르장드르 변환
1. 개요
아드리앵 마리 르장드르가 만든 수학적인 변환으로, 여러 독립변수로 표현되는 양을 다른 변수로 표현하기 위해 사용하는 방법이다.
대표적인 사례는 라그랑지안 $$\mathscr{L}$$과 해밀토니안 $$\mathcal{H}$$의 관계, 열역학적 기본에너지 4개 사이의 관계이다. 라그랑지안과 해밀토니안은 서로가 르장드르 변환으로 대응되는 쌍으로, 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 오갈 수 있는 일종의 Tool로 사용할 수도 있다. 그리고 열역학에서는 열역학적 기본 에너지 4개 사이의 변환에 사용된다. 자세한 사례는 하단 참고.
2. 상세
함수 $$ y=f(x) $$ 위의 임의의 점에서 접선을 그었을 때의 기울기를 $$ f_x $$, y절편을 $$ \psi $$ 라 할때
$$\displaystyle f_x= {y-\psi \over x-0} $$
$$\displaystyle \psi=y- f_x x $$ 로 나타낼 수 있는데, 이 $$ \psi $$를 $$y$$의 $$ {dy \over dx} $$ 에대한 르장드르 변환이라고 하며, $$ \psi=y[f_x] $$로도 나타낸다. 이때 미분계수와 y절편의 집합은 x,y로 이루어진 함수와 완전히 동등한 집합으로 대응된다.
두 변수에 대한 열역학적 변환은 $$ \psi=z[f_x,f_x]=z-f_x x-f_y y $$로 나타낼 수 있다.
2차원의 경우, 조금 더 직관적으로 표현할 수도 있다. x,y축으로 이루어진 평면에 어떤 함수의 그래프가 있고 어떤 물리량 A를 이 함수를 x에 대해 적분한 결과, 다시 말해 x축과 그래프 사이의 넓이라고 정의하자. 한편으로는 y축과 그래프 사이의 넓이(y에 대해 적분한 결과)에 대응하는 물리량 B도 정의될 수 있을 것이다. 이 때 A와 B를 연결하는 변환이 르장드르 변환인 셈이다.
3. 열역학
온도와 압력은 각각 내부에너지 U의 편미분으로 나타난다.
$$ \displaystyle T=\left ( {\partial U \over \partial S} \right)_V , P=- \left ( {\partial U \over \partial V} \right)_S $$
따라서 르장드르 변환을 진행하면 내부에너지 U로 부터
$$ U[P]=U+PV \equiv H $$$$ U[T]=U-TS \equiv A $$
$$ U[T,P]=U+PV-TS \equiv G $$
로 나머지 기본 에너지 식 3개[1]를 유도할 수 있다. 따라서 각 기본에너지들이 가지고있는 정보는 내부에너지 U와 동등하다.
[1] 순서대로 엔탈피, 헬름홀츠 자유에너지, 깁스 자유에너지