1. 개요
'''Liouville's theorem'''
복소해석학에서 사용되는 가장 우아한 정리중 하나로, '복소평면상의 영역 $$D$$의 내부에서 유계인 전해석 복소함수
[1] 즉, 적당한 양의 실수 M가 존재하여, \forall z \in D, \left|f(z)\right|\leq M라는 소리.
는 상수함수밖에 없다.'라는 정리다.
관련 문서에
이름과 실제가 다른 것이라고 적힌 이유는, '''리우빌의 정리'''라는 이름이지만 이 정리를 실제로 증명한 사람은 바로
오귀스탱 루이 코시이기 때문.
엄밀히 말하면 1844년에 코시가 특정 영역상에서 전해석 함수(entire function)이며 유계인 함수는 그 영역 내부에서 상수함수라는 것을 증명했으며, 리우빌은 3년 뒤인 1847년에 '''극점(pole)을 갖지 않는 타원함수는 상수함수'''라는 것을 증명했다.
타원함수는 복소평면상에서 두 복소수 방향으로 주기 $$\omega_1, \omega_2$$를 갖는 함수로, 두 세타함수의 비로 나타낼 수 있는데 그 표현꼴 중 하나로 $$\left(m, n\right)\in \mathbb{C}^2$$일 때 $$\{m\omega_1+n\omega_2\}$$로 축약할 수 있다. 그런데, $$\left(m,n\right)\in\left[0,1\right]$$로 두면 이 안에서 주기를 어떻게 줘도 저 함수값은 복소수 범위 내에서 최대값을 가지게 되므로 유계가 되고, 따라서 리우빌의 정리에 의한 자명한 결과로 상수함수가 될 수 밖에 없는데 이 정리가 원래 증명자인 코시의 이름을 덮어버린 것.
참고로 이 결과값에 의하여 타원함수는 '''극점을 반드시 2개 이상
[2] 가지는 함수'''라는 성질을 지닌다. 0개 지닐 경우는 상수함수라서 무시할 수 있기 때문.
2. 증명
코시 적분공식
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함수 $$f$$가 단순연결영역 $$\mathcal{D}$$에서 해석적일 경우, $$\mathcal{D}$$내부의 임의의 단순 폐곡선 $$\mathcal{C}$$에 대하여, 폐곡선 내부의 점 $$z_0$$을 잡으면
>$$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)$$
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코시 부등식의 유도
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먼저, 임의의 단순 폐곡선에 대하여 코시 적분공식이 성립하므로, $$\mathcal{C}:\left|z-z_0\right|=R$$로 둬도 성립한다.
$$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)$$이므로, $$\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^{n+1}}dz$$로 표기할 수 있다.
이제, 양 변에 절대값을 씌우자.
$$\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|$$
그런데, 최대 크기 원리(Maximum Modulus Principle)에 의하여 이 함수가 최대값이 존재한다면. 즉 유계라면 그 최대값이 되는 지점은 경계선상. 즉 여기서는 $$z_0$$을 중심으로 하는 원주상에 존재해야 한다. 함수 $$f$$는 전제에서 해석적이라 했으므로, 최대값이 존재한다고 가정하자.
즉, $$\left|f(z)\right|\leq M_R$$을 만족하는 양의 실수 $$M_R$$이 존재한다.
그러면, $$\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|=\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{\left|f(z)\right|}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\oint_{\mathcal{C}}\frac{M_R}{\left|z-z_0\right|^{n+1}}\left|dz\right|$$이 됨은 자명하다.
그런데, $$\left|z-z_0\right|=R$$이며, $$M_R$$은 상수이므로, 적분 밖으로 빼낼 수 있다.
즉, $$\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}\oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|$$이 되고, $$\displaystyle \oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|=2\pi R$$이므로
$$\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\left|\frac{n!}{2\pi i}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}\oint_{\mathcal{C}}\left|dz\right|=2\pi R\left|\frac{n!}{2\pi}\right|\frac{M_R}{R^{n+1}}=\frac{n! M_R}{R^n}$$.
즉 $$\displaystyle \left|f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)\right|\leq\frac{n! M_R}{R^n}$$이 된다.(Q.E.D.)
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코시 부등식을 적분공식에서 유도했다. 이걸 전제로 아래 증명을 시작하자.
리우빌의 정리의 증명
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함수 $$f$$가 전해석함수이며, 복소평면에서 유계라고 가정하자.
이 때, 이 함수는 전해석함수이므로 복소평면의 임의의 점 $$z_0$$과, 그 점을 중심으로 반지름이 $$R$$인 양의 방향의 원, $$C_R$$의 둘레와 그 내부에서 항상 해석적이므로, 코시 부등식(Cauchy's inequality)에 의하여 다음이 성립한다.
* $$\left|f^{\left(n\right)}(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{n! M_R}{R^n}$$
(단, $$M_R$$은 $$C_R$$상에서의 $$\left|f\left(z\right)\right|$$의 최대값이다.)
이제, 이걸 기반으로 증명해보자.
$$f$$는 전해석함수이므로 임의의 $$z_0$$와 $$R$$을 선택하더라도, 그 내부에서 항상 해석적이다.
$$\left|f^{\left(n\right)}(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{n! M_R}{R^n}$$에서 $$n=1$$을 취하자.
그러면, 이 부등식은 $$\left|f'(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{M_R}{R}$$이 된다.
그런데, 전제로 함수 $$f$$는 유계이므로, 음이 아닌 상수 $$M$$이 존재하여, $$\forall z \in C$$에 대해, $$\left|f(z)\right|\leq M$$이 성립한다.
또한, $$M_R$$은 범위 $$C_R$$의 경계선상에서 $$\left|f(z)\right|$$의 최대값인데, $$f$$가 유계이므로, $$M_R\leq M$$이 성립하므로, $$\left|f'(z_0)\right|\leq\displaystyle \frac{M_R}{R}\leq \frac{M}{R}$$이 되고,
따라서 $$\left|f'(z_0)\right|\leq \displaystyle \frac{M}{R}$$이 된다.
그런데, $$M$$과 $$R$$은 임의의 독립적인 음이 아닌 실수이므로, $$\epsilon$$을 임의의 음이 아닌 실수라고 했을 때, $$R$$을 충분히 크게 잡아서 $$\displaystyle \frac{M}{R}$$의 값을 $$\epsilon$$보다 작게 만들 수 있다.
그러므로, $$\left|f'(z_0)\right|\leq \displaystyle \frac{M}{R}$$을 모든 $$M, R$$에 대해 항상 만족시키기 위해서는, $$f'(z)=0$$이어야 한다.
어떤 영역의 모든 점에서 $$f'(z)=0$$이므로, 함수 $$f$$는 주어진 영역 $$C_R$$에서 상수함수가 되며, $$R$$ 역시 임의로 크게 잡을 수 있으므로, 복소평면 전체에서 $$f$$는 상수함수가 된다.
따라서, $$f$$가 복소평면 전체에서 유계인 함수라면, 상수함수가 되어야 한다.(Q.E.D.)
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3. 여담
대수학의 기본정리를 증명하는 방법 중 하나다.
이 정리를 최초로 증명한 사람은 상술했듯
코시이고 리우빌은 따름 정리만 증명했다.
4. 관련 문서