메넬라오스 정리
1. 개요
고대 그리스의 수학자 알렉산드리아의 메넬라오스(Μενέλαος, Menelaos : 서기 70년경~140년)가 증명한 정리. 메넬라오스의 라틴어화된 이름을 따라서 메넬라우스(Menelaus)의 정리라고도 한다. 대한수학회에서는 '''메카토 정리'''로 번역되어있으나 이는 오류이다.[1]
중학교 과정만으로 충분히 증명이 가능하고, 정리가 복잡해보이지만 의외로 쓰이는 경우가 '''상당히''' 많아 영재학교에서 삼각형이 여러 개 겹쳐 있는 문제가 나왔다 하면 꼭 한 번씩은 쓰게 되는 정리이다.
2. 요약
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주어진 $$\triangle ABC$$에서 꼭짓점이 아닌 점 $$D$$, $$E$$, $$F$$가 각각 $$\overline{BC}$$, $$\overline{CA}$$, $$\overline{AB}$$ 위에 있다고 하자. 이때, $$D$$, $$E$$, $$F$$가 한 직선 위의 점이면 $$\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}\times\frac{\overline{BF}}{\overline{FA}}\times\frac{\overline{AE}}{\overline{EC}}=1$$가 성립한다. 단, 직선이 반드시 그림처럼 삼각형을 횡단하지 않아도 상관없다.
원래는 $$\frac{CD}{DB}\times\frac{BF}{FA}\times\frac{AE}{EC}=1$$로 표현하는 것이 정확하다. 여기서 선분 기호를 넣지 않으면 선분의 기호에 방향성까지 고려하는 것이 되므로 등식을 이해하는데 도움이 된다. 또한, 메넬라오스 정리 또는 역을 이용할 때 어떤 선분들을 가지고 등식을 만족하는지 고르기 어려운 경우가 있으므로 위의 등식이 더 바람직하다고 하겠다.
더 일반적인 형태를 소개하자면,
$$\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}} \times \frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}} \times \frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}} = -1,$$
에서 볼 수 있듯이, 선분 자체에 방향성을 부여해서 우변을 음수로 두는 꼴이다.$$\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}} \times \frac{\overrightarrow{EA}}{\overrightarrow{EC}} \times \frac{\overrightarrow{FB}}{\overrightarrow{FA}} = -1,$$
2.1. 증명
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점 $$A$$, $$B$$, $$C$$에서 반직선 PR에 내린 수선의 발을 각각 $$X$$,$$Y$$, $$Z$$라고 할때
삼각형 $$\triangle PZC$$와 $$\triangle PYB$$가 닮음이므로 $$\frac{\overline{BP}}{\overline{CP}}=\frac{\overline{BY}}{\overline{CZ}}$$이다.
삼각형 $$\triangle QCZ$$와 $$\triangle QAX$$가 닮음이므로$$\frac{\overline{CQ}}{\overline{AQ}}=\frac{\overline{CZ}}{\overline{AX}}$$이다.
삼각형 $$\triangle RXA$$와 $$\triangle RYB$$가 닮음이므로 $$\frac{\overline{AR}}{\overline{BR}}=\frac{\overline{AX}}{\overline{BY}}$$이다.
변변 곱하면 '''증명 끝.'''
3. 역정리
이 정리의 역도 성립한다. 즉, $$ \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 $$가 성립하면 $$P$$, $$Q$$, $$R$$는 공선점이다. 증명은 동일한 방법으로 하면 된다.
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$$\overline{QR}$$의 연장선의 교점과 $$\overline{BC}$$ 의 교점을 $$P'$$이라 한 후, $$P$$와 $$P'$$가 같은 점임을 보이면 증명이 완료된다. 일단 $$P', Q, R$$이 공선점이므로, $$ \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 $$가 성립한다. 한편, 원래 조건에서 $$ \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}}\times\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}\times\frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}}=1 $$도 성립하므로, $$\frac{\overline{BP'}}{\overline{P'C}} = \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}$$여야 한다. 이제, $$\overline{BC} = a$$, $$\overline{CP'} = b$$, $$\overline{P'P} = x$$로 놓고 간단한 계산을 하면 $$x=0$$임을 알 수 있다.
