1. 개요
'''Electric dipole moment'''1.1. 일반적 정의
일반적으로 '''전기 쌍극자(Electric Dipole)'''는 전하량은 같고, 전하 부호는 다른 두 전하가 일정 거리 떨어져 있는 것을 나타낸다.
이때, 양전하 $$+q $$ 음전하 $$-q $$가 $$d$$만큼 떨어져있을 때, '''전기 쌍극자 모멘트(Electric Dipole Moment)'''는 다음과 같이 정의된다.
$$ \displaystyle \mathbf{p} \equiv q\mathbf{d} $$
이때, $$\mathbf{d} $$는 크기 $$d \ll 1 $$이고, 방향은 음전하로 부터 양전하를 가리키는 방향으로 정의되는 벡터이다.
[image]이 전기 쌍극자 모멘트는 계의 극성을 나타내는 척도가 된다.
이것을 확장하게 되면, $$N$$개의 전하가 있는 경우엔 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 정의된다.
$$ \displaystyle \mathbf{p} = \sum_{i=1} ^{N} q_{i}\mathbf{r'}_{i} $$
이때, $$\mathbf{r}_{i} $$는 전하 $${q}_{i} $$까지의 위치벡터이다.
전하가 연속적으로 분포된 계는 합을 적분으로 쓸 수 있어,
$$ \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq $$
로 쓸 수 있고, 전하밀도(Charge density) $$ \rho $$를 도입하면,
$$ \displaystyle \mathbf{p} = \iiint \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'})\,dV' $$
로 쓸 수 있다.
이때, 계의 총 전하(Net charge)가 $$0 $$인 경우엔 쌍극자 모멘트는 원점에 의존하지 않으나, 총 전하가 $$0 $$이 아닌 경우는 원점에 의존하게 되므로 원점을 어디를 택하느냐에 따라 쌍극자 모멘트가 달라진다. 그런경우, 일반적으로 원점은 계의
질량중심으로 잡는 게 일반적이다. 이것에 대한 증명은 세 번째 문단에 있다.
1.2.1. 예제 : 표면에 대전된 구
'''[문제]'''
축이 $$z$$축인 반지름이 $$R$$인 구 표면에 표면 전하 밀도 $$\sigma=\sigma_{0}\cos{\theta}$$로 대전되어있을 때, 이 구의 전기 쌍극자 모멘트를 구하시오.
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- [풀이 보기]
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확장된 전기 쌍극자 모멘트
$$ \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq $$
를 사용하자. 현재 전하가 분포하는 곳은 구의 표면이므로 $$\mathbf{r'}=R\hat{\mathbf{r}}$$이다. 이것을 직교 좌표계
[4] 직교 좌표계에서 다중극 전개를 하였기 때문에 기저 벡터는 직교 좌표계의 기저 벡터를 쓰는 것이 옳다.
로 쓰면,
$$ \displaystyle \mathbf{r'}=R(\hat{\mathbf{x}}\sin{\theta '}\cos{\phi '}+\hat{\mathbf{y}}\sin{\theta '}\sin{\phi '}+\hat{\mathbf{z}}\cos{\theta '}) $$
또한, 미소 전하 $$dq= R^{2}\sigma_{0}\cos{\theta'}\, d \Omega'$$이므로
$$ \displaystyle \mathbf{p} = \int \mathbf{r'}\,dq=R^{3}\sigma_{0}\hat{\mathbf{z}} \oint_{\Omega} \cos^{2}{\theta '}\, d \Omega' $$
참고로, $$x,\,y$$성분은 $$\phi$$ 대칭성에 따라 온 공간의 입체각에 대해 적분할 때 상쇄됨에 따라 기입하지 않았다. 따라서
$$ \displaystyle \mathbf{p} =\frac{4}{3}\pi \sigma_{0} R^{3} \hat{\mathbf{z}} $$
가 된다.
이 쌍극자가 만드는
전기 퍼텐셜은 아래의 내용을 참고하면,
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} = \frac{\sigma_{0}}{3\varepsilon_{0}} \frac{R^{3}}{r^{2}}\cos{\theta} $$
임을 알 수 있다. 사실
전기 퍼텐셜 문서에서 같은 상황으로 구 내·외부의
전기 퍼텐셜 분포를 구해보았고, 외부의 상황과 같게 나왔음을 알 수 있다. 즉, 이 상황은 구 중심에 위에서 도출되었던 쌍극자가 있는 상황과 완전히 같다는 것을 알 수 있다.
