데자르그 정리

 


1. 개요
2. 설명
3. 증명


1. 개요

1648년 프랑스의 기하학자 Girard Desargues(지랄드 두 사르그)의 정리이다.
프랑스어에서 Desargues는 '데자르그'로 읽으며 '두 사르그' 내지 '드 사르그'는 영어식 피진이다. 대한수학회에서는 '데자르그 정리'로 번역되어있다.

2. 설명

[image]

$$\triangle{ABC}$$와 $$\triangle{A'B'C'}$$에서 세 직선$$\overline{AA'}$$, $$\overline{BB'}$$, $$\overline{CC'}$$가 한 점 $$O$$에서 만날 때, 직선 $$\overline{BC}$$, $$\overline{B'C'}$$의 교점을 $$L$$, 직선 $$\overline{AC}$$, $$\overline{A'C'}$$의 교점을 $$M$$, 직선 $$\overline{AB}$$, $$\overline{A'B'}$$의 교점을 $$N$$이라고 하면, 점$$L$$, $$M$$, $$N$$는 한 직선 위에 있다.


3. 증명

메넬라오스 정리를 이용한다.
$$\triangle{OAB}$$와 $$\overline{NB'A'}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}$$$$\frac{\overline{BB'}}{\overline{B'O}}$$$$\frac{\overline{OA'}}{\overline{A'A}}$$=1 ☞ ①
$$\triangle{OBC}$$와 $$\overline{LC'B'}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}$$$$\frac{\overline{CC'}}{\overline{C'O}}$$$$\frac{\overline{OB'}}{\overline{B'B}}$$=1 ☞ ②
$$\triangle{OCA}$$와 $$\overline{MA'C'}$$에서 메넬라오스 정리를 적용하면
$$\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}$$$$\frac{\overline{AA'}}{\overline{A'O}}$$$$\frac{\overline{OC'}}{\overline{C'C}}$$=1 ☞ ③
①, ②, ③을 모두 곱하여 소거시킬수 있는 것들을 소거시키면
$$\frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}$$$$\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}$$$$\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}$$=1
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 제 점$$L$$, $$M$$, $$N$$는 한 직선 위에 있다.

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