따라서 $$P$$와 $$P'$$는 같은 점이므로, $$P, Q, R$$는 공선점이다.
4. 일반화
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알아두면 꽤나 유용한 사실로, 원래 메넬라오스 정리는 $$ \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} $$와 같이 세 선분 위의 길이의 비를 곱해서 1이 되었는데, 사실은 몇 번을 돌아다니면서 길이비를 곱해도 다음 조건들만 만족한다면 길이비의 곱이 1이 된다.
1. 각 길이비 항은 반드시 한 직선 내의 길이비여야 한다. 즉 $$ \frac{\overline{QR}}{\overline{AQ}}$$ 같은 건 $$A, Q, R$$가 공선점이 아니므로 안 되고 $$ \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}}$$ 같은 건 된다는 뜻.
2. 한 항의 '끝점'과 다음 항의 '시작점'이 같아야 한다.[3] 즉 메넬라오스 정리를 이용할 때 한붓그리기처럼 쭉 이어가면서 길이비를 따지듯이 할 수 있어야 한다는 것. 예를 들어 $$ \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}} $$ 같은 건 첫 항의 끝점이 $$B$$인데 다음 항의 시작점이 $$C$$이므로 안 된다.
3. 첫 항의 '시작점'과 마지막 항의 '끝점'이 같아야 한다. 즉 처음 시작한 곳으로 다시 돌아와야 한다. 예를 들어 $$ \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{AQ}}{\overline{CA}} $$ 같은 것은 $$A$$로 시작해서 $$Q$$로 끝났으므로 길이비의 곱이 1이 안 된다.
위의 세 조건을 요약하자면, 그냥 평소 메넬라오스 정리를 쓸 때처럼 하되 마지막에 처음 점으로 돌아오기만 하면 길이비의 곱이 1이 된다는 것이다. 즉, $$ \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{CP}}{\overline{BC}}\times\frac{\overline{RQ}}{\overline{PR}}\times\frac{\overline{AC}}{\overline{QA}}\times\frac{\overline{PB}}{\overline{CP}}\times\frac{\overline{RA}}{\overline{BR}} $$ 처럼 해도 1이 된다. 심지어 시작점이 $$R, Q, C$$같은 점이어도 상관 없다!
실제로 메넬라오스 정리의 $$ \frac{\overline{RB}}{\overline{AR}}\times\frac{\overline{PC}}{\overline{BP}}\times\frac{\overline{QA}}{\overline{CQ}} $$ 는 위 세 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있다.
증명은 각 점에 대해 적절한 함숫값을 주고, 길이비와 그 함숫값의 곱이 불변량임을 보이면 된다. 다만 이 과정에서 상당한 노가다를 필요로 한다.
5. 관련 문서
[1] Menelaus’ theorem 메카토(의) 정리, Mercator projection 메카토 사영, oblique Mercator projection 메카토의 비스듬한 사영도법으로 번역되어있는 것만 봐도, 뒤의 2개는 게라르두스 메르카토르의 이름을 딴 것으로 수학이라기 보다는 지리학 용어로, 메르카토르 도법으로 널리 쓰이니까 논외로 하고, oblique Mercator projection도 지리학계의 표기례에 맞추어야 한다. 앞의 것이 바로 문제가 되는 부분인데 이 정리와 메르카토르, 메카토로 적힐 수 있는 학자는 관계가 없기 때문에, 이것은 명백하게 착오로 잘못 들어간 것이다.[2] 사진 출처: 위키피디아[3] 여기서 '시작점'과 '끝점'을 엄밀히 정의할 수는 있지만 그냥 직관적으로 이해하고 넘어가기로 한다. $$ \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}}$$에서는 $$A$$가 '시작점'이고 $$C$$가 '끝점'이다.