1.3. 화학적 접근
하나의
공유 결합 내에서, 전자가 두 개의 원자 중 전기 음성도가 큰 원자 쪽으로 더 많이 끌리게 된다. 여기서 상대적으로
전기 음성도가 큰 원자는 $$(-)$$전하를 띠게 되고, 전기 음성도가 작은 원자는 $$(+)$$전하를 띄게 되는 것을 쌍극자라 한다. 이때 두 극의 세기와 두 원자핵 사이의 거리를 곱한 벡터량을 쌍극자 모멘트라 하고, 방향은 $$(-)$$극에서 $$(+)$$극으로 향하는 쪽이다. 따라서
산소,
질소와 같이 전기 음성도가 같은 두 원자로 이루어진 분자는 쌍극자 모멘트가 0인 무극성 분자이다.
분자가 전기장 내에 놓일 경우, 전자가 전기장에 의해 힘을 받아 이동하므로 무극성 분자도 유도된 쌍극자 모멘트를 가질 수 있다.
2원자 분자에 쌍극자 모멘트가 있다면 그 분자는 반드시
극성 분자이고, 3원자 이상의 분자는 쌍극자 모멘트가 있더라도
그 합이 0이면 무극성 분자이다.
특성상
고분자에 가까워질수록 쌍극자 모멘트는 옅어진다. 주위에서 흔하게 볼 수 있는 물질 중 쌍극자 모멘트가 특히 강한 것으로는
설탕이 있다.
2. 전기 쌍극자의 물리량
2.1. 전기 퍼텐셜 · 전기장
전기 쌍극자가 자유공간에 놓여있는 경우에서 쌍극자로부터 $$ r \gg d $$만큼 떨어진 곳에서의
전기 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} $$
- [ 증명 ]
<^|1>그림과 같이 구면 좌표계[5] 다른 좌표계를 택할 수도 있으나, 이 경우엔 구면 좌표계의 \Phi 방향에 대한 대칭성이 있어 우선 구면 좌표계로 특수한 상황의 전기 퍼텐셜을 구하고, 좌표계에 무관한 꼴로 고치는 것이 쉽기 때문에 구면 좌표계를 택한 것이다. $$\Phi(r)=\Phi_{+}+\Phi_{-}$$가 된다. 따라서 점전하의 전기 퍼텐셜를 사용하면, $$\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r_{+}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r_{-}} \right |} \right )$$로 쓸 수 있다. 이때, 다음을 이용하면, $$\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{r}-\frac{d}{2}\hat{\mathbf{z}}$$, $$\displaystyle \mathbf{r_{-}}=\mathbf{r}+\frac{d}{2}\hat{\mathbf{z}}$$다음과 같이 쓸 수 있다. $$\displaystyle \Phi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left ( \frac{1}{\left | \mathbf{r}-(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |}-\frac{1}{\left | \mathbf{r}+(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |} \right )$$이때, $$\displaystyle \left | \mathbf{r}\pm(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |=\left ( r^{2}+\frac{d^{2}}{4}\mp rd\,\cos{\theta} \right )^{1/2}$$이고, $$d \ll r $$이면, $$\displaystyle \frac{1}{\left | \mathbf{r}\pm(d/2)\hat{\mathbf{z}} \right |}=\frac{1}{r} \left ( 1+\frac{d^{2}}{4r^{2}}\mp \frac{d}{r}\cos{\theta} \right )^{-1/2}\simeq \frac{1}{r} \left ( 1\pm \frac{d}{2r}\,\cos{\theta} \right )$$로 근사적으로 쓸 수 있으므로 $$\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$$가 나오게 된다. 이때, 아래를 고려하면, $$\displaystyle \mathbf{p}=qd\hat{\mathbf{z}}$$, $$\displaystyle \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}=qdr\cos{\theta}$$최종적으로 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜를 좌표계에 무관하게 쓰면, $$ \displaystyle \Phi(r) = \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} $$가 된다.
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으로 나타내고, 전기장은 전기 퍼텐셜의
그레이디언트로 주어지므로
$$ \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r})=-\boldsymbol{\nabla}\Phi = \frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} $$
으로 나타낸다. $$\varepsilon_{0}$$는 자유공간의
유전율을 나타낸다.
- [ 증명 ]
<^|1>위에서$$\displaystyle \Phi(r)=\frac{qdr\cos{\theta}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$$임을 구했으므로 전기장이 전위의 그레이디언트로 주어지는 것을 이용하자. 이때, 위에서 구한 것은 구면 좌표계에서 주어진 식이므로 $$\displaystyle \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\Phi=\frac{2qd\cos{\theta} \hat{\mathbf{r}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}+\frac{qd\sin{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} }{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$$따라서 정리하면, $$\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left (\frac{2qd\cos{\theta}}{r^{3}}\hat{\mathbf{r}}+\frac{qd\sin{\theta}}{r^{3}}\hat{\boldsymbol{\theta}} \right )$$이고, 이것을 다시 쓰면, $$\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}} \left [ 3qd\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}+ qd \left ( \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}} \right ) \right ]$$이때, 다음을 고려하면, $$ \displaystyle \mathbf{p}=qd\hat{\mathbf{z}} $$, $$\displaystyle qd=\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}} $$, $$\displaystyle \sin{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}-\cos{\theta}\hat{\mathbf{r}}=- \hat{\mathbf{z}}$$최종적으로 $$ \displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{r}) = \frac{3(\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} $$로 좌표계와 무관하게 쓸 수 있다.
