동시성의 상대성

1. 개념

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'''Relativity of simultaneity'''
상대성 이론의 중요한 개념 중 하나. 어떤 관측자에게 동시에 일어난 일로 확인되는 (관측시간이 동시라는 의미가 아닌, 신호의 속력과 사건까지의 거리들을 이용해 실제 사건 발생 시간을 추정했을때 동시라는 의미이다) 사건들이 다른 관측자에게는 동시가 아닐 수 있다는 뜻이다.

2. 예시

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2.1. 달리는 기차

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달리는 기차 한 가운데에 광원이 있다고 하자. 기차에 탄 관측자에게는 기차의 앞쪽과 뒷쪽에 빛이 도달하는 두 사건이 동시에 일어난다. 하지만 기차 외부에 정지한 관찰자에게는 기차의 뒷쪽에 빛이 먼저 도달한다. 기차 외부 관찰자의 기준틀에서는 실제로 두 빛이 동시에 도달하지 않은것이다.
신호의 속력이 유한해서 두 사건의 정보가 관찰자의 눈에 동시에 도달하지 않은게 아니라, 실제로 기차 외부 관찰자의 세계에서는 두 사건이 동시에 일어나지 않았다.

3. 로런츠 변환

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로런츠 변환을 이용하면 공간축이 틀어져서 동시성이 깨진 것으로 해석할 수 있다. $$v$$의 속도로 움직이는 관찰자에 대한 로런츠 변환은 다음과 같다.

$$t'=\dfrac{t-\dfrac {vx} {c^2}}{\sqrt{1-\dfrac {v^2} {c^2}}}$$
$$x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-\dfrac {v^2} {c^2}}}$$
$$y'=y$$
$$z'=z$$

로런츠 변환 후의 동시간이 되는 사건의 집합은 4차원 시공간의 $$t'$$가 일정한 3차원 부분공간(subspace)으로 생각할 수 있으며 관측자는 그 부분공간상의 사건을 동시에 발생한 사건이라고 생각할 것이다. 즉 $$t-\dfrac {vx} {c^2}$$가 일정한 사건들이 동시가 되는 것이다. 이 조건은 $$v$$가 무시할 수 있을 만큼 작을 때에는 $$t$$가 일정하다는 조건이 되어 뉴턴 역학과 동일한 동시성을 얻게 된다.