다.
a를 엄청 생뚱맞게 잡아도(1이라던가) c>0이고 a>0이기만 하면 바빌로니아 법을 쓰면 a가 $$ \sqrt{c} $$로 수렴한다.
문제는 산술기하 부등식을 잘 조작해보면 알겠지만, 운좋게 $$ a = \sqrt{c} $$로 시작하지 않는 이상, 두 번째 a부터는 항상 $$ \sqrt{c} <a $$라는 것이다. 즉 $$ \sqrt{313.29} $$같이 잘 나누어 떨어지는 수라도 처음에 a= 17.7로 시작하지 않는다면 무한번 하지 않는 이상 a는 17.7보다 큰 값이 나온다. 이런 문제도 있고 무한소수가 툭하면 나오기 때문에 유효숫자를 정해두고 거기까지만 계산하여 다음 a를 정하고 더 이상 변화가 없을 때 끊는 방식으로 주로 사용한다. 그래도 계산이 쉽고 수렴속도가 엄청나게 빨라서 꽤나 유용하다. 얼마나 빠르냐면 a=600으로 $$ \sqrt{125348} $$를 유효숫자 소수점 아래 3자리까지 구하는데 5번 반복하면 된다. 계산을 반복할 때마다 유효숫자가 2배씩 늘어난다.[10]
3.4. 상용로그 이용
$$\log \sqrt[n]{a} = (\log a)/n$$라는 성질을 이용해서 거듭제곱근을 구하는 방법이다. 로그값을 알아야 쓸 수 있기 때문에 상용로그표를 구비해야 한다는 단점이 있다.
4. 복소수의 제곱근
허수도 제곱근을 정의할 수 있다. 허수 단위 $$i$$의 제곱근은 $$\displaystyle \pm \left(\cos {\pi \over 4} + i \sin {\pi \over 4}\right) = \pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$$ 이다. 이는 오일러의 공식에서 유도할 수 있다. 그러나 위 정의에도 나와 있듯이 일반적으로 루트 기호는 실수의 제곱근에만 정의되어 있으므로 $$\sqrt{i}$$와 같은 표기는 사용하기 힘들다. 제곱근은 두 개인 반면 근호가 붙은 수는 하나의 수로 정의해야 하는데, $$a$$를 복소수 단위까지 확장하면, 그 제곱근 중 하나는 실수 부분이 양의 부호지만 허수 부분이 음의 부호고, 또 다른 하나는 실수 부분이 음의 부호지만 허수 부분이 음의 부호라서 판별하기 모호한 경우도 생긴다.[11] 따라서, 복소수의 제곱근을 편의상 루트 기호로 나타내고 싶다면 둘 중 어느 제곱근을 근호로 표기할 것인지 미리 정의해 놓아야 한다.[12]
4.1. 극형식(polar form)
일반적으로 구하기 까다로운 복소수의 제곱근은 극형식을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 풀이는 쉽지만 문제는 극형식에 들어가는 각도 $$\Theta$$를 구하기 위해 삼각함수의 역함수를 써야 한다는 점. 각도만 구할 수 있다면 오일러의 공식을 응용해서 근을 전부 구할 수 있다. 먼저 다음과 같은 관계식이 주어졌다고 하자. $$w = z^n$$(단, $$z \ne 0, n$$은 자연수) 이때 위 식에서 $$z$$를 $$w$$의 $$n$$- 제곱근이라 하고, 이것을 $$z = \sqrt[n]{w}$$와 같이 나타낸다. 만약 복소수 $$z$$와 $$w$$의 극형식이 각각 $$z = R(\cos \Theta + i\sin \Theta) (R > 0), w = r(\cos \theta + i\sin \theta) (r > 0)$$이면 극형식의 성질에 따라[13] $$z^n = R^n(\cos n\Theta + i\sin n\Theta) = r(\cos \theta + i\sin \theta)$$이다. 따라서 정수 $$k$$에 대해 $$R^n = r, n\Theta = \theta + 2k\pi$$이므로[14] $$R = \sqrt[n]{r}, \Theta = \displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n}$$이다. 따라서 $$z \ne 0$$일 때 $$w = z^n$$은 n차 방정식이므로 n개의 근 $$z$$를 갖는다. 이렇게 구한 $$R,\Theta$$를 극형식으로 나타낸 $$z$$에 대입하면 $$z_k = w^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{r} \{ \cos(\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i\sin(\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{n}) \}$$을 얻는다. $$n$$개의 근을 얻기 위해서는 $$k =0, 1, ... , n-1$$을 대입하면 된다. 다른 정수 $$k$$는 어차피 이 $$n$$개 중 어느 하나와 $$2l\pi$$($$ l \ne 0,l$$는 정수) 만큼 차이 나는 각도를 주므로 극형식에선 같은 값이 나온다.
4.1.1. 예시
- $$8i$$의 세제곱근을 모두 구하시오.
$$\sqrt[3]{8} = 2$$이므로 $$Z_k = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{3}) + i\sin (\displaystyle \frac{\theta + 2k\pi}{3})\}, k = 0, 1, 2$$이고 $$\theta = \displaystyle \frac{\pi}{2}$$이기 때문에 $$Z_k = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3}) + i\sin (\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3})\}$$이다.