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전기 쌍극자가 형성하는 전기력선과 등전위선은 아래와 같다. 실선은 전기력선이며, 점선은 등전위선이다.
[image]전하의 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장과 비슷한 것을 알 수 있고, 아래의 문단을 보면 사실 상 거의 동일한 것임을 알 수 있다.
찾은 전기장은 전하의 부호가 다른 두 전하의 간격가 극단적으로 줄어들었거나, 두 전하로 부터 극단적으로 먼 곳의 전기장
[1] 이를테면, 수소 원자의 경우도 양성자와 전자로 구성된 전기 쌍극자로 볼 수 있는데, 거시적인 세계에서 볼 때를 기준으로는 두 전하는 극단적으로 간격이 줄어든 것으로 보이고, 수소 원자 입장에서도 거시적인 우리 세계는 극단적으로 먼 곳이므로 위와 같은 전기장이 나오게 된다.
을 측정할 때 위의 장이 나오게 된다. 그러나 이것 역시도 근사이므로 두 전하의 간격을 무시할 수 없거나, 쌍극자로 다가갈 수록 전기장은 위 식을 따르지 않고, 부호가 다른 두 전하가 만드는 전기장으로 가게 된다. (이를 잘 나타낸 그림)
2.2. 힘과 돌림힘
2.2.1. 전기장 내에서 받는 힘
전기 쌍극자 모멘트가 전기장 $$ \mathbf{E} $$안에 있을 때, 받는 힘은
$$ \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E} $$
로 주어진다.
- [ 증명 ]
<^|1>전기장 내에 있는 쌍극자 $$ \mathbf{p} $$의 $$ -q $$와 $$ q $$까지의 위치 벡터를 각각 $$ \mathbf{r} $$, $$ \mathbf{r_{+}} $$라 하자.[6] 다루는 것은 점쌍극자이므로 음전하를 쌍극자의 중점으로 잡아도 상관 없다. $$\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \mathbf{E} (\mathbf{r})$$으로 주어지므로 쌍극자가 받는 힘은 각각의 전하가 받는 힘의 벡터 합이다. 즉, $$\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}(\mathbf{r_{+}})-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ]$$로 쓸 수 있다. 이때, $$\displaystyle \mathbf{r_{+}}=\mathbf{d}+\mathbf{r}$$로 쓸 수 있으므로 $$\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q \left[ \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} )-\mathbf{E}(\mathbf{r}) \right ]$$이다. 이때, 쌍극자는 일반적으로 $$d \ll r $$를 만족하므로 $$\displaystyle \mathbf{E}( \mathbf{d}+\mathbf{r} ) \simeq \mathbf{E}(\mathbf{r} )+(\mathbf{d} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )$$으로 전개 [7]해서 쓸 수 있다. 따라서 $$\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r})=q (\mathbf{d} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )= (\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}(\mathbf{r} )$$으로 정리되므로 $$\displaystyle \mathbf{F}= (\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}$$가 나오게 된다.
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정전기학에서 다루는 전기장 $$ \mathbf{E}$$의
발산[2] \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \rho\, / \, \varepsilon_0이므로 전하가 없는 영역에서는 전기장의 발산은 0이 된다.
과
회전[3] 정전기학은 기본적으로 보존장을 다루기 때문이다.
은 $$ 0$$이 되고, 전기 쌍극자 모멘트 $$ \mathbf{p}$$는 constant vector이므로 $$ \mathbf{p}$$가 전기장 내에서 받는 힘은 다음과 같이도 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle \mathbf{F} =\mathbf{p} \cdot (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{E})=\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}) $$
2.2.2. 전기장 내에서 받는 돌림힘
균일한 전기장 $$ \mathbf{E} $$안에 전기 쌍극자 모멘트 $$ \mathbf{p} $$가 있을 때, $$ \mathbf{p} $$에 작용하는 돌림힘은
$$ \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E} $$
로 주어지고, 이때 쌍극자가 가지는 에너지는
$$ U=-\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} $$
이다.
그러나, 전기 쌍극자 모멘트가 균일하지 않은 전기장 $$ \mathbf{E} $$안에 있을 때, 받는 힘은
$$ \displaystyle \boldsymbol{\tau} =\mathbf{p} \times \mathbf{E}+\mathbf{r} \times \mathbf{F}$$
로 주어진다.
