다중극 전개

1. 개요

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'''Multipole Expansion · 多重極展開'''
다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다.
쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이 때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬원 점전하나 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다.

2. 유도

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위 그림과 같이 임의의 전하분포 $$ \displaystyle \rho(\mathbf{r'}) $$을 가정하자. 즉 $$ \mathbf{r'} $$의 위치에 분포하는 전하밀도를 $$ \mathbf{r} $$의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다.
그러면 잘 알다시피 $$\mathbf{r}$$에서 전기 퍼텐셜은

$$\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r-r'}|}\,dV' $$

위와 같이 쓰여질 것이다. $$V$$는 전하가 있는 영역이고, 위 그림에선 음영 영역이 될 것이다. 이제 위의 전기 퍼텐셜을 다중극 전개한다고 생각하자. 다중극 전개는 전하분포의 위치로부터 충분히 멀리 떨어진 시점에서 관찰한다는 가정을 기억하자. 즉, $$r' \ll r$$이다.

2.1. 구면 좌표계에서의 전개

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구면좌표계에서 다음과 같은 전개식[1]이 성립한다.

$$\displaystyle \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) ={1\over 4\pi \varepsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} {4\pi \over 2l+1} q_{l}^{m} {Y_{l}^m(\theta, \, \phi)\over r^{l+1}} $$

[1] 이 전개식이 왜 쓰여지는지 좀더 엄밀한 설명이 필요하다면 Arfken 수준 이상의 수리물리학 교재를 볼 것을 권한다.

$$Y_{l}^{m}$$은 구면 조화 함수(Spherical harmonics)이다.
전개식의 유도는 다음과 같다. $$r' \ll r$$인 영역을 다루고 있으므로

$$\displaystyle {1\over |\mathbf{r-r'}|} = \sum_{l=0}^{\infty} {r_{<}^l \over r_{>}^{l+1}}P_{l}(\cos{\gamma}) $$

이고, 여기서 $$\gamma$$는 $$\mathbf{r,\,r'}$$ 사이의 각이며, $$\min(r,\,r') \equiv r_{<}$$, $$\max(r,\,r') \equiv r_{>}$$이다. 여기에

$$\displaystyle P_{l}(\cos{\gamma}) = {4\pi\over 2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_l^{m*}(\theta',\,\phi')Y_l^m(\theta,\,\phi) $$

를 가함으로 위의 다중극 전개가 얻어진다. 즉,

$$\displaystyle q_{l}^{m} = \iiint_V Y_{l}^{m*}(\theta',\,\phi')(r')^l\rho(\mathbf{r'})\, dV' $$

임을 얻는다.

2.2. 직교 좌표계에서의 전개

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직교좌표계에서는 잘 아는 테일러 전개를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}| } &=\frac{1}{[(\mathbf{r-r'})\cdot(\mathbf{r-r'}) ]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{[r^{2}-2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}]^{1/2}} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{2 \mathbf{r \cdot r'}+{r'}^{2}}{r^{2}} \right ]^{-1/2} \\ &=\frac{1}{r} \left[ 1-\frac{1}{2} \frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}}+\frac{3}{8} \left(\frac{{r'}^{2}-2\mathbf{r \cdot r'}}{r^{2}} \right )^{2}+\cdots \right] \end{aligned} $$

아래와 같은 정의

$$\displaystyle \mathbf{p}(\mathbf{r'})\equiv \iiint_{V} \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' \qquad \qquad Q_{ij} \equiv \iiint_{V} (3r'_{i}r'_{j}-\delta_{ij}{r'}^{2}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' $$

로 두면 최종적으로 전기 퍼텐셜은

$$\displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[ \frac{Q_{\mathrm{tot} }}{r}+\frac{\mathbf{p \cdot r}}{r^{3}}+\frac{1}{2}\sum_{ij}Q_{ij}\frac{r_{i}r_{j}}{r^{5}} + \cdots \right ] $$

로, 쓸 수 있다. 위에서 $$Q_{\mathrm{tot}}$$는 전하 분포 $$V$$의 총 전하이며, 다음과 같다.

$$\displaystyle Q_{\mathrm{tot}} \equiv \iiint_{V} \rho(\mathbf{r'}) \, dV' $$

위의 논의로 전기 퍼텐셜을 홀극(Monopole; 첫째항), 쌍극자(Dipole; 둘째항)와 사중극자(Quadrupole; 셋째항) 및 더 높은 항들로 전개된다는 것을 알 수 있다.

3. 기타

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• 보통 학부 과정에서는 쌍극자 정도까지만 근사하고, 사중극자나 팔중극자까지 근사하여 사용하는 경우는 거의 없다. 다행이라고 한다면 사중극자로 나아간다고 갑자기 내용이 기상천외해지진 않고 기본적 식의 형식은 위의 쌍극자 전개와 유사하다... 변수가 끔찍하게 많아질 뿐.

4. 관련 문서

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• 물리학 관련 정보
• 전기 퍼텐셜
• 전기 쌍극자 모멘트