각각 계산해 보면,
$$Z_0 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{\pi}{6}) + i\sin (\displaystyle \frac{\pi}{6})\} = 2(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{i}{2}) = \sqrt{3} + i$$
$$Z_1 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{5\pi}{6}) + i\sin (\displaystyle \frac{5\pi}{6})\} = 2(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{i}{2}) = -\sqrt{3} + i$$
$$Z_2 = 2\{\cos (\displaystyle \frac{3\pi}{2}) + i\sin (\displaystyle \frac{3\pi}{2})\} = -2i$$
가 나온다. 즉 $$8i$$의 세제곱근은 모두 3개로 $$\sqrt{3} + i, -\sqrt{3} + i, -2i$$이다.
5. 무리함수
6. 이중근호
7. 단위근
8. 기타
- 박사가 사랑한 수식에서는 등장인물의 별명으로 나오는데, 모든 수를 다 품을 수 있는 상냥한 기호라고 소개된다.
- 수식 $$ 128 \sqrt{e 980} $$에서 윗부분만 살짝 지우면 I love you가 된다. [15]#
- 약자로 사용할 땐 sqrt로 쓴다. $$ \sqrt{2} $$를 sqrt(2)로, $$ \sqrt{a×b+b×c+c×a} $$ 는 sqrt(a×b+b×c+c×a)로 쓰는 식이다.
[1] 드물지만 라틴계열 접두사인 cubic/quartic/quintic root로도 쓸 수 있다.[2] '$$k$$루트 $$a$$'라 부를 수도 있겠으나 $$k\sqrt a$$와 헷갈릴 수 있어 추천하지 않는다. 영어로 $$\sqrt[k]{}$$를 '$$k$$th root'라고 읽는다는 점을 감안하여 '$$k$$th 루트 $$a$$'로 읽는 것이 대안이 될 수는 있을 것이다.[3] 사실 완성형에 근호는 있지만 체크 표시가 없어서인 것이 크게 작용한다.[4] 매스매티카 기반 프로그램 및 WolframAlpha에서는 전자로 해석한다.[5] 사실 원주율이 제곱근보다 더 먼저 등장하긴 하지만, 수학교과 내에서는 초월수니 뭐니 이 수의 정체를 알 방법이 없다. 반면에 루트2 무리수 증명은 교과서에 바로 등장한다. 고등학교 1학년 때 배우는 수학의 귀류법 파트에서 나온다.[6] 다만 이차함수를 그대로 기반으로 두고 역함수로 만들 경우 음함수가 되기 때문에 그래프에서 $$y=-\sqrt{x}$$ 부분은 보통 제외한다.[7] 그 레온하르트 오일러가 이 부분을 헷갈려서 음이든 양이든 상관없이 쓰다가 그럼 $$ \sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36}=6 $$ 이냐?라고 까였다는건 꽤나 유명한 이야기...($$(\sqrt{-1})^2=i^2=-1$$. 즉 답은 $$-6$$.)[8] 정확히는 상술한 루트로 (양수)*i를 취하는 관습을 쓴다면[9] 이름이 붙여진 유래는 이 방법이 등장한 최고(最古)의 문건이 헤론의 저작이고, 일부에선 고대 바빌로니아인도 이 방법을 사용한 것으로 추정하기 때문이다. 실제로 바빌로니아인들이 루트2의 근사값을 60진법으로 3자리까지 (즉 1/216000의 정확도로) 구한 석판이 현재까지 남아 있다.[10] 대충 반복 횟수에 대해 ‘이중 기하급수적’으로 정밀도가 증가하는 셈이다. 반복 횟수가 늘어날수록 분모와 분자의 자릿수가 기하급수적으로 커짐에 따라 통분에 필요한 계산량이 기하급수적으로 커지는 점을 감안해도 총 계산량이 정밀도의 로그값의 제곱에 비례한다. 일정 이상 분자와 분모의 자릿수가 커지면 Karatsuba 등의 곱셈 알고리즘을 쓸 수도 있어서 시간복잡도는 낮아진다.[11] 어떤 복소수가 오느냐에 따라 제곱근 중 한쪽은 실수 부분과 허수 부분이 동시에 양이고 다른 한쪽은 동시에 음이 될 수도 있다.[12] WolframAlpha는 실수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 것을 채택하고 있으며, 만일 실수 부분이 0일 경우 허수 부분에 음의 부호가 붙지 않은 값을 근호 값으로 채택하고 있다.[13] 극형식에서 곱셈은 절댓값(R,r)은 그대로 곱해지지만 각도 ($$\Theta, \theta$$)는 덧셈이 된다. 드 무아브르 공식을 참조[14] $$2\pi$$(rad)이 1바퀴이므로 각도가 $$2k\pi$$만큼 바뀌어도 극형식에선 같은 값을 얻는다.[15] 제대로 계산하면 약 6,606.4818843257이다.