여기서 $$\mathbf{r}$$는 쌍극자의 위치 벡터와 $$\mathbf{F}$$는 쌍극자가 전기장 영역 속에서 받는 힘이다. 이때, $$\mathbf{F}$$는 위에서 보았듯, $$ \displaystyle \mathbf{F} =(\mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}$$ 로 주어지게 된다.
이번엔 국소화된 전하분포를 멀리서 관찰할 때, 어떤 방법으로 계를 분석할 수 있는지 알아보자. 그림과 같이 전하 분포 $$\rho(\mathbf{r'})$$을 가지는 계에 대해 고려해보자.
[image]이때, 전기 퍼텐셜(Electric potential)은 다음과 같이 주어진다.
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r})=\iiint \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\frac{\rho(\mathbf{r'})}{\left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right | }\,dV'$$
이때,
$$ \displaystyle \left | \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{-1} =(r^2+r'^{2}-2rr' \cos{\theta} )^{-1/2} $$
이고, $$r\gg r'$$라면, 이것을
르장드르 다항식의 생성함수 꼴로 전개할 수 있다.
$$ \displaystyle (r^{2}+r'^{2}-2rr' \cos{\theta})^{-1/2}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty } \left ( \frac{r'}{r} \right )^{n} P_{n}(\cos{\theta})= \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) $$
이상에서 전기 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r})= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\iiint \rho(\mathbf{r'})\left [ \sum_{n=0}^{\infty } \frac{{r'}^{n}}{r^{n+1}} P_{n}(\cos{\theta}) \right ]\,dV' $$
로 주어진다.
따라서 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 전개할 수 있다.
$$ \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} } \left [\frac{1}{r} \iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^2} \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' +\frac{1}{r^3} \iiint r'^{2} \left ( \frac{3}{2}\cos^{2}{\theta}-\frac{1}{2} \right ) \rho(\mathbf{r'})\,dV'+\cdots \right ] $$
여기서 첫째 항부터 홀극항, 쌍극자항, 사극자항, $$\cdots$$, $$2^{n-1}$$극자항이라 부른다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
'''국소화된 전하분포를 멀리서 전기 퍼텐셜을 관측하면, 그것은 홀극자, 쌍극자, 사극자, …의 전기 퍼텐셜의 합으로 근사시킬 수 있다.'''
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자세한 설명은
다중극 전개 문서에 잘 나와있다.
전기 쌍극자에 대해 논의하므로 이제부터는 제 2항만 논의하도록 한다. 해당 항을 다시 쓰면,
$$ \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \iiint r' \cos{\theta} \rho(\mathbf{r'})\,dV' =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \cdot \hat{\mathbf{r}} $$
이때, 전기 쌍극자를 다음으로 정의한다.
$$ \displaystyle \mathbf{p} \equiv \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' $$
이것은 맨 위의 확장 부분에서 소개했던 것이다.
따라서 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은
$$ \displaystyle \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r^2 } \left [ \iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV' \right ] \cdot \hat{\mathbf{r}}= \frac{\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}}{4 \pi \varepsilon_{0}r^{3}} $$
으로 위와 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
원점을 $$\mathbf{R}$$만큼 이동했을 때, 기술되는 쌍극자를 $$\mathbf{p'}$$라 하면, 이 좌표계에서 $$\mathbf{R'}=\mathbf{r'}-\mathbf{R}$$가 되므로
$$ \displaystyle \mathbf{p'}= \iiint \mathbf{R'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'=\iiint (\mathbf{r'}-\mathbf{R}) \rho(\mathbf{r'})\,dV' $$
이것을 전개하면,
$$ \displaystyle \mathbf{p'}=\iiint \mathbf{r'} \rho(\mathbf{r'})\,dV'-\mathbf{R}\iiint \rho(\mathbf{r'})\,dV' $$
$$\mathbf{R}$$는 적분과 무관한 상수벡터이므로 적분 밖으로 나올 수 있다. 여기서 제 1항은 $$\mathbf{p}$$이고, 제 2항의 적분은 곧 총전하인데, 이것을 $$Q$$라 놓으면 다음을 얻는다.
$$ \displaystyle \mathbf{p'}=\mathbf{p}-Q\mathbf{R} $$
위의 논의는 다음을 얻는다.
'''전기 쌍극자 모멘트는 계의 총전하가 0이 아닌 이상 좌표계의 원점에 의존한다.'''
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이때, 계의 총전하가 0이 아닌 경우는 위에서 밝혔듯 계의 질량중심을 기준으로 원점을 잡는 것이 일반적이다.
4. 편극 밀도
5. 관련 문서
